SGR
ion lei ,
lF,
if.
•ur et
DIFFRAGTIO.^.
<\^i devient, quand ou pose
(I «^(^ CCS - i'* 1 -h ( / «ft'sin - c^M :
comme ils correspondent aux mêmes valeurs de f^ que ceux de l'expression
( I dp ces- <'*)-♦-( / ^<' sin - pM ^
les cinquante-quatre valeurs calculées suffisent amplement à cette étude , car elles contiennent sept maxima et autant de minima, nombre qui dépasse celui des franges appréciables (*).
Soit i^^ une des valeurs de (^ qui donnent un minimum. La valeur correspondante de s , donnée par Téquation
a + ê /r , ns^ — - — = -i^'
sera
cl les deux triangles semblables CMA , CPJT, donneront pour la distance PT = X,,» qui sépare cette frange du bord
(*) Pourquoi faut-il pousser jusqu'à des limites aussi étendues (^=: 5,5 ) le calcul des intégrales définies? Gela tient à la relation
En effet soit s^ la valeur de s qui donne un retard de y )., on aura
''{■ru-*-7i)='\
ÀuB
, À, c'est-à-dire 5' = --; rrr?
e'est^-dire que « = t'jj. On voit donc que, quoique t^ prenne des valeurs assez grandes, l'intégrale n'est cependant poussée que jusqu'à un arc s assez faible
En varîanL at, Dj 1rs diverses valeurs de X, X',*-* î gardent un rapport constanl marqué par celui des deux radicauï^ de SOI le que )a disposition de ces franges est invariable.
g 102. ~ Inexactitude de la théarïe de Toimf .
Le célèbre Youug avait altribué les franges qui noui occupent à Tinterférencède^deux rayons^ Tim direct eiTaiUrt^ réilécki sur le bord de T écran. El lea étaient ainsi ideiiliquÉS avec les franges belles et n ombrelles dont nous avons parlé (§40). Cette thcorie, qneFresnel avait d abord adoptée, donne pour la première frange brillante la relation Ucile à trouver
(*) On a feïi efl^ei
la din«i>ciicc cle$ deuï chemins vaudra —| 3— î*--! pour los fruiiifr^ bfit"
la 11 tes, PL Q, a -T ^ -^1 ■ "ï poiu" les ûh»Giires. On a donc \mui la preffiïW! fraiiffn ohst^iire
c'est-ù-diiv
DIFFRACTION. 1^9
Mais si Ton tient compte de la perte de - X due à Ife réflexion, cette valeur de X appartient à la première frange obscure : et comme elle diflère à peine de la valeur
on pourrait croire ce genre de franges impuissant pour décider entre la théorie si simple de Young et celle de Fresnel. Fresnel a été d'un autre avis. En prenant pour engendrer ieux systèmes pareils de franges extérieures, les deux bords parallèles d'une fente un peu large (i centimètre suffit dans les conditions usuelles de distance pour assurer aux franges a même organisation que si la fente était illilnitée), on peut )ar le calcul connaître exactement la distance qui séparé les ieux bords de l'ombre géométrique, dans le plan du microuètre. Si donc on retranche de la moitié de cette distance, la lemi«<listance de deux franges homologues , on aura la distance X„, effective et par suite la différence x^ — X,„. Avec im choix convenable de valeurs pour a et 6, cette différence peut s'élever, pour la première frange, à plus
d'un sixième de millimètre ( elle s'est élevée jusqu'à —2- de
millimètre ]*, la différence entre les deux valeurs assignées
par les deux théories est alors tellement supérieure à l'erreur possible, que, même sur ce terrain si favorable à Young, sa théorie a été démontrée inexacte par les nombreuses expériences de FresneL
A défaut des discordances numériques si concluantes, la théorie de Young comportait d'ailleurs de nombreuses objections. Ainsi le dos d'un rasoir ne donne pas des franges plus brillantes que le tranchant. Celles d'un écran de carton noirci qui ne réfléchit guère, même dans les incidences rasantes, ne diffèrent pas de celles d'un métal poli. Ces indifférences inattendues ont contribué à rendre suspecte à Fresnel la théorie de Young et Tont amfené à rattacher rips
l8o GHAPinUBV.
ranges, avec tant d'autres, uniquement k la dérivatkm dei mouTcments vibratoires.
Quoi 'qu'il en^soi^, puisque la formule qui donne ki franges du bord d*un écran rectiligne ne diflire de cdk de Young que par un facteur numérique, on peut en condnre qu^une même frange se propage hyperboliquement duu l'espace (*)] que les hyperboles des divei^ses frangés, un ped plus aplaties que celles de Young , ont conune elles, pmir foyers^ le point lumineux c et le bord  de Técran ; qu'ainsi l'ombre se trouve dilatée et surpasse l'ombre géométrique. Fresnel a eu soin de vérifier toutes ces conséquences.
