BD AV
c'eslrà-dire , V = \/^^'
(*) Habituellement on rend égal à l'unilé le coefficient k de proportionnalité en obtenant que toutes les grandears-qui entrent dans Véqualion deYleirneBt simultanément égales à leurs unités respectiTes. Mais une telle correspondance, souvent impossible , n^esl nullement indispensable. Ainsi dans l'équation
E = Aiw ,
pour que Ar = 1 , il suffit de choisir pour unité de pression E celle qu'engendre la force qui donnera iw = 1 . Or une telle force sera ou celle qui communique la Titesse i à la masse i, ou celle qui communique une vitesse g h
la masse -9 ou enfin, en général , celle qui communique à une masse quelconque une vitesse réciproque de cette masse. Arrêtons-nous à la seconde
p suppositloni et prenons pour ^ la gravité du lieu. Puisque ms= -tlaforceen
S question sera celle qui donne h Tunité de poids la vitesse^ cnractéristiquo du lieu ( à Paris 9.8088;. Supposer k = 1 revient donc à choisir, pour unitc d'action statique ou de pression, celle qu'exerce sur un obstacle le kilogramme. Bref, pour pouvoir user de la formule
il faut exprimer le premier membre en kilogrammes du Ihcu cl prendre dans )c second pour^ la gravité correspondante du lien où l'on opère.
lO CHAPITRE I,
A la pression o^'\'j6 et à la température o degré, on a
on a (le plus
trailleurs à la lalilude de Paris, g = o ,8088 ^ ou en déduil V = 279-,98.
Si au lieu d'èire à zéro Tair est à / degré, sa* densité A< vaut 0,001 2q3 1 et Ton a
plus généralement, A étant la densité tabulaire relali\e d'un gaz , on aura pour la vitesse du son dans ce gas
§ 4. — La correction de Laplace.
JLe chiilre 280 mètres est de beaucoup inférieur à la vitesse réelle. Laplace en a trouvé la raison.
Les trancbes comprimées sont échaulTées par la chaleur de compression ; Télasticité croit donc pour deux motifs : par la réduction de volume et par l'élévation de température. La loi de Marioile est en défaut , ou , pour mieux dii*e , il y a intervention des deux lois de Mariotle et de Gay-Lussac. Outre raccroisseraent faible Ea il y a un petit accroissement Ez d* élasticité qui provient de réchauffement et qui, on le sait, peut, à catise de cette petitesse, se calculer à part.
Mais, dira-t-on , après la condensation , le petit plan rétrogradera et produira dans Tair dilatation et refroidissement. Ne pourrait-il pas y a^oir annihilation des efTetsdus
.\OTIOAiS FOnDAMtCNTALES. 1 1
à celle chaleur et à ve froid, successivemenl produits dans les mêmes tranches ?
Nullement : quand le froid de la dilatation parait , Taccroissement occasionné par la chaleur, dans la vitesse de communication delà perturbation, est déjà effectué ^ et ce froid lui-même accélère la chute en arrière des couches d'air, et introduit dans la propagation de leur dilatation le même accroissement de vitesse obtenu dans la propagation de leur condensation.
Après avoir dégagé Texplication de Laplace de robjection qu^elIe semblait comporter, calculons l'accroissement partiel d'élasticité Ez.
Cet accroissement est E — ^0, eu appelant Q Vélévation
de température produite. Si la température de l'air n'était pas o degré, mais t degré, ce serait
273 -H r ^ ' Pour une réduction de volume égale au coefficient de dilatation — r) on sait que l'élévation de température vaut
( * ) Un gax ^.Buivanl qu'il est libre ou coaro» dam un Tase, reçoit , quand la tcmpéralore s'élève , un accroisiement de volume ou de ressort. L'accroissement de volume est diaprés Gay-Lussac, pour chaque degré , une par-
tie aliquote constante — ^ du volume à zéro. On démontre sans peine que
raceroissementde ressort est auiâi partie aliquote constante , et précisi^ment la même, du ressort h zéro. D'ailleurs la température zéro ne peut être pri» viléçiée, et la loi de Gay-Lussac , sous sa double forme , doit convenir, avec un coefficient différent , à une température quelconque. Si Ton consent à
mettre le cocflicfent de dilatation sous la forme rrj le coefficient, k une température quelconque <, se déduit du cocflicicnt tabulaire ^— -^ ',cn igoutaut t au dénominateur.
