LES RÉSEAUX. — TRAVAUX DE SCHWERD

Étude synthétique du réseau. — Lois des spectres quand les rayons inci' dents ou les rayons diflractés sont normaux au plan du réseau. — Cas où les deoxfaiseeanx «ont obliques sur le réseau. — Mesure de X. — Influence du rapport du plein au vide sur l'intensité des spectres. — Spectres absents. — Causes de la simplicité relative de la diffraction parallèle, — Cas de la fente rectangulaire allongée. — Calcul et construction des franges noireB et brillantes. — Réalisation de la diffraction parallèle et convergente. — Diffraction d'un trapèze. — On en déduit le cas ^u parallélogramme. — Deux séries de lignes obscures. — Les espaces où se dévolu ppent les spectres sont des parallélogrammes semblables à l'ouverture.

— Inégale intensité des divers spectres. — Cas du trapèze isocèle. — On en déduit le cas du cercle. — Diffraction de n + 1 ouvertures égales, équidistantes , et pareillement orientées. — Comment les effets d'une ouverture se compliquent surtout par l'arrivée de deux nouvelles sortes de maxima et d'une noutelle série de lignes noires. — Construction de ces nouvelles lignes. — Application aux réseaux. — Couronnes. — Stéphanoscopes. — Stéphanomètres. — Principe de M. Babinet. — Théorie des couronnes. — Exposé sommaire des analogies de la chaleur rayonnante et de la lumière.

— Théorie de l'identité des deux agents.

§ iii. — Explication synthétique des spectres des réseaux.

Ou appelle réseau un ensemble de petites ouvertures et de petits intervalles opaques juxtaposés régulièrement. On réalise aujourd'hui exclusivement les réseaux en traçant sur un verre, avec une pointe très-fine de diamant, des traits équidistanls ; les lignes dépolies par le diamant sont les intervalles opaques. Un réseau de cinquante traits par millimètre nous suffira, quoique, dans Finlérêt des éludes microscopiques, on ait dépassé mille irails par millimètre, rendant ainsi ouïes vides ou les pleins moindres que X.

Un œil qui , placé près d'un réseau , regarde une lumière au travers, voit, outre l'image directe inaltérée, une série damages latérales qui sont de vrais spectres dans lesquels les couleurs extrêmes sont nettement séparées, le r()Ui>e élantà l'extérieur et le violet, moins dévié, à l'inlériour.

ti)a ctiAfnrfiK v.

LVHude complète du réseau exigerait qu'on uuégràt les formules cU* la ditriaedon entre une série de limites; il est vrai que cesJîmileâ ^onl ëquidiâtantes, et qu^eii se plaçant dans certaines condîiious (§ H^)? les calculs aboutissent; mais ce n'est pas sa us une certaine complication. Aush doit'On cousidérer comme une bonne Tortune pour Toptique la solution synthétique h l'aide de laquelle M, Babînet atteint les principaux traits de ce curieux phénomène.

Groupons en faisceaux parallèles les milliers de rajODS que chacun des points de chaque ouverture rayonne en qualité de centre secondaire , et comme l'expérience a montré que la position des spectres des réseaux ne dépendait ni de la largeur d\in vide, ni de celle d'un plein , mais uniquement de la somme 5 de ces deux lari^eursj comprenons dans chaque groupe les rayons déficients qui correspondent aux traits opaques^ enfin arrêtons-nous (fig^ ^g] h la direction pour laquelle la diOerence af des deux rayons extrêmes qui repondent a un plein et à un vide, vaut le i d\ine certaine couleur, le rou^e par exemple.

S^il n^y avait pas de plein, les rayons d'un tel faisceau s'entre-détruiraient, et il j aurait obscurité dans cette direction oblique ^ mais le plein éteignant certains rayons , les rayons correspondants sont restaurés, et dès lors il y a lumièie. Cette lumière «st vive, parce que chaque ouverture donnant une régénération pareille, l'œil reçoit une somme de rayons.

Mais comment se fait-il que pour peu qu^on s écarte de celte direction privilégiée, on cesse brusquement d'avoir du rouge? Pour le voir, nous remarquerons que là où la différence a/^ vaut juste X, les faisceaux parallèles des autres ouvertures ont, par rapport au premier, les retards exacts i, aX, 3A,. . ., m)r^ ils sont donc en accord parfait. Mais, si nous passons à une direction voisine, telle que qf^ vaille

loo

DÎFFRACTiON. igi

es rayons komologues des divers faisceaux parallèles, transmis par les diverses ouvertures , auront les retards

>l o.oi>, 2^-1-0. 02>, 3\ -H o.o3^, . . . , m\ -^o.otn'k.