§ 103. — L'ombre géométrique n'a pas de fringM.
n est visible que la dérivation doit jeter de la lonûiM dans Tombre géométrique elle-même. Pour un point de l'ombre les limites des intégrales sont 5 et oo . Fresnd 4
( **) En faisant varier dans la formule
«(a-i-€>Jl
1°, X et 6, on a la courbe d*une frange , et c'est une hyperbole.
2®. X et )., on aies abscisses d'une même frange pour les'diverses couleurs.
30. X eti'in (t'm étant des chiffres inférieurs à ceux de Young, soumis aune loi de variation très-compliquée et donnés ainsi que nous venons de le voir (§ 100 ) par une Table laborieusement calculée) , on a les abscisses des diverses franges pour une même distance ê entre l'écran et le tableau.
Changez les distances a et 6 et vous aurez
c'est-à-dire que les franges offrent toujours les mêmes rapports dans leurs intensités et dans les intervalles qui les séparent. • t
Nous avons déjà rencontré des hyperboles [ franges de Young (§22)], mais elles avaient un axe réel beaucoup plus petit que l'axe imaginaire et leur courbure était insignifiante. Ici au contraire Vaxe réel surpasse beaucoup l'autre, de là une courbure très-prononcée que l'on constate aisément par des mesures qui doivent porter sur des portions voisines du sommet. Si dans ces épreuves expérimentales les hyperboles ont paru partir du bord A; cela tient à la très-faible distance qui sépare le sommet do ces hyperboles dé leur fover.
DIFFRACTION. l8l
lalculé les cinquante-cinq valeurs d'intensité corresponlantes aux cinquante-cinq valeurs discontinues données par les valeurs >/ = o = 0,1 = 0,2. . . = 5,5, et n'a trouvédans le tableau de ces intensités aucun indice de maximum (§62). En effet, on ne distingue pas de franges à T intérieur de 'ombre : Tinvasion de la lumière diffractée s'y fait avec une légradation rapide et progressive,
§ 104. — Franges d'un corps opaque étroit.
Quand le corps est assez étroit pour que la dérivation jui s'effectue de chaque côté de ses bords atteigne et dépasse le centré de l'ombre géométrique, on voit apparaître lans l'ombre, des franges dites intérieures. Si la largeur du iorps diminue , et si pour ce motif, ou pour d'autres équivalents , la dérivation s'étend au delà de l'ombre, alors les ^ranges extérieures perdent leur disposition invariable et leviennent analogues aux franges intérieures, puisque, comme elles , elles résultent de rayons venus des deux côtés du corps.
Si le corps est suffisamment allongé, et si l'on cherche les intensités de la lumière dans le plan mené par le point lumineux perpendiculairement aux deux bords parallèles , yn peut éviter encore les intégrales en x et y^ et recourir i l'intégrale qui résout le cas précédent. Mais, comme les Jeux limites de l'intégrale varieront d'un point ^ l'autre du lableau, on ne peut plus obtenir de résultats généraux, et il faut se contenter de solutions numériques calculées laborieusement pour chaque cas particulier. Fresnel s'est livré à des calculs de ce genre, et a trouvé dans leurs résultats des vérifications généralement satisfaisantes.
Ces remarques s'appliquent également au cas d'une fente étroite \ il se traite par la même formule , mais avec des limites complémentaires de celles du corps opaque.
Nous estimons d'ailleurs que les écarts notables qui, pour quelques-unes des expériences étudiées dans ce para-
i8a GHâPnruv.
graphe, ont séparé les positions ynies des franges, deleon' positions théoriques, sont sans valeur contre cette théorie. En efSst, si Ton se rappelle (^ S8) an prix de quelles sn^ positions approximatives les calculs ont pu aboutir, on ai* mirera que les vérifications n'aient pas été plus sérieusement compromises par d'aussi grands écarts de la striete réalité, et Ton comprendra que la méthode expérimentale étant à ce d^ré capable de donner une haute valeur a des calculs, qui n^en auraient guère au point de vue analyti^, est bien une méthode indépendante, douée d*une puis* sance toute spéciale pour nous conduire & la yérité.
On voit donc que si tous ces cas de*difiracUon ressortent des mêmes formules, cependant Timperfection des msonrces qu'oiTre l'analyse, conduit à les diviser en troit groupes : 1^ ceux où les intégrales réussissent et o& Vfm peut résumer dans des formule^ générales les lois des pUnomènes ] i^ ceux où Tint^ation ne réussissant qa'i demi, étant en d'autres termes comprise entre deux limites dont une seule est \^ûible, on obtient encore quelques généralités^ et enfin 3*' ceux où l'on ne peut plus obtenir*! d'aperçus généraux. Fresnel a soumis au levier d'une syn- j thèse habilç et le phénomène (§101) qui forme à lui seul la deuxième catégorie et les principaux phénomènes compris dans la dernière. Ses heureux efforts l'ont conduit non-seulement à leur trouver un mode d'exposition élémen- ^ taire, mais encore à y démêler quelques lois.
