B~4AC

donc cette courbe est toujours une ellipse.

La courbe étant fermée , le mouvement est périodique : nous aurons la durée Tj de la période en nous en référant aux valeurs isolées de x et de y, et cherchant le temps t' qui redonnera et à l'une et à l'autre les mêmes valeurs. Comme j développé contient le sinus et le cosinus de l'arc

W)LARISATIOH ELLIPTIQUE ET CIRCULAIRE. - THÉORIE. fa

air-, on voit que le nouvel arc arc- devra surpasser 27T -

de 3 7T, d'où if — t, c'est-à-dire Tt = T. La durée de la période n'a donc pas changé.

Ce mouvement résultant constitue ce qu'on nomme un rayon polarisé elliptique. Suivant la valeur de 9, la gyration a lieu dans un sens ou dans l'autre, et il est utile de distinguer deux sortes de rayons elliptiques. Reprenons, en effet, avec un retard quelconque et sur la fi g. 181 cette construction de parallélogrammes successifs qui nous a servi à distinguer les deux sortes de circulaires (§ 321), et ayons soin , pour plus de clarté, de placer, dans le premier, la particule à la limite À de son excursion parallèle aux x : on voit que, pour quelqu'un placé au-dessus du plan XOY, le mouvement se fera dans le sens de l'aiguille d'une montre, nous l'appellerons dextrorsum. Il irait, dans le même quadrant YOX, des Y aux X et serait sinistrorsum* si l'anomalie 9 restant positive était comprise (fi g* 182) entre tt et arc, ou encore si, 9 devenant négatif, le retard, moindre d'ailleurs que -9 appartenait (fig. i83) au rayon x (*).

§ 360. — Équations des deux sortes de rayons elliptiques*

Nous savons que les phases peuvent être accrues ou diminuées d'un nombre exact de circonférences, et qu'ainsi la différence de deux phases peut toujours être ramenée entre o et 27T. Il y a plus : si Ton consent à prendre des anomalies négatives, on peut, par ce même artifice, la ramener entre o et 7r, car quand 9 est compris entre tt et arc, ajoutons 2 7t et alors la phase du deuxième rayon sera

21T- + 2ir — 7=27- — [— (2*— <p)],

(*) Comme conséquence évidente, ajouter on enlever une demi-circonférence à la phase d'un des rayons, transforme le rayon résultant en un elliptique de gyration contraire. Voir § 566.

5o CHAPITRE XII.

et il aura pour anomalie l'arc 2?r — <p moindre que tt et pris négativement. On a alors, pour représenter les deux classes de rayons elliptiques , les deux systèmes d'équations

x=«cos2ir-î y z= a cosl 2fr-qpf U

le signe — s'appliquanl aux dextrorsum et le signe + aux sinistrorsum, et <f restant compris entre o et 7T (*).

§ 351. — Hélices dextrorsum et sinistrorsum, subordonnées aux rayons de même dénomination.

Les positions résumées par une ellipse, qu'occupe successivement dans le plan des xy la particule d'éther, se développent ultérieurement dans les autres particules du milieu propagateur, et, à un instant donné, P en semble des déplacements du point O se retrouve dans une série de points primitivement alignés le long de Taxe OZ. On conçoit que ces points vont être enroulés sur un cylindre droit qui a pour base l'ellipse décrite par O, et y formeront une hélice elliptique ayant À pour pas. La considération de ces hélices est utile et constitue un nouvel aspect du phénomène souvent très-commode.

Admettons avec Ampère qu'une hélice est dextrorsum quand , pour un observateur placé en dehors du cylindre , la spire, dans la partie antérieure , monte de la gauche vers la droite (c'est le cas des vis et des tire-bouchons). Admettons de plus, et cela aura lieu dans les appareils les plus usuels, celui d'Amici par exemple, que le rayon chemine suivant OZ, c'est-à-dire de bas en haut ; alors on voit que la position E devancera sur le cylindre la position F dans la

( *) Retrancher n intervertit la gyration ( § 349, la note), changer le signe de ? l'intervertit également. Si [donc on fait les deux choses à la fois, les nouvelles équations

* = flC082ff

-, y = a' cos hir^ — (w — 9)U

où l'anomalie a pris une valeur supplémentaire, représenteront un rayon de même gyration. Voir le $306.

Polarisation elliptique et circulaire - théorie. 5 1

fig. 181, et sera précédée par elle dans \*fig. i83, de sorte que chaque espèce de rayons engendre des hélices de même dénomination [fîg. 184 et i85).