Au 5o® trait, le désaccord sera complet. Bref, si le réseau a loo traits, les So faisceaux régénérés par les 5o premières ouvertures 9 seront rigoureusement détruits par les 5o derniers. Avec looo traits^ cette destruction serait for-* melle pour un écart angulaire bien moindre, ce qui montre que les spectres des réseaux sont d'autant plus vifs et plus purs, que le nombre des traits est plus considérable. Quelques centaines sont bien suffisantes, pour qu'en s'aidant d'une lunette on y aperçoive nettement les raies du spectre ; maïs on voit en même temps de quelle importance est la parfaite équidistânce de ces traits.

§ 112. — Les > déterminés pà^ les réséanz;

Quand l'onde incidente est plane, et qu'ainsi que le suppose la figure , elle coïncide avec la surface du réseatf , les deux angles BaD^ abfsont égaux, c'ést-à-dire que

sm 5 = —

Installons donc le réseau sur une plate^fornle iihmobile située au centre d'un limbe, confions à une alidade une lunette d'un pouvoir grossissant suffisant. Si le réseaU est disposé bien en face d'un point lumineux très-élpigné, ou, ce qui vaut mieux encore , si on lui envoie normalement un faisceau parailélisé par Une lentille, la lunette pourra mesurer, à droite et à gauche, les angles d'écart sussessifs ô^ i\ J", . . . d'une même raie. Si la raie fait partie du pre- [ mier spectre, on en déduira X par la relation

> = j sin S, I. i3

ic^4 cHâmmft V.

Pour les 9*, 3*, . • . , ni* spectres, on usen detfonmiles

\ = - jsin^=-=f sin^. . . = — <sîn#*~'. a 3 m

C*e8t ainsi qu on a obtenu les longueurs d'onde des rajoni

principaux inscrites dans le tableau ($85). Le lecteur Terfs

également sans peine comment , en passant des sinus âm

tangentes , on effectue les calculs numériqneé sur les^pith

reposent les assertions contenues dans le même duméfO.

La formule

' , ^ m\ smd = —

montre que les sinus, ou bien les angles tant qu'il s'agitÀs premiers spectres, sont proportionnels et à X et ik m, et en raison inverse de 5. Le violet est donc moins dévie que le rouge, et ce caractère distingue nettement les spectres' dàl à la diffraction de ceux qu^engendrela réfraction. Les écarli de chaque couleur, dans ses restaurations successives, étant ; en progression arithmétique, l'étendue des spectres stlécessifs croîtra arîtlimétîqueraent. On conçoit donc qu'il y ait un certain intérêt à viser à des spectres d'un numéro élevé (*), et que pour voir les raies dans ces spectres, on n'ait plus besoin de porter à quelques centaines le nombre des traits du réseau. L'expérience avant la théorie avait découvert les lois précédentes.

Au lieu de mesurer l'angle de déviation , on peut (mais il faudra que la lumière soil bien vive) recevoir les spectres sur un carton DB placé à une distance AD = 6 du réseau, ^ mesurer avec une règle Técart linéaire DB = e. Les deux ^ triangles semblables ahf^ «DB donneront

(*) On n'oubliera pas que les spectres dos ordres supérieurs ne tardent pas à se superposer partiellement.

DIFFRACTION'. I()j

u simplement

A l'on cemarque que pour les premiers spectres de noire réseau au cinquantième, e est très-petit vis-à-vis de S. Mais on préférera, avec M, Babinet, laisser l'œil près du réseau et déterminer l'écart linéaire apparent €, sur un plan antérieur CB'. A cet effet, on place symétriquement dans le plan CB', situé à la distance 6, deux lumières. Tune adroite et l'autre à gauche, et on approche ou on éloigne le réseau jusqu'à ce qu'il y ait coïncidence de deux spectres issus, l'un de la lumière de droite, et l'autre de celle de gauche. Si l'un des spectres est le troisième et l'autre le second, l'écart e sera le cinquième de la distance des deux lumières. Ces lumières consisleni.en deux fentes lumineuses étroites, pratiquées dans une plaque métallique et illuminées par deux flammes mises derrière. U est vrai que les rayons arrivants ne sont plus normaux au réseau ^ mais pour les premiers spectres , leur légère inclinaison est sans inflnence (§ 113). En plaçant derrière les fentes deux flammes d'alcool salé, on détermine en quelques instants le 1 de celte précieuse flamme monochromatique.

§ 113. — Cas dn réseau oblique.