§ 105. — Diffraction. — Étude synthétique. — Franges d'na corps étroit {Jîg. 55).
Prenons sur chacune des deux parties épargnées AF, GE de «l'onde, et pour le point quelconque P du tableau, les arcs d'Huyghens. Chaque partie étant indéfinie donnera (§54) une résultante due à la moitié des premiers arcs AM et GN.
Nous ayons pu trouver le retard du rayon résultant dan^
DIFFRACTION i83
quelque ça9, W^xx^ par exemple, d'une zone circulaire finie e% d'un fmeau infiniment mince et infiniment étendu
dans un sens. Il était dans ce dernier cas de ^X (§ lOi);
dans le premier, pour certaines zones, il était juste le double (5 59). Mais avec un arc fini, la phase dépend de Féquation
I as sin TT s^ — — —
et ne peut plus s'obtenir d'une manière générale , même en supposant que lé point P occupe la position symétrique p et toit sur la bissectrice de Tare AM.
Eh bien, si le point P est assez intérieur à l'ombre , si les mouvements ont tous une assez grande obliquité, les arcs élémentaires, qui, dans l'arc total AM, correspondent à des retards égaux, seront sensiblement égaux : rechercher la phase du rayon résultant revient donc à chercher Tangle de situation de la résultante d'un système de petites forces égalea et angulairement équidistantes. C'est-à-dire que le rayon résultant coïncide avec celui du milieu , et se trouve
avoir sur le premier rayon AP un retard de ^X. Si nous revenons à notre petit corps opaque , nous aurons en P le con^ Ait de deux résultantes dont la di0erence de route sera la même que celle des deux rayons qui partent des bords. Ainsi , tant que le point P est assez éloigné de la limite de Tombre la plus rapprochée, on a les franges de Young légèrement hyperboliques , équidistantes et soumises à la formule connue
d^ins laquelle c, distance des deux points lumineux, devient U largeur du petit corps. Mais quand il s'agit d'un point Pj
l84 GHAPltRBV.
suffisamment rapproché da bord de Tombre , les premien éléments de l'arc ÂM sont pins grands que les demicn, il suit que le rayon résultant se rapproche d'eux et quMl a
un retard moindre que 7 X. On ne peut plus remplacer les
deux rayons résultants par deux autres issus des bords. Là où ces deux derniers rayons donneraient une certaine différence de route, les autres en donnent une plus grande, c'est-à-dire que les franges cessent d'être équidistantes et se resserrent. Les franges intérieures peuvent donc notablement différer de celles données par deux points lumineux. Nous en concluons que l'aspect du phénoimène offert par le petit corps opaque n'est pas unique. "Ea faisant varier les paramètres c , 6, a (car a influe dans le cas général), on peut avoir une distribution différente des franges.
§ 106. — Franges d'une petite ouverture.
SiTouverture est très-étroite, il n'y a pas de franges, la lumière envahit tout l'hëmî sphère postérieur avec un décroissement rapide d'intensité qu'il faudra mesurer, quand on voudra connaître ou vérifier la fonction f(0) du § 83.
Quand la fente s'élargît, des franges apparaissent dans Tonibre géométrique 5 supposons qu'elles n'ont pas encore atteint la projection conique de l'ouverture, et même qu'elles en soient assez éloignées. Si au point Pi (^g. 56) , les deux rayons extrêmes ont pour différence de route X, comme la grande obliquité rend égaux les divers éléments de l'onde, les rayons se détruiront deux à deux, et on aura une frange noire. Il en sera de même pour tous les points où les rayons extrêmes différeront d'un nombre entier de i. Au contraire, on aura des franges brillantes là où
celte différence de route vaut un multiple impair de-» Bref,
on a des franj;es dont l'éclat diminue , puisque les mouvements réservés appartiennent successivement à des parties
DIFFRACTION. l85
aliqnotes décroissantes •= > -zt - ? • • • de rouverlure , mais ^ 357
qui acceptent encore la formule
fn=n
Ces franges sont équidistanles à partir des deux premières dont la disUnce (il s'agit des franges noires) est doublée. La cause de cet écartement double tient à ce que, quand la
dliTérence vaut ici - > tous les rayons sont d'accord , taudis
que quand deux seuls rayons (expérience de Young) sont enjeu, il y a désaccord. On a donc ici deux franges noires de moins, ou mieux, à part la frange centrale qui reste brillante, il y a un intervertissement général de toutes les franges. Ces résultats sont en contradiction si formelle avec la théorie de Young (*) , qu'ils ont eu une influence décisive pour en détacher Fresnel.