Il est évident que toutes ces correspondances seraient dénaturées, si, les y positifs étant pris en arrière, les positions analogues, au lieu d'être A, B, devenaient A , B' (fig. 181): ou bien, si le rayon se propageait de haut en bas. Il fallait faire un choix, nous avons été guidé dans le nôtre par le désir d'utiliser des conventions existantes. Nous y serons fidèle dans la suite de ce Traité.

§ 352. — Les vitesses conduisent aux mêmes résultats. Intensité d'un elliptique. On peut également recourir à l'ensemble des équations

pour exprimer un elliptique* Pour voir le sens de la gyration, on choisit le moment où Tune des deux vitesses , V, par exemple , est nulle, et l'on cherche la direction de V,. On voit ainsi que y positif et plus petit que n répond encore aux gyrations dextrorsum, tandis que les gyrations contraires sont engendrées soit par ?>* et < 2ir, soit par f négatif et > — x. Les deux classes de rayons sont donc, à ce point de vue, données par les deux systèmes d'équations

V,= 6sin2ir-» Y,=z 6'sin ( 2tt- qp?\

dans lesquelles encore ? ne surpassera point n.

La vitesse résultante est tangente à la courbe et a pour expression manifeste

Sa considération est utile quand on veut obtenir l'intensité d'un rayon elliptique. Admettons, en effet, que le travail accompli se compose toujours, comme au § 18, de la somme des éléments de travail, quelle qu'en soit l'orientation; l'intensité sera

I <fidt=l ^sin»2ïr|c//-h f ^sinM2ir| — ?\<it,

c'est-à-dire que l'intensité est la somme des intensités des deux rayons composants.

En général, l'addition des intensités n'est légitime que pour des mouvements successifs. Dès qu'il s'agit de mouvements simultanés, l'intensité (§§ 82-85) surpasse la somme des intensités ou est surpassée par elle. Une première exception a été offerte par deux mouvements vibratoires situés dans le même plan, quand leur

différence de route est -.* Une deuxième exception nous est offerte

ici par deux vibrations situées dans deux plans rectangulaires. Quelle que soit leur anomalie, la somme de leurs intensités donne celle du rayon résultant (*).

En effectuant les deux intégrales , on trouve pour l'intensité

( *) Cette constance nous explique l'éclairement uniforme de l'écran dans l'expérience de Young modifiée du § 232. Mais quand, intermédiaire») en t, les deux rayons ont leurs plans de polarisation inclinés l'un sur rautae d'un angle autre que 90 degrés , alors l'intensité redevient variable avec la différence de route, et les franges renaissent d'autant plus énergiques qu'on s'éloigne davantage de la rectangularité. En effet, si oc est l'angle des deux plans , on a pour le carré de la vitesse résultante

i'sin* 2 7r £ àt -+- bn sin* ( 2 tt £ — f) àt -+- 1 bb' sin 2 ^ - sin lin- — ç> 1 cos a dt9

et pour intensité la somme des intégrales données par ces trois expressions, étendues aux limites o et T, c'est-à-dire

! (*».+- b'*)-h TW cos a cos f, expression qui, a étant constant, varie avec f depuis le maximum

ï(t>+i'*+2W'COSK) 2 V '

jusqu'au minimum

1 (&*-+-&'»- 2 **'cos a).

Si l'on a b = h' et a = !\b , le maximum cl le minimum valent et sont proportionnels à 1,707 et 0,293.

ou, profitant de la relation qui unit b et a (§ II),

On peut donc, en négligeant un facteur constant, prendre la somme a'+fl" pour mesure de l'intensité d'un rayon elliptique. Ainsi disparaît le seul avantage qui paraissait devoir s'attacher à la considération des vitesses, et désormais nous nous bornerons aux excursions, puisqu'elles offrent les avantages bien réels d'être mises facilement en évidence dans les figures et de conduire ici à la trajectoire.

§ 353. — Expériences sur la composition des vibrations rectangulaires.

On peut avec M. Lîssajous rendre visibles, comme il suit, les ellipses dues au concours de deux vibrations rectangulaires de même durée. Soient deux diapasons portant chacun, sur la face externe d'uue de leurs branches, un petit miroir plan (Jig- 338, PL XIV) : si l'on dispose ces miroirs parallèlement et en regard l'un de l'autre, on pourra obtenir que le trait solaire lancé sur le premier atteigne ensuite le second, et subissant, après ces deux réflexions, l'action d'une lentille convergente, aille se résumer sur un écran en un point brillant P. Qu'on ébranle alors les diapasons, et le point lumineux, soumis par le mouvement du premier à une excursion horizontale, et par celui du second à une excursion verticale, décrira autour de P une courbe sensiblement plane. Quand on a la précaution de rétablir la symétrie des branches en adaptant à celles où ne s'opèrent pas les réflexions, des pièces pareilles aux miroirs, les ébranlements dureut, comme à l'ordinaire, un certain temps , et , si les vibrations sont assez rapides , la persistance des impressions rend permanentes les courbes décrites. Avec des vibrations plus lentes, on peut n'avoir qu'une visibilité partielle de ces courbes, et voir l'illumination les parcourir dans un sens qui indique le sens de la gy ration. Telle est l'expérience fondamentale appliquée, avec le plus grand succès, par M. Lissajous à l'étude de la composition des vibrations sonores quelconques. L'optique