Quand le plan du réseau est incliné sur celui de l'onde, de l'angle RTO = j^ ijig» 6o), on trouve sans peine, pour déterminer l'écart angulaire 0 du premier spectre, l'éqaation

> = OR — TV = j[sinx — sin(x — 9)],

d'où

sin(x-9)=:-j4-sinx, nubien approximativemenl , puisque 9 est petit ,

S ces X

196* GHAPrnUBV;

cVsi-à-clire que la dévialioto s'accroît avec ToUiquitëi umH comme si s diminuait. Dans ce cas, les spectines de ffnaAe ne sont plus symétriques de ceux de droite pour lesqoekoa < îi = TV'— OR = j[sin(x 4- O') — sînx].

Quand les rayons diffractés sont normaux au réseau , on t 9 = X, la formule est

Xssjsinx,

et Ton a les mêmes résultats que si , les rayons incidents étant normaux, l'inclinaison ^ appartenait aux rayotisdi^ fractés. C'est précisément ce qui arrive dans la métliode expérimentale de M. Babinet.

Si dans cette étude synthétique, nous n'avons pas distingué les deux cas accoutumés , celui oà les mouvements d^ rivés ont une très-grande obliquité, et celui où, Tobliquilé étant faible, on aurait à tenir compte de la différence dei arcs élémentaires, cela vient de ce que , n*eùt«on pas le pt^ rallélisme des rayons , avec des réseaux à traits rapprochéi et pour Tincidence normale, les premiers spectres sontd^i fortement déviés.

§ 114. — Sur quoi influe le rapport du plein au vide.

Le phénomène du réseau diffère essenliellement de celui d'une seule ouverture élroile. On le conçoit, puisqu'un réseau est aussi bien Tassociation de petits corps opaques que de petites ouvertures. Cependant, quand le plein est égal au vide, le réseau donne ses premiers spectres là où seraient les premières franges brillantes latérales d'une de ses ouvertures; mais la ressemblance s'arrête là, puisque ■ les deuxièmes franges brillantes ne coïncident pas avecles -^ deuxièmes spectres, mais bien avec les troisièmes.

Le rapport du plein au vide , qui n'influe pas sur la position des spectres, a une influence marquée sur leuriu" tensité. Des pleins égaux aux vides donnent aux premiers spectres la plus grande intensité qu'ils puissent avoir, et aux seconds une intensité nulle. Quand Touverture vaU^

DIFFRACTION 197

^5, Je premier spectre est formé par le tiers des rayons incidents , ou la moitié des rayons transmis ^ le deuxième par le quart des rayons transmis; le troisième est nul; le quatrième est formé par le huitième des rayons transmis. En

général , si est le rapport du plein au vide, il y a disparition du n.'*'"*' spectre. Dans notre réseau au ^, le plein

vaut à peu près ^5; aussi est-ce le cinquième spectre qui

s'évanouit.

Les spectres des réseaux sont les spectres par excellence. En effet, tandis que la cause qui produit les spectres prismatiques est d'une grande complication , ici la séparation des couleurs dépend, par une relation très-simple, de la différence des X, et ne dépend que de cela. On comprend de suite pourquoi ces spectres , au lieu d'oiïrir, comme ceux des prismes, une constitution variable, ou, en d'autres termes, au lieu d'être irrationnels , présentent une distribution de couleurs invariable et sont semblables entre eux ; du moins tant qu'on ne considère que les premiers spectres, et tant que les sinus peuvent être remplacés par les angles.

§ ii5. — Ëtnde analytique du réseau.

Quand on suppose en diffraction le point lumineux à une distance finie, et qu'on calcule la résultante pour un point placé également à une distance finie, la relation des quantités 6, V^ i", ..., 7, /,/,•• • dans l'expression

B*= ( / ^cos7) -+- ( / ^sinYj 5

est assez compliquée. Si, par exemple, on prend, ainsi que nous l'avons fait (§t01), les quantités i, ft',..., égales entre elles eik ds^ les retards successifs valent

3a6 2a6 ^ aaS

198 GUAi>rniR V.

et Ton voit qu*iU croissent, comoie les carrés if 4) 99* •• de la série des nombres entiers. Il n'en est pins de même quand, ainsi que nous avons eu déji roccasion de le anp* poser à diverses reprises (§§ SS, 27), et récemment mmeott dans l'explication synthétique du réseau, le point lumineoi estàVinfini, et que les rayons diflfractés s'adressent à un oeil infiniment presbyte. Dans ce cas, qui constitue ce que nous nommerons la diffraction pamllàle, les int^ral^ s'obtiennent pour certaines ouvertures, quoiqu'elles soient finies et ne soient pas de révolution, comme au § 58. Schwerd, auquel on doit cette extension, a traité ainsi, d^ abord le cas d'une fente rectangulaire très-allongée dans un sens , puis celui d'un trapèze , et il a pu, en s'appayaiu sur ce dernier, traiter, approximativement il est vrai, mail dans toutes les directions, le cas de Touvertiure cironlaîfc que le § 60 ne résout que pour le point central. Cet babik physicien a cru devoir donner à ses calculs une fbme discontinue, sans doute parce que les phénomènes des réseaux qu'il désirait soumettre à ses formules sont empreints de discontinuité. En traitant diaprés lui ces divers cas , nous croyons devoir adopter, dans l'établissement des deux formules fondamentales, les formes du calcul intégral.

iii 116. — Cas du rectangle allongé.

