AA"-B' I

a:" ^ -BA x" ^ -2B

-r^ = tangOi^-— , -^ = langE =r --- 5

on trouve, pour les angles de réflexion O, E,

3oO CHAPITRE VI.

La réflexioD intérieure, telle que nous venons de la considérei' clans une section principale, n'offre qu'une épreuve expérimentale incomplète des lois qui régissent le rayon extraordinaire , car nous verrons que ce rayon se trouve dans les conditions où la réflexion est impaissante poDr le dédoubler et en extraire un rayon ordinaire. Le phénomène ne deviendrait complet que si le plan de réflexion propre à la face de sortie était incliné sur le plan de polarisation du rayon incident d*un angle autre que o ou go degrés. Alors, si Ton voulait traiter la question d'une manière complète, et trouver, outre les directions, les intensités, elle ue manquerait pas d'une certaine complication , puisqu'il faudrait tenir compte de la rotation que subissent les plans de polarisation dans l'acte de la réflexion

§ 175. — Calcul des angles limites de droite et de gaadie.

Reveaon$ sur l'inégalité signalée (page 271 ) qu'ont, pour le rayon extraordinaire, les angles de réflexion totale prisa droite et à gauche de la normale. Ces angles sont visiblement les valeurs R, R' de r'qui répondent aux deux incidences 1 = -♦- 90®, 1 = — go*. Laissons encore ici de côté le cas général et ne considérons le phénomène que dans une section principale , nous aurons

tang R = -^- — - — --r^- — - y

Xab v/— A — I a' s'il s'agit de la section principale d'une face naturelle, on a

? = 0,10884, Aa6 = - 1,00436, ^— A— i = v'i,4648, A

et enfin

§ 170. — Singuliers cas d'indivision.

Revenons sur le dernier des problèmes posés (§1611) ef bornons-nous toujours à la section principale, hors de laquelle d'ailleui*s le phénomène dont il s'agit ne saurait avoir lieu. Soit .c =z z tang r nu rayon vecteur mené à ^l'intérieur du milieu ; il

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE.

coupe le cercle an point

a/ = — ^sinr, z'=— 6cos/ et Tcllipse au point

— tangr

3oi

sj— A tang' r — 2 B tang r — A"

en opérant, comme au § 175, on trouve pour la tangente au cercle menée au point x' z'

X sin /■ -4- « cos r -+- 6 = o ,

et pour la tangente à Tellipse en x, ^, tangr

K" H- B tang

A tangr -h B \^ ^"

Le point d'intersection de ces deux tangentes se trouve aisément; son z a pour numérateur

b (A tang r-f-Bj-i-sinr^^— A tang" r — aB tang r — A" ;

pour que les deux rayons se confondent, il faut que les deux tangentes se rencontrent sur la surface du milieu, ou, autrement, que ce z soit nul. La valeur de r qui amène ce résultat s^obtient en égalant à zéro le polynôme numérateur précédent. • Pour ne pas s'égarer dans les applications numériques de ce problème , on saura que cette superposition de rayons n'a lieu que pour des faces dont Tinclinaison sur l'axe ne dépasse pas un certain angle. Imaginons en effet la courbe formée par les intersections des tangentes dont les points de contact sont sur un même rayon vecteur {fig. 91); cette courbe dont Féquation est très-compliquée se compose de deux branches, telles que ARS, A|R,S, , comprises entre deux parallèles à Taxe, vers lesquelles elles convergent asymptotiquement. Les faces, telles que QX, qui couperont cette courbe, pourront seules amener cette singulière indivision. Les faces naturelles sont beaucoup trop inclinées sur l'axe, pour produire cette rencontre. Mais si l'on prend L == 80®, ou , ce qui revient au même, si la face est à 10 degrés de l'axe, supposi-

3o2 CHAPITRE VI.

tion qui donne

on trouve par tâtonnement, d'une part que les valeurs voisines

r = -79«32', r = -79o33', rendent le polynôme, la première positif et la dernière négatif, et que , d'une autre part, le même changement de signe est encore produit par les deux valeurs

r = ~ 19*31', r = — 19*32', de sorte que

expriment, à moins d'une demi-minute, les directions intérieures de deux rayons superposés qui , quoique ne cheminant pas suivant Taxe et quoique sortant obliquement, cependant ne se diviseraient pas à la sortie. Ce curieux phénomène , réalisé par les deux rayons incidents qui répondent aux deux points d'intersection S, S', étend à d'autres faces le phénomène signalé ( § 155 ) , avec ces particularités, que là la non -division réclamait f incidence normale et était unique, tandis qu'ici elle réclame certaines incidences obliques , faciles à déduire de l'angle r et variables avec lu face, et de plas se trouve double. Bref, pour ces faces privilégiées il y a trois incidences qui ne bifurquent pas ; 1° dans le quadrant ZOX, celles dont nous venons d'établir l'existence; 2"^ dans le quadrant ZOX, celle qui répond au point de contact A, et qui donnerait intérieurement r= -f- 80". Ce dernier angle, ainsi que le plus grand des deux précédents, surpassant beaucoup l'angle limite , on ne pourrait réaliser pour eux le phénomène qu'à la condition de juxtaposer au milieu, des prismes d'un angle convenable. Quant à la valeur r= — 19" 3i'3o", on trouve sans peine qu'elle répond dans l'air, à une incidence extérieure égale à 33° 32' 5o''.