n'ayant que faire d'une aussi grande généralité, rendons horizontal l'axe du diapason D, vertical celui du diapason Df, et les ayant choisis de même ton, parfaisons leur unisson en surchargeant le plus aigu par des petites boules de cire , nous serons alors dans le cas du § 349, et nous obtiendrons une ellipse dont la forme et la position dépendront de la différence de phase accidentellement introduite lors de l'ébranlement. Si Ton veut être maître de cette différence, il faudra attaquer les diapasons par un moyen mécanique convenable : c'est ce qu'a fait également l'auteur de ces belles expériences.

§ 354. — Un même elliptique peut résulter d'une infinité de systèmes constituants.

Un même elliptique peut être engendré par une foule de systèmes de polarisés rectangulaires. Pour s'en convaincre, il suffit de projeter sur deux nouveaux plans rectangulaires chacune des vibrations primitives , on obtiendra sur chacun de ces plans deux ondes réductibles à une seule par les formules connues § 52, et Ton aura ainsi passé du premier système à un deuxième, formé de deux rayons qui n'ont plus ni les mêmes amplitudes ni la même anomalie, mais qui cependant donneraient la même ellipse, et forment ainsi un système équivalent au premier.

Dès lors on est conduit à se demander si, parmi tous ces systèmes de rayons capables de constituer un même elliptique, il n'en est pas quelqu'un plus simple que tout autre et se recommandant surtout par une plus grande accessibilité aux déterminations expérimentales. Un tel système, s'il existe, pourrait être défini système principal, et ses paramètres paramètres principaux du rayon elliptique 5 et dans la recherche des lois on pourrait trouver des avantages dans son emploi.

Si w (*) est l'angle d'un des nouveaux plans avec le

( * ) Les ta seront positifs quand ils iront des X aux Y dans le quadrant XOY.

plan ZX, on aura {fig* 186.)

j/ = â?oos» -f-^sinw, y = — xsinw H-jcosw, c est-à-dire en remplaçant x et y par leurs valeurs

jr = a cos 2ir - • cos w H- « cos (a n - — ? Jsin w > j = — a cos 2 ir -. sin w -r-«'cos(2ir- — <p)cosw

La phase <£ et l'intensité A* du rayon a/, données par la règle

de Fresnel, seront

a' sin usine

tang * = y—. — l >

^ acosw H- a'sinw cos<p

À1 =r a* cos8 w 4- a'* sin* w -f- 2 a a' sin w cos w cos f . Pour le rayon y1 on aura de même

, . a' cos w sin •

tang^'= : ■ — ; ï ,

^ — flsmw+a'cosw cos ?

A'* = a* sin* w H- a'2 cos* m — aa' sin 2 w cos y.

L'anomalie i{/ — <p des deux nouveaux rayons sera donnée par

. , . g' cos A» sin p (« cos oi -h a' sin w cos y) — a' sin &> sin y (— a sin &> -h a' cos « cos p ^

fi^r rv (âcosw-i-a'Bin wcosf) ( — a sin m -+-<>' cos m cos p)-h a" cos a sin» sin* o

Réduisant et posant <p ' — <£ = $, il vient

a a' sin©

tang$ = — ; ^ (*).

^ aa'cos2*>cosf — |(«a— a") sin 2 w * '

( * ) A chaque valeur a répond une valeur ta', donnée par la relation

2 6)'=ff ■+- 2 6),

qui change le signe de tang (^' — <fi) et donne un système dont l'anomalie est supplémentaire de celle du système a.a'. $'—<{/ =*. Les innombrables systèmes se correspondent donc deux à deux de cette manière , et la relation

montre qu'ils utilisent les mêmes directions. Mais on aurait une idée fausse de cette correspondance si l'on ne remarquait que la valeur «l'échange, entre elles, les valeurs A, À', de sorte que ces systèmesconjugués rectangulaires sont réellement A.A'. * et A'.A.?r— *. Toutefois, quand les amplitudes A, A' sont égales , le système conjugué rectangulaire n'offre plus qu'une différence, à savoir celle de l'anomalie qui re«*te suDplém*»n*'»;~

Nous avons pris la différence <J/ — <{/, attendu que le rayon OX'doit continuer d'être en avance pour que la rotation ait toujours lieu dans le même sens.