Ayant fait choix des directions des faisceaux incident et diffracté , et fixé ainsi les deux ondes correspondantes , nous dirigerons le grand coté du rectangle, le côté Y par exemple, parallèlement à rintersection ' de leurs plans. Dans ces conditions simples, une figure plane suffit pour l'étude du phénomène. Coupons, en effet, le tout, par un plan perpendiculaire au côté Y; ce plan sera parallèle et au faisceau incident AaBb i fig, 6j) et au faisceau diffracté aC^D; la ligne ah^ suivant laquelle il coupera la fenlc^ en sera la seconde dimension X. Abaissons des points b^o les deux perpendiculaires 6P, ^rQ, l'une aux rayons incidents et l'autre aux rayons diffractés; soit ^ el ^ leurs angles avec la fente ; enfin caractérisons par une abscisse ne =. ./;, comptée du point O)

DIFFRACTIOI^. 199

les divers petits rectangles ydx dont Tensemble forme le lectangie, et qui comprennent chacun, des rayons de même phase. Entre les plans ^P, aQ, le chemin du rayon Ë^sera

re -\- es zzz [IL — ar)sinx -4- .r sin O.

Pour le premier rayon Ar?, il est

Prt = Xsinx> différence

.r(8in$ — siï^x)»

l'anomalie du rayon quelconque est donc

-r- ( sin <l) — sin X ) ^'

On trouve la même différence en remplaçant la perpendiculaire bV par /zPi , et prenant la différence des deux chemins es, er^ dont le second est donné par le rayon incident prolongé. D*ailleurSy le coefficient de vitesse est proportionnel à Yd!r, la phase Tf; et rintensité B* dii rayon résultant du rectangle, dépendront donc des deux intégrales

I ^j^ cos -r- j: ( sm $ — sinx)l«

I dx sin I —- X (sin ^ — sin ;^) 1 • La première est, entre ces limites,

— ; ; : Sltt 1 -— X (sin * siu v) 1 9

27r ($in4» — sm x) L ^ J

et la deuxième

-r-, ; r 1 — cos ^ X(sin * — siny) J 4- 1 }•

Le quotient de la deuxième parla première donne tang>[* = tang -X(sin* — sinx) n

lou

^=r^X(sin*— sinx);

c'e&i'h-àlït que le rayon résuttant a le même retard que ïe milie de Touverture, On aura B* en faisant la somme de leur* carrés « en rétablissant le facteur omis Y, ce qui donne ^|

t ; J 2 ^ ^ fos -1^ X{sjn * — sinx) [

4 it* (sin * '

Remplaçant la parenthèse par quatre fois le carre du sinus de ii moitié de Tare, B^ devient un carré parfait, et Ion a, pour le coefficient de vitesse du rayon résultant j

«=ÏTX

I ^X(sin* — ^nx)|

- X(sin* ~ aînx)

Le nombre des rayons incidents varie avec T obliquité j[ ; il esi maximum quand Tincidence est normale; bors de là, la secliofl du faisceau admis au phéoonicne est rétluite dans le rapport de cttà jt ^ i » Pour rendre la formule générale , il faut introduira cette quautité maximum; si nous la mesurons par la mràci S =: XY dt Tou vertu re, il faut renjplacer dans T ex pression prt" cédente XY par S tos;^, et alors on a

B^z^S'cos'x

in I - X (sin* — sin ;ç) Il -X (sin* — sin/)

Le facteur fractionnaire indique quelle fraction de la lumière incidente se propage dans la direction étudiée. Comme la déviation du faisceau diffrarté est * — ^ ==^ ®» P®"'' ^^^ exact il faudrait introduire le facteur/ (0) du § IS8; mais nous convenons encore de le négliger dans cette étude.

§ 117. — So^ntion d'un certain cas discontinn.

Si nous décomposons Couverture en n rectangles égaux ayan*

pour dimensions Y et — ? la résultante générale pourra être coJi'

sidérée comme celle des n rayons résultants de ces rectangle^ Leurs coefficients de vitesse, égaux , et déduits de la formule pr^

DIFFRACTION. aOI

cédenle en y remplaçant S par - et X par — j vaudront