1 a CHAPITRE I.
— ; — = K [*) \ pour une réduction a, elle sera donnée par
la proporlion
— r^:a::K:ô, doù 0 = = a r—',inZ,
L'accroîssemenl Ez vaut donc
raccroissement total est
Ea4-Ea — = Ea-,
cl le premier membre de Téquation (page 9) étant réforBié en conséquence , on a
BDc AV „, c BD^r
En prenant pour -7 la valeur i ,419 que lui assignent les
récentes expériences de M. Massou, on obtient V = 333«,48.
L'expérience adonné pour la vitesse du son à o degré et à la latitude de Paris 332", 3.
Quand on ne se propose pas de calculer la valeur num^^ rique de V, on peut voir dans le produit BDgf l'expression de l'élasticité E et donner à la formule de Ncv^ton la forme
connue V = i/— sous laquelle elle se produira toujours en optique.
(* ) c capacilê à pression consUnte ; c' capacité h volume constant ; K chaleur décompression, ou mieux élévation de température dont elle estcapahle. On a en effet
c = c' -h K c' , d'où - = I -4- K , K = —7— *
NOTIONS FONDAHèNTALES. i3
§ 5. — Propagation du son. — Ondes sonores. — Longneurs d'ondulation.
Nous avons supposé pour notre petit plan un mouvement (le translation uniforme; c^étail le moyen d^avoir dans les diverses tranches troublées, uniiformité dans le triple accroissement de densité, de température et d'élasticité. Dans la réalité, le plan vibrant parcourra l'espace avec une vitesse variable. Nulle au début, celle vitesse croît, atteint à
l'époque - son maximum^ décroit ensuite et redevient nulle
avant d'être dirigée en sens contraire. La perturbation totale se compose ainsi d'une foule de perturbations élémentaires d'intensités irès-difTérentes. Mais il est aisé de voir qu'elles ont même vitesse.
En effet, aucune des quantités e, r, 9 qui caractérisent cette énergie n'entre dans la formule, aucune trace n'y reste soit de l'étendue e du déplacement , soit de la durée. Un déplacement double donne bien une force motrice double , mais la masse d'air transportée devient en même temps double, et voilà pourquoi la vitesse reste la même.
Lés diverses impulsions fortes ou faibles imprimées successivement par le plan à la tranche d'air adjacente se transmettront donc avec une même vitesse aux couches suivantes *, si elles sont équidistantcs dans le temps, nous les retrouverons équidistantes dans l'espace. Représentons par les ordonnées d'une courbe telle que crc^ (fig* ') l'ensemble des vitesses que le petit plan a eues entre ses deux positions extrêmes AC&, a'c'b''^ prenons ensuile dans le tube la longueur c' d-=^ Y r de la colonne d*air troublée , les vitessesqui animent ses diverses tranches seront données par une courbe c'R // obtenue en éparpillant sur la base plus grande c'rfles ordonnées de la courbe cvc' .
Nous avons déjà remarqué qu'^Tprès le temps r cette colonne sera rentrée dans le repos, et que les vitesses qui
f4 CHAPITRE 1.
animaient ses diverses tranches apparliendront sans altération aux tranches homologues de la colonne égale qui vient à la suite. Après n fois ce temps , ce serait la (n -f-i)'*"" colonne qui posséderait transi toi rement l'agitation. Pour trouver aisément les tranches qui, à un moment donné, sont ilépogîtaires des diverses vitesses qui ont primitivement appartenu au plan, il suffit de supposer que la courbe c'Kd se transporte uniformément dans le tube avec la vitesse de propagation V, La position qu'elle occupe à cet instant détermine et les tranches exclusivement agitées et leur état d'agitation.
Quand le plan revient sur ses pas, il reprend en sens contraire les mêmes vitesses. Si Ton convient dç prendre en dessous les ordonnées proportionnelles aux vitesses dirigées de droite à gauche ou négatives, pn a^ra pour celte deuxième demi-vibration la courbe c'r'cégaleà crc' (fig* a). Après une vibration complète, la colonne d'air troublée aura pour longueur c\t= a Vr, et les vitesses variables de ses tranches seront désignées par la courbe complète c'd'd.