§ 355. — n y a toujours un couple de constituants distants de--

Voulons-nous que le système ait l'anomalie - ou le retard -T» alors

tang ( ^ — 40 ==!<*> y d'oi* tang 2 Ci =

la a1 cos y

et les intensités A] A',* seront ce que deviennent leurs expressions générales quand on y donne à w la valeur il tirée de l'équation précédente. Le lecteur qui effectuera cette substitution aura soin de commencer par introduire dans A1, A", cos ao> à la place de cos w et sin «, il trouvera (*)

A; = -(«' -h a'*)± i vVs — «/,)*-+-4a,a/,cosa<p5

(* ) Le double signe s'interprète comme il suit. L'équation

a aa ' cos p

t,ngaa= a,a„y

admet pour il une infinité de valeurs. Mais ces valeurs ne donnent que

deux directions distinctes , et voilà pourquoi on n'a que deux valeurs A ,

A' correspondant Tune à la première des valeurs de £1 et l'autre à la

deuxième.

. 2 aa' cos 9 t . .. . x , , . - .

Si — ; jr1- est positif, ce qui ne peut arriver que quand on a a la fois

a* — a'* le premier angle a û est <<)o, donc cos au est positif. Or il vaut t

donc le radical doit y être pris ! , suivant que J , ou, en d'au

tros termes il doit avoir le signe de cos p. Quand au contraire — ; ■£ est

négatif, ce qui suppose l'ensemble des conditions

j a>a' la <a'

§ 356. — Il y a toujours nn couple de constituants égaux.

Voulons-nous avoir deux rayons égaux, alors on posera

A' = A", c'est-à-dire

(a* — a'3) cos 2 a, = — 2 aa'cos<psin an, ,

d'où

tang 2 a, = »

0 2aa'cosy

et , par conséquent ,

tang 2 ( û — fl, ) =00 ,

ce qui montre que ces nouvelles directions sont à 45 degrés des précédentes. Dans ce cas on trouve

Quant à la différence de phase, elle devient, après des réductions faciles,

/ 1 / 1 \ ± 2 *i a' sin y

tang (+', — ^, = ■ T — •

Nous la désignerons par <f>, .

auquel cas le premier des angles 2 O. est > 90 et par conséquent le premier

! négatif .,.- »ui-

a^ an c'est-à-dire que dans tous les cas, le radical et cos <p auront

le même signe.

Or, dans les expressions AJ A't * ce radical apparaît et n'y apparaît même que comme dénominateur de cos 2 XI et sin a û. Son signe y sera donc fixé par les mômes considérations , et A, cessera d'être le plus grand axe pour devenir le plus petit quand cos p sera négatif.

Dans ce qui précède , nous avons admis que Ton prenait, pour le premier

angle 3 û, toujours un angle positif. Or quand — ; jf est négatif, si nous

convenions de prendre pour premier angle l'angle négatif. Alors le signe supérieur suffirait et AJ , caractérisé par l'angle dont la valeur absolue est la moindre, serait constamment le grand axe. On le justifie sans peine.

§ 357. — Propriétés de ces deux couples remarquables.

Voulons-nous que le système ait la plus grande ou la plus faible anomalie, nous trouvons, en égalant à zéro la différentielle de tang 4> pour wt ,

tang 2 w,= —

ia a cos <p

c'est-à-dire la même valeur que pour flt , de sorte que l'anomalie 4>t des rayons égaux se trouve être soit un maximum, soit un minimum. Ce qui a été dit ( § 354, ame note ) montre que c'est l'un et l'autre.

Voulons-nous enfin avoir deux rayons constituants qui diffèrent le plus possible en intensité , l'un étant maximum et l'autre minimum, si toutefois l'association de ces deux rayons extrêmes est compatible avec la rectangularité de nos plans. Il faut écrire que les différentielles des expressions A*, À", prises par rapport à co, sont nulles. On trouve ainsi pour l'une

(a* — a'* ) sin 2« — %a a! cos y cos2 w,

et pour l'autre la même expression prise en signe contraire -, on n'a donc qu'une équation , et comme les divers angles <ù qu'elle donne sont distants de 90 degrés, il s'ensuit que les rayons extrêmes sont bien réalisés dans deux plans rectangulaires. On reconnaît enfin que cette équation unique n'est autre que celle qui nous a donné déjà le système doué de

l'anomalie —

§ 358. — Relations des constituants principaux arec l'ellipse

décrite.

Avant de conclure , il faudrait connaître , par rapport à l'ellipse que décrivent tous ces systèmes équivalents , la situation des plans qui caractérisent ceux d'entre eux qui sont les plus simples.

L'équation de cette ellipse' est (§349)