DBC

ces DBC = cos MBD cos FBC ; mais on a

MBD = 90 — /,

et en abaissant CF perpendiculaire sur MN ,

PB cosFBC = gg;

doue

FB BD = BCsin/^=:FBsini.

Mais

FB = FN — BN = NC cos (<^' — (p) — BN

= e lang r'cos (f' — ç) — ^ tangr, donc en6n on aura

BD = ^sinf [tang/''co5((p' —9) — tangr], puis

R = -= —3 -+- ^ sie / [tangr' cos (©'— •) — tangr],

A cos r p cosr' *• ^ ^^ ^^ ^ ^

Si l'expression de

doit être très-compliquée à cause de a/"*, il n'en est pas do même du pit)duit p cos r^, seul utile dans la question actuelle. On a en eflet

cos r = ,

d'où

p cos r' = — 5"' = ab)l — A -h sin' 1 { «* A sin» ep — cos' ep) . De même Tassociatioii des deux facteurs langr'etcos (y — <f) a de grands avantages, car on a déjà (page 290) la valeur de

lang r' sin ç'*, et celle de tang r' cos ç', égal à -^ j s'écrit avec la

même facilité. Cependant, pour ne pas nous jeter dans des discussions pénibles , et pour nous restreindre aux exigences expérimentales, nous nous bornerons à considérer les quatre cas particuliers donnés par les hypothèses

(i)L = oo, (•a)y=o«, (3)^=90», (4)L = 90*. DaDs le premier et le deroier, ç étant quelconque, on est sur le terrain des lignes isochromatiques ^ dans les deux autres il s'agira des variations si différentes que l'obliquité provoque dans le retard, suivant que le rayon incident est compris dans la section principale ou dans le second azimut.

§ 278. — Premier cas. — La lame est perpendiculaire à Taxe. On a

, a' sin /

*«°g '^ = , / , . ,. { page 266) ,

cosr =

et, d'après ce que deviennent a/''', y\z"\

p cos r* •=• b ^\ — a' sin'/, alors Téquation du retard devient, en remplaçant cos r et tang r par leur valeur en 1 ,

b ^i — A'sin'i

(fl* sin i b sin i \ e

b ^i — rt'sin'f \/i — 6»sia'« / b \/ 1 — <i' sin^ 1 '

4^0 GHAPITRB X.

et après réductions

R=-T (v/i — fc'sin'/ — \/ï — fl'sin'f)*

Ta&t que la kme n'est pas très-mince, les obliquités efficaces restent faibles et la petitesse de an* i peimet de se borner à l'expression approximative

Discussion. — Les anneaust, — R ne tlépendant que de i, les liftes d'égal retard, ainsi que la symétrie l'indiquait, sont

circulaires. En posant R := Ar - 9 on obtient

stn* i ^

k pair <]fMMie «ne ifes <^x séries d'anneaux , les noirs on les rouges , et k impair l'autre. YoulonsHaous ûafroduiite en place de l'angle des cônes isochromatiques , les diamètres linéaires a/ des anneaux, tels qu'ils paraissent virtuellement en avant de l'œil , ou tels qu'ils s'obtiennent par projection sur un écran distant de D , on a

/ = Diang/ ou bien, puisque i est petit, /^=r Dsini, on a donc

c'est-à-dire que les carrés des rayons des anneaux d'une même couleur simple : 1^ croissent comme les nombres de la série paire ou impaire; 2^ sont en raison inverse de l'épaisseur, et qu'enfin 3° ils varient^ quand le milieu

change, en raison inverse des quotients — r

Les croix. — Mais si nous retrouvons ici les principales

lois des lames minces (S^^)) l'intensité de la iteinte au

lieu d'être constante dans l'anneau brillant, y cbange au

INTERFÉRENCES DE LA LUMIÈRE rOLARISÉE. 4^ |

pointée pouvoir disparaître siirdcux diamètres reclangu* laires qui senties mêmes pour les divers anneaux e( donnent une croix noire. Supposons en effet le cristal placé entre deux tourmalines croisées, et rappelons-nous (§ 190) que pour un cristal perpendiculaire à Taxe, chaque azimut est section principale, il est visible que la vibration transmise par la première tourmaline continuera d^ètre arrêtée par ta seconde pour les deux azimuts (ce sont o et 90) qui la transmettent sans la dédoubler et sans eo changer Forientation. Pour un autre azimut 5, l'intensité est donnée (car c'est Timage extraordinaire que garde la tourmaline polariscope) par la valeur de B* de la page 456, à la condition toutefois d'y faire co = 90**. Il vient