D*autres oscillations du plan n'ajoutent rien d'essentiel au phénomène [*) : deux vibrations, par exemple, donnent deux colonnes d'air égales à c'R'r/'Rr/et affectées chacune des mêmes modifications. On appelle onde en général , et ici onde sonore, la masse d'air qui recèle len semble complet des divers mouvcmcnis engendres dans upe oscillation. On nomme longueur d'ondulation X l'épaisseur de cette masse qui dans la propagation libre est comprise entre
(*) SiTétude des modifications qu'éprouve le milieu propagateur peut se faire sur une seule onde , la production des phénomènes réclame au contraire des séries d'ondes. Pour ébranler l'orgaoe, oreille ou œil, il faut, comme pour mettre en branle une cloche pesante, unfe succession d'actions similaires. Des ondes synchroniques qui se suivent en{Trand nombre offrent précisément cette répétition nécessaire d'actions concordantes. Il est donc convenu qu'en acoustique et sut tout on optique nous considéreront; toujours des séries d'ondes très- nombreuses.
IVOTIONS FONDAMENTALES. 1 5
doux sphères concentriques. L'onde sonore se compose de denx demi-ondes, Tune condensée^ Taaire dilatée. Les courbes qui représentent toutes les vitesses appartiennent à la famille des trochoîdes.
Une constitution analogue, une pareille succession àv. condensations et de dilatations se trouve dans tout milieu liquide ou solide qui propage le son. Aussi les géomètres ont-ils toujours rejeté les expériences qui niaient la cornpressibilitédeTeau. Aussi est-ce à leur profonde conviction sur ce point que sont dus ces ralTinemenls d'expérience qui ont réussi à montrer la compressibiliié de Teau, du mercure, et de tous les corps, et ont donné raison à ce singu* lier adage : reau conduit le son, donc elle est compress'îble,
§ 6. — Vitesse du son dans les liquides. — Formule de Laplace.
Il est curieux que la démonstration précédente des formules de Newton et de Laplace s^appliqiie sans changement aux liquides.
Soit un cylindre liquide indéfini : quand le petit plan se déplace de f dans le temps t, il imprime à la colonne Vr un excès de densité —- = a, et une réaction élastique o"*,76 - (7 étant le coefTi-
cient de compressibilité ) ^ les deux expressions de la force sont donc
7rr'o,76-D et tt r»cA - V - = irr» - V. V a, en les égalant on a
mais — —rr exprime évidemment le raccourcissement que pro-
finirait dans nne tige de liquide de i mètre de long une pression égale à son poids. Soit p ce raccourcissement, la formule prend
la forme connue V
-Vf
i6 tiHAPims t.
Tous les corps comprimés s^écliauffeiit, on le sait : soit 0 rélé-» vatîon de température produite par une réduction de yolume, égale au coefficient de dilatation linéaire ê. Pour la fraction a il y
aura Télévation 0 -; cette élévation de température produirait le o
et volume f + ^0 -r et conséquemmekit l'expansion Oa.
L'expansion G a ne pouvant se produire, TefTet calorifique équivaudra à une compression du liquide évidemment mesurée par la même fraction 0 a.
Bref, la colonne Vr réagit à raison de deux réductions de volume, à savoir a réduction réelle, et 9a réduction équivalente à réchauffement ; c'est-à-dire en raison de la réduction totale a ( 0 + 1 ): On a donc
v = ^i^.ey^^;
mais est encore le rapport des deux capacités; donc
On sait que Texpérience s'accorde assez bien avec la formule
pour qu'on soit autorisé à regarder comme insignifiante la chaleur dégagée dans les liquides par les compressions qu'ils éprouvent lors du passage du son.
§ 7. — L'énergie de l'oscillation est inverse avec la distance.
Dans la propagaiion libre, un même mouvement réside successivement dans des enveloppes sphériques dont Fë* paisseur est constante, puisque la vitesse de propagation est invariable; et dont la masse par conséquent s*accroitra. On conçoit donc que les vitesses homologues dans les ondes
?IOTIONS FONDAMENTALKS \'j
successives, et par suite Tintensité du son, diminuent. Insistons sur cette dégradation avec la distance.
Dans le choc des deux corps élastiques m et m', si la masse m' vaut m + dm on trouve (§2), pour les vitesses après le choc ,
2/w -f- dm a//i -h dm
c'est-à-dire, en s'en tenant aux infiniment petits du premier ordre ,
dm
dm