De part et d'autre de chacun des trois rayons vecteurs singuliers, les deux rayons coréfractés ont une position relative inverse. Ainsi, dans l'exemple précédent, depuis r==-+- 80° jusqu'à r = — 19* 3 1', c'est le rayon ordinaire qui est le plus réfracté; entre les deux rayons vecteurs singuliers, c'est le rayon extraordinaire. Au delà, le rayon ordinaire redevient plus rapproché de la normale. En . eflct, ce passage amène un changement de signe du polynôme, et fait,

DOUBLE RÉFRAGTIUN UNIAXE. 5o3

par suite, tomber le point de rencontre des deux tan^ntes conjuguées rantiit en dessus, tantôt en dessous de Taxe des X. On en déduit sans peine, pour les points de contact des deux tangentes issues d'un même point de l'axe des X. les inversions prédcées; or ces inversions sont manifestement incompatibles avec les idées de répulsion et d'attraction constante > ei le pinnt de vue des rayons vecteurs singuliers se irouvejustifier te douteémisau^ 160.

§ 177. — Calcul des deux extérieurs d'un même intérieur.

Ordinairement les rayons qui s'accompagnent intérieurement sont séparés hors du cristal. Quoique général vis-à-vis les trois cas qui précèdent , ce cas est simple vis-à-vis les conditions les plus générales de la double réfraction ; il convient donc d'en donner le calcul. Il suf&t pour cela (nous nous bornons à la section principale) de résoudre par rapport à i les équations du § 17tf ; or nous avons obtenu

. . — (Alangr-hB) sm te = ' *

y/— AtangV— 2B tangr— A" le rayon ordinaire donnera, de son côté, . . sin /•

Veut-on que ces deux rayons extérieurs se confondent, on a /, = /tf, ce qui rend bien l'équation du précédent paragraphe. Si l'on dispose sur les deux faces parallèles d'un spath deux plaques percées chacune d'un trou fin , et si Ton fait arriver sur l'un de ces trous, à l'aide d'une lentille, le sommet d'un cône convergent de rayons incidents, et que le cône soit assez ouvert, deux de ses rayons réussiront à sortir par le second trou. En opérant dans la chambre obscure , on mesurera sans peine leur angle; il ne sera pas difficile de connaître l'angle intérieur commiui , et on aura ainsi les éléments de ce genre de vérifications que nous avons proposé pour la loi d'Huyghens (page 280). Vérification curieuse, puisque, nonobstant le parallélisme des deux faces, elle portera sur un écart angulaire.

Comme preuve que les rayons, ainsi superposés intérieurement, constituent un cas réellement plus simple que celui si usuel des

3o4 CHAPITRE VI.

rayons superposés extérieurement (*)^ nous dirons par anticipation qu'il existe en biaxie^ sur les vitesses de ces rayons, un théorème d'après lequel la différence entre les carrés de leurs réciproques serait proportionnelle au produit des sinus des angles qui séparent cette direction commune de celle de deux droites fondamentales, dites axes optiques. Comme, chez les uniaxes, cette relation peut se déduire immédiatement d^une propriété géométrique commune à Tellipse et à l'ellipsoïde de révolution , nous allons rétablir à ce point de vue.

§ 178. — Loi des vitesses des rayons.

Soit t; •+■ * 1 — = I un ellipsoïde de révolution autour

de l'axe des X, dont l'axe soit b et le rayon équatorial «. Un rayon vecteur quelconque x = mZy jr:=znz le rencontre en deux points dont les coordonnées sont

Le rayon vecteur est

iir est

/jr'^ -4- v'» -U ,/* -T

pour y introduire et Tangle azimutal ç compris entre le plan ZX et le méridien du rayon vecteur , et la distance angulaire T de ce rayon à Taxe, on a

cosT = — = ==? tangY='^ =/i,

(*) H faut dire, à demi superposés, car ils ne le sont qued'un côté de la lame.

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 3o5

d'où

, i-4-tong^f , (i-f-teng^y) (i+tang'T)

^°^' ï;('-+- ^"e'i^) + jî taDg'T(i 4- Ung»

et enfin

ou bien

mais p est le chemin décrit par le rayon extraordinaire pendant que l'ordinaire parcourt b. Nous retrouvons donc le théorème précité^ mais il est juste de remarquer que, sur le terrain des uniaxes, il n'apporte plus aucun témoignage en faveur de la simplicité plus grande du cas des rayons superposés intérieurement, car A étant constant pour tous les ordinaires, la stipulation de la superposition intérieure y devient inutile, et le théorème ne s'applique pas moins bien aux deux rayons co-engendrés par un rayon extérieur quelconque, pourvu que T soit l'angle compris entre l'axe et le rayon extraordinaire.