B' = sin* a j sin^ tr — r — •

Si ]e^ iOHrm^liaes ^sivoie^t lfttr« ax<9S pArallèlf» , ]cs azimuts o et 90 donneraient encore une lumière transmise sans dédoublement et conséquemmenl sans interférence, et il gr aurait une croix blanche.

Quand Tangle o> qui ^pare les ^^es des deux tourmalines, au lieu de valoir 90 degrés ou zéro, est quelconque, Tintensité est donnée par la formule complète

B' = sm* 0» + sm 2 f sin 2 (01 — s) sia' tt — -- — •

Quand

on n*a pas de couleur et une portion die la lumière totale est transmise par le polariscope ; de là une croix grise a branches d'inégal éclat. Il en est de même quand

jssoss90 7=: 180= 270;.

de là une seconde croix grise. Le si^ne du coefficient sin 2f sin 2(01) — s)

n'étant plus d'atUeiifs protégé contre les changements , comme il vient d'arriver avec co := 90 = o, ou aura, dans

un même anneau, des passages à la teinte complémentaire. Les changements ont lieu pour les valeurs

c'est-à-dire chaque fois que Ton passe par une des 8 branches des deux croix. On peut se rendre directement compte de tout cela , et nous engageons le lecteur à le faire.

§ 279. — Deuxième cas, r = o. Variation du retard dans la section principale.

Il s'agit ici du retard dans la section principale : a>= o donne

COS((p'-(p) = I

et amène en outre dans les expressions de tangr' et p cos r' = — z^" les réductions connues (§ 170). Si Ton en tient compte et si l'on remarque que les deux termes

T— — - el — sin i tang r donnent par réduction le terme V cos r *

unique

^ ^i — 6*sin»/>

Téqualion du reurd devient

sin'f + A B .

(I) R = MWi-^'sin^/ 7'^" -^sini

\^ Aa^V — A — sio»/ A }

Quand L = yo°, on a-

B = o, A=-l et il vient

Si nous faisons dans le retard deux parts, celle

bcosr pcosr' bs/i-b'sltiU «

engendrée dans le cristal , et celle

b sin' I b — a

sin / (tang r' — tang r) =

engendrée extérieurement, nous voyons que la première est positive et croissante avec i\ la seconde est négative, comme le justifie Tintervertissement des positions des deux rayons signalé (§ 155 eifig. 71) \ elle croît aussi , mais cet accroissement ayant lieu aussi bien par son numérateur que par son dénominateur, ellecroît plus rapidement que la première, et

leur ensemble f t ) v'i— A'sin'i décroît quand 1 grandit.

Si nous extrayons le radical approximativement, nous pouvons dire que le retard maximum -7 j donné par l'incidence normale, perd des portions croissantes représentées par

tG-î)""'''

ou des parties aliquotes de ce retard le plus grand, marquées

par — sin 1. Quand il s'agit d'un crisul positif tel que le

quartz, les signes des retards partiels, aussi bien que celui

du retard total, sont changés. Pour ce corps, que nous re-

b^ trouverons , quand/ = 5*^ = i o®, le facteur — sin' i ou mieux

les parties aliquotes rigoureuses valent o,ooi6eto,oo63.Une étude analogue de l'expression générale (i) serait intéressante. On prévoit que, tant que l'ou ne sera pas très-incliné sur les faces , le même antagonisme entre les deux parties du retard se produisant , au moins d'un côté de la normale , il y ait une série d'inclinaisons croissantes qui atténuent le retard total et fassent remonter la teinte dans l'échelle de Newton. Cependant cette étude doit être délicate, caria propriété si nettement manifestée par les lames parallèles à l'axe n'est pas absolue. En effet, avec une lame perpendiculaire à Taxe , il n'y a plus que des sections principales, et

474 GHAPITHË \.

dans toutes le retard (à vi*ai dire il part de zéro) croit avoc rinclinaisoD.