Quand le point Pi se rapproche du bord de Tombre, alors Tégalité des éléments de Tonde n'existe plus. Les éléments qui sont du côté de la frange sont plus grands , et quand les deux rayons extrêmes diffèrent de X , Tantagonisme cesse d'être exact et de plus n'est pas le meilleur. Dans quel sens les franges obscures, qui ne sont plus que de simples minima, sont-elles déplacées? Nous ne nous arrêterons pas à le deviner, en nous inspirant du contraste qu'ont offiert les deux coeflScients 1,873 et 2 (§ 102), et pour trouver leur vraie place nous renverrons aux intégrales.
Les franges peuvent envahir la projection conique de l'ouverture, et le centre peut même devenir le siège d'une frange obscure. Cette dernière particularité, déjà rencontrée dans le phénomène de la petite ouverture circulaire (§ 57),
[*) On ne comprend pas d'uillcurs qu'une réflexion sur le bord G puisse envoyer un rayon en P».
Cfl4PJfHE V.
ilemeiit {*)^ quand la diir^i-eoce de loute t^ui 'ayoïi 10, el chacun des rayons eisiréaieâ A<
1, ilj 3)^p
ic des frauges inlcricnrcs; maïs il o'v a pas lîêu
mer des exiërieurcs, al tendu que, quand el
a fois, Itîs dernières uc sont que la continuati
es, leur seule diirércnce consisle en ce que, pc
s mouvements qu'envoie louverture vienni
lu premier rayon, tandis que, si la frai
ix eure^ le premier rayon GPj est l'un des de
ns extrêmes.
en i^énéral , comme dans le cas du petit corps , la t
les franges est variable; on comprend cepend;
entes t?,^' puîî^senl, pour certaines valeurs de ac
donner a leurs franges les mêmes largeurs et
iemes rapports d'intensité, Fresnel a pu, par la synthè
trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les
paramètres a, 6, c, a', S^ cf pour qu'une telle îdentîlë aîtlî
§ 107. — Conditions pour que deux fentes donnent les mêi
franges.
Si l'on veut qu'aux points O, CK (fig, 56 et 67) la vé% tante se compose des mêmes éléments^ il faut qu'en mep des centres O, O' les arcs tangents RI, K'I' les différer AK, A'K' soient égales, c'est-à-dire que
l'ëgalité des franges exige PO=;=P'0' ou bien
(*) Aven la petite ouverture circulaire, on a pu, grâce à la posseï d'une formule générale, trouver le lieu précis de ces obscurités. Ici l'ir lité des arcsd'Huyghens, sensible surtout sur les premiers, y met obst
DIFFRACTION. 187
ma» si Ton veut que les deux ondes se présentent de la même manière aux deux points P, P' et leur apportent, ainsi qu'en OetO', des éléments similaires, il faut, comme on s'en convaincra sans peine, cette troisième équation
IM rM^
c'est-à-dire
IM ^ c '
qui, combinée avec la deuxième, fait disparaître les indéterminées IM, l'M', et réduit les équations de condition aux deux suivantes :
r'— T-=c''— T^::r- et
dont Tune peut être échangée contre cette autre
Une des conditions consiste donc à rendre proportionnelles aux ouvertures les distances qui les séparent des tableaux. Fresnel a vérifié l'exactitude de ces relations qui résolvent évidemment la même question pour deux petits corps opaques.
§ 108. ~ Invariabilité des franges d'un bord rectiligne.
Nous savons qu'au contraire les bandes obscures et brillantes du bord d'un écran présentent toujours et sans condition (§101) les mêmes rapports dans leurs intensités et dans leurs intervalles. Notre synthèse réussit à en donner la raison^ soumettons-la à cette épreuve. Soient (/«g^. 53 et 54) deux points lumineux C, C, les deux écrans AG, A' G', les deux tableaux TP, T'P'^ si , sur le premier, une frange a lieu à la distance TP, prenons sur le deuxième un point V tel, que les différences A'K', AK soient égales ; en ces deux points les mouvements élémentaires se présenteront «em-
ar^a'-hS')
Âmsl le rapport — ^ est cous tant, c'est-a-direque les franges
se succèdent de la même manière, offrent les mêmes degradations d^intensilé et deviennent identiques» si l'on éloïgni^ convenablement Vécrau P'T'. Si <J est la valeur de la différence AK qni donne un certain minimnui, le premier par
exeniplt*. on passera du relatif à l'absolu, et Ton aura