§ 179. — Loi des vitesses des olides.

L'ellipsoïde d'Huyghens donne avec la même facilité un autre théorème analogue, relatif aux vitesses des ondes qui cheminent pairallèlement dans le milieu biréfrîgent et qui , par suite, sont issues des rayons normaux à la surface. Soit, en effet, f , ^ les deux angles, analogues à T, 9, qui caractérisent la normale p au plan tangent quelconque

en posant

3o6 CHAPITRE VI.

on a, pour Tabscisse x!^ du point où il coupe Taxe OX,

On voit sur la figure que

p pa/ pp cosT

Les deux lignes p et p étant dans un même méridien , on a

encore

/? = pcos(r — T).

Or p est le chemin décrit par Tonde extraordinaire pendant que Tordinaire décrit b. Si donc on veut avoir entre ces deux vitesses p^ b eit une relation analogue à celle qui unit p, i, T, il suffit d'éliminer p, T entre les trois équations

(i) cosr=^:il^^— ,

(2) ^ /? = pco5(r-T),

(3) i^i.==fj-^'\,in.T.

Les équations (i) et (a) donnent

^^^ 6^cos»rsin»/ *'

les équations (i) et (3) donnent

• o' — ^'cos'r iang»T =r «« ^l.- ; ,

ce qui exige qu'on ait Téquation de condition /?»—*' cos»r

ou bien

/?» = à' + (a'— ^*)sin^r,

et il est encore permis de voir dans;:;, b les vitesses de deux ondes engendrées par une même onde extérieure quelconque

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXË . ^ So^

Ces lois des vitesses ont été l'objet de vérifications expérimentales qui ont toutes réussi et qu'il s'agit de faire connaître. Jusqu'ici nos vérifications ont été fondées sur remploi de lames à faces parallèles, et ces lames conviennent parfaitement quand il s'agit de cristaux fortement biréfringents et épais ; mais elles deviennent inapplicables, au moins pour celui qui s'en tient au procédé de Malus, dès qu'elles sont minces et que leur substance est peu biréfringente, et à fortiori quand il y a concours de ces deux circonstances défavorables.

En pareil cas, on peut ou recourir avec M. Biot à la formé prismatique , et affronter^ ce semble, les complications signalées (§ 168) , ou bien avec Fresnel , faire produire aux lames parallèles, en place d'insaisissables déviations intérieures, des déplacements de franges. Gomme cette dernière méthode ne sera développée que plus tard, quand les biaxes ramèneront les mêmes questions , il nous reste k parler de la première.

§ 180. — Appareil de Biot.

Cet appareil comprend deux règles divisées rectangulaires^ l'une horizontale et l'autre verticale, et un support vertical mobile le long de la première : c'est sur lui que se place le prisme biréfringent. Quand son angle est faible , on dispose sa face antérieure verticalement {jfig* 92), ce qu'où vérifie en lui laissant un peu de saillie et l'amenant au contact de la règle verticale; Quand au contraire, pour mieux développer la double réfraction, on lui donne un grand angle (par exemple l'angle droit commode pour le calcul) et qu'il faut l'achromatiser par un prisme de verre (également de 90 degrés), la face antérieure est horizontale, et son horizontalité est vérifiée par celle de la plates-forme sur laquelle il repose (fig^ 93).

En visant à travers les faces sensiblement parallèles El\ GH, soit à la règle verticale, soit à l'horizontale, on voit une

3o8 ^ CHAPITRE VI.

image double des divisions ^ et îl arrive que la varialion des incidences propres aux diverses divisions établie, entre leurs deux images, des différences variables en vertu desquelles les traits de l'une se rapprochent des traits de Tautre, comme le font les divisions d'un vernier par rapport à celles de la règle ] bref on obtient, sans faire courir la colonne, et à plus forte raison en la déplaçant, une ou plusieurs coïncidences. Si nous nous attachons à Tune d'elles , nous saurons que les rayons issus de deux certains traits R> S, après avoir suivie avant le prisme biréfringent, puis dans son trajet, des chemins différents , en émergent en un même point O à partir duquel ils restent confondus jusqu'à l'œil. Si donc on prend la marche des rayons en sens inverse, on saura qu un certain rayon lO a engendré d'abord dans le cristal les deux rayons OP, OQ, puis au dehors les deux autres rayons PR, OS. Or il s'agit d'avoir cette direction commune initiale. Ou y arrive, dans le cas d'ununiaxc,cn la calculant comme direction finale du rayon ordinaire PR; ainsi en prenant d'abord (Jig- 92) la hauteur TV = PU cl eu en retranchant RV, puis la distance UV, on aura