§ 280.— Troisième cas , «j' = 90. Retards dans le deuxième asimat. (f :=: 90 donne ta«gr'c»s(f'-f)^*angr sin/^— y= , ■■ ,

pco6r'i5;= ^^ V — A -H a'Asin' I , d'où

Bornons-nous encore au cas où L = 90 et où par suite

et nous trouverons

Formons-nous les deux retards partieb , ils seront I I

b sji — b* sin' 1 a ^i — u'sin'i

sin' I

Sans recourir à leurs dérivées et en nous bornant à prendre leurs expvessions approximatives , nous reconnaîtrons que le previier est positif et décroissant avec 1, tandis que le second estégalement positif et «re^t plus rapidement queTautre nediécroÉt. Somnoie toute, leurensemble est positif et croissant avec I. De plus, enealculant pour les mêmes angles t =i^j

i == 10°, la fraction du retard maximum t <pî forme

raccroHacm^ni,, on .trouve des frActiotts , peu difféncn4es, il est vrai, des précédentes, mais cependant plus grandes.

INTERFÉRlîMGES DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. ^jS

Ainsi , dans cette deuxième section , le retard total grandit avec Tinclinaison^ et si ce retard est employé à produire un phénomène de polarisation chromatique, la teinte descendra dans Téchelle de Newton. Pour le quartz le retard total est négatif dans cette section comme dans la précédente, ce qui indique qu'il appartient au rayon extraordinaire.

§ 281. — Quatrième cas, L= 90. Cas de la lame parallèle à Taxe. — Lêê hjpwbolea.

La lame est parallèle à Y«xe^ on a (§

cosy =

^b* cos* f -f- a* sin» ^

, a^ sin 9

, , , sin I ( b^xMS^ 9 + à^ sin' ®)

a y I — sin* 1 {b^ cos' y -h a* sin* ç)

p= ^à^ — ^*(a*— A*)sin*/cos*f, aJi — sia* i{è^ cos' » -4- «* sin* •)

y«* — A*j(û* — b^) siB*K cos* f

f coè r'=r a Vi — 5in«<(^»«05*y 4-rf*sni=^% ce qui donne pour équation du retard, après rédnctioB,

R = ^\/i — ô'siri' ' — - V^ I — sin* 1 ( ^* cos* y -h a* sin* ç).

t«s incidences utiËsëes dans les phénomènes qui correspoodent à «c caicui 6ont en général beaucoup moins limitées quedans Je cas précédent. Cependant, comme la partie centrale du phénomène est surtout ÎTitéressante, supposons

476 CIUPITRË X

encore que ^ soit petit, il viendra approximativement

R = ^ I 7 b sin' / 1 ib^ cos' cp -H a' sin'®) 1

En égalant successivement R aux multiples croissants de -9 on aura les équations des lignes isochromaliques. Si Ton

veut passer des coordonnées angulaires /, 9, aux coordonnées x^jTy z, Taxe des x étant parallèle à Taxe optique, et z , distance du tableau, ayant la valeur constante D, on rempla-

cera tang/ou sin /par — ' > sin<p par -=p9 cosy par-—^ ce qui donne

\ c ea — b I

c'est-à-dire une série d'hyperboles dont l'un des axes est Taxe optique du cristal.

§ 282. — Elles sont d'un ordre très-élevé. — Comment on les rend visibles.

