X* Y* 2 COS

Pour avoir ses axes, on passe à un autre système de coordonnées rectangulaires à l'aide des formules connues

x = j/cos*> — y sin», ar=â/sin<»H-jr'cos«*,

et on détermine o> par la condition que le terme en xy disparaisse. On trouve ainsi l'équation

- (a* — *'*) sin a » =± a a ' oos <p cos a «,

identique avec celle qui nous a donné fl. Donc c'est quand les deux plans où ton ramène les vibrations passent par les axes de V ellipse, que Von a soit les deux vibrations maxima et minima, soit les deux constituants distants

Il y a plus : en formant les valeurs des nouveaux coefficients des termes en x* et y*, on obtient

-5—^ (a** cos* w -H a * sin* w — a a1 cos j sin 2 w) et

—-7- («'* sin*&> H- a* cos'» H- a a' cos 9 sin 2 »)•

Les carrés des axes de F ellipse sont donc

a' a" sin*?

a''cos'a>-Hz' sin*»— aa' cos ? sin 2 »

et

g*fl''sin*y

a*cos'u-t-a'2 sin3 M-t-a a' cos ? sin 2 w

En réduisant ces fractions au même dénominateur, on voit qu'elles sont proportionnelles aux expressions générales A*, A/f des intensités, qui prennent les valeurs A*, A',* dans le cas actuel de w = ft \ ainsi quand les deux plans passent par les axes de r ellipse , outre les deux particularités précitées, les vibrations offrent celle aV avoir leurs amplitudes proportionnelles aux deux axes.

Le deuxième système est loin d'être aussi remarquable. Si les constituants y sont égaux et si leur amplitude com-

mune se rattache simplement à celle du système primitif, si , de plus , l'anomalie y prend une valeur extrême , cette valeur est compliquée et sa complication constitue pour ce système une infériorité bien réelle. Ou pourra sans doute y recourir (§ 361), mais d'une manière subordonnée et uniquement pour trouver la position du premier système qui en est à 45 degrés. Bref, le premier système est pour nous , sans conteste, le représentant principal d'un rayon elliptique,

§ 359. — Relations avec les diamètres conjugués.

Ces rapprochements entre les axes de l'ellipse décrite, et les éléments du système principal ne sont pas les seuls que Ton puisse établir. En effet, i° la somme des carres d'un système quelconque À'-f-À'sest visiblement constante et vaut a*-4-a'% comme on pouvait d'ailleurs le déduire de ce que l'intensité du rayon elliptique (§ 582) ne saurait dépendre de l'aspect sous lequel il nous plaît de le considérer ; 2° si nous passons de tang * au sinus de l'anomalie, nous trouvons

. ^ iaa' sin ©

sin 4> = T •

V [(*' — a'2) sin 2w — iaaf cm 2wcos«p ]a-h 4<rti/asin'y

Or, si l'on effectue le produit ÀA' avec le double soin de n'y laisser que le sinus et le cosinus de l'angle double 2 w et d'y introduire sin'f , on trouve qu'il est égal à la moitié du précédent radical, d'où l'on conclut que le triple produit des amplitudes de chaque système par leur anomalie est constant et vaut aa! sin y. En faisant un retour sur les propriétés des diamètres conjugués de l'ellipse, on voit que ces deux relations ne sont autres que celles, qui unissent les longueurs des diamètres conjugués de notre ellipse avec l'angle qui les sépare, de sorte que le bénéfice de théorèmes et de constructions bien connus se trouve acquis à l'étude de la polarisation elliptique. Toutefois, comme les diamètres conjugués autres que les axes cessent d'être, ainsi qu'il arrive aux vibrations de chaque système, à angle droit, tout semble se borner pour eux à des rapports de grandeur, et leur position dans l'ellipse n'indique pas spontanément la direction des plans générateurs du système de vibrations correspondant.