Pour faciliter la discussion délicate des hyperboles de MuUer , consultons l'expérience. Plaçons une lame parallèle à Taxe d'un cristal quelconque, d'une tourmaline non absorbante négative, ou d'un quartz positif, sur le support de l'appareil d'Amici, en ayant soin d'en mettre la section principale dans Tazimut 4^ degrés, et nous verrons, si toutefois nous éclairons la pile de glaces avec une large flamme d'alcool salé, deux séries d'hyperboles alternativement noires et jaunes qui ont mêmes asymptotes et sont placées respectivement dans chacun des deux systèmes

INTKnFÉHfiNGES DE LA LUiMIÈAE POLARISÉE. 477

d'angles opposés fournis par ces asymptotes (fig. i38). A la lumière blanche on ne voit ces franges hyperboliques que si les lames sont très-minces \ mais alors elles sont tellement écartées de la normale , ou en d'autres termes leur axe réel est si grand, qu'on a peine à les voir. Dès que l'épaisseur est notable , on ne les voit plus que d'une manière douteuse, et Ton ne devine l'existence que d'un seul des deux groupes. Au contraire, si la lumière est monochromatique, on ne cesse pas de les voir même avec des épaisseurs inusitées, et ces lames épaisses leur conservent une largeur très* satisfaisante , de sorte qu'elles échappent à ce resserrement rapide qui, à défaut d'autres causes, rend souvent invisibles les franges d'un ordre élevé. Je les obtiens par exemple avec un quartz de 20 millimètres d'épaisseur, mais à la condition de mettre le cristal dans la pince à tourmalines et non plus sur le support de l'appareil d'Amici dont le champ est trop réduit par un écartement de ao millimètres entre le collecteur et le disperseur. Cette impérieuse obligation d'employer une lumière simple nous indique que nous avons affaire à des franges d'un ordre élevé, amenées dans le champ delà vision et maintenues larges [*) parles conditions géométriques du phénomène. Avant de revenir à notre équation , plaçons une remaixjue importante.

Supposons que dans l'expérience de Young (§ 20) l'un des rayons, celui de gauche par exemple, soit retardé de I millimètre. Comme i millimètre contient près de 2000 franges (1701 s'il s'agit des rayons simples de l'alcool salé) ,

( * ) Si le lecteur calcule à l'aide de la formule rigoureuse du $ 80 , note de la page 38, et non plus à Taide de la formule approximative

le numéro de la frange qui est écartée de 100 fois , 1000 fois, 3000 fois , etc., répaisseur de la première frange, il reconnaîtra que les franges de Yoiin^r , après s'être resserrées d'abord, reprendraient et dépasseraient la largeur dcf^ premières franges.

478 CUAPITKK X.

les rayons qui aboutiront au point central O y donneront la frange qui se serait faite à gauche quelque part en T {fig, 9) . Mais cette frange^ qui arait contre elle pour sa production enT une dérivation extrêmement affaiblissante, qui dans d'autres cas rencontrerait soit Tinconvénient de sortir ducbamp, soit celui de devenir très-étroite, et qui dans tous les cas serait invisible par suite d'une superposition des franges diversicolores de différents ordres, trouve» quand elle se fait au point O, les conditions avantageuses de largeur et de champ qui sont inhérentes à la position centrale de ce point O , et n a plus contre elle que Thétérogénéité de la lumière. Si donc on prend une lumière simple, ces franges si reculées s'obtiendront aussi nettes que les premières franges.

§ 283. — Discussion. — Deux séries d'hyperboles. Revenons à nos hyperboles : avec le spath, a — b est positif et comme, pour ce cristal, t vaut 3 , 3o36, tandis qu^en supposant

X = o"»,ooo588 et e=:o"",5,

— — r - ne s'élève qu'à 0,0 1 138, il s'ensuit que le terme constant, pour les premières valeurs de K, est négatif et que les hyperboles ont l'axe des x pour axe réel. Mais les premières hyperboles, c'est-à-dire celles qui occuperont la région centrale du champ et seront visibles, correspondront aux valeurs de K qui rendent très-petit le terme constant. Soit la valeur K = 290 qui , tirée de l'équation