POLARISATION ELLIPTIQUE ET CIRCULAIRE. - THÉORIE. 6l

Pour trouver cette correspondance, supposons

ir

ce qui rend les rayons donnés a, a7, constituants principaux du rayon elliptique, les formules générales qui donnent les caractéristiques A, A', *, d'un système quelconque de rayons non principaux, situés dans les azimuts w et w -+- go, se simplifient et deviennent

A* = a* cos1 » H- an sin2 u , A'1 = a* sin2 w H- a'2 cos7 « ,

tang * = —

(a7 — a/2)sin 2w

De son côté , la théorie de l'ellipse donne, pour les caractéristiques a,, a\> a' — a, d'un système de diamètres conjugués situés dans les azimuts a , a', les relations

1 a2 sin2 oc ■+■ a'1 cos' a ' à1 sin2 a! -f- a" cos* a' '

a'2 tang a tang a' = »

il s'agit de voir si à tout angle a correspond un angle w capable de rendre égaux chacun à chacun Aeta,, A' et a',, * et a' — a. En posant A7 = a*, on arrive sans peine aux relations

. . a* sin* a „ a'' cos7 a

sin* w = . , cos2 « = — — — — — — ,

a2 sin2 a+t/5 cos' a a2 sin2 a -f- a'1 cos2 a

qui donnent

(c) tang2 w = — tang2 a.

Eh bien, on arriverait à la même équation si l'on partait de chacune des deux autres équations

A'2 = a\ % tang $ = tang ( a' — a ).

Bornons-nous à le démontrer pour cette dernière équation.

L'équation

a'2 tang « tang [a -+- (a' — a)] = — —

62 CHAPITRE XH

donne en développant

tang [a + (a' — a)], et, en résolvant,

à1 tang' a •

tang(a'— a):

(a* — a'*) tang a

Si nous prenons pour a la valeur tirée de l'équation de condition

(c), il vient

aa!

tang (a' — a) = — .— 7^-^ 9

OK ' \ax — û") sin w cos w

c'est-à-dire précisément la même valeur que pour tang *. Il en résulte qu'il y a , ainsi qu'on pouvait le prévoir, correspondance entre les diamètres conjugués et les systèmes de rayons recti lignes générateurs de l'elliptique, et que cette correspondance a lieu pour des azimuts a, 0» liés par la relation

tang7 *> =yi tang» a,

en d'autres termes , la règle à suivre pour approprier à la question de physique les diamètres conjugués de l'ellipse est la suivante :

Construises ou calculez l'angle w donné par

a tang w = H — ; tang a ,

dans cet azimut et dans l'azimut rectangulaire prenez deux polarisés rectilignes d'amplitudes a, , a, , attribuez-leur une anomalie $ égale à t angle a' — a séparateur des diamètres conjugués a, , a', , et vous aurez mis en place, sans l'emploi des formules, et par la seule considération de l'ellipse décrite, l'un des systèmes de constituants non principaux du rayon elliptique. La seconde valeur

a tang w = tang a

conduira de même à un second système caractérisé par les mêmes amplitudes a, ,*',, et par une anomalie supplémentaire

Pour ne pas s'égarer dans cette appropriation de considérations

purement géométriques à des questions d'un ordre si différent, on saura qu'en polarisation elliptique l'absolu n'est guère moins inaccessible en général pour les amplitudes que pour les phases ; de sorte qu'ordinairement on doit se borner à considérer le rapport -j7 = p des amplitudes avec la différence * = 4*' — + des

phases. Chaque système de constituants n'est donc pas déterminé en grandeur par quatre paramètres, mais par les deux seuls p et *, ou bien par trois, si l'on y joint, comme élément de situation, l'angle « que fait une des vibrations composantes, celle qui est en avance , par exemple, avec une ligne fixe. Quand la nature de la question ne rendra pas préférable la considération d'un système particulier de constituants, on adoptera le système des rayons principaux. Dans ce cas, les paramètres se réduisent à deux, à savoir, un rapport d'axes R (*) et l'azimut a de la première vibration.

§ 360. — On groupe dans on tableau certains des constituants d'un elliptique.

Le lecteur qui voudra se familiariser avec cette variété d'aspects que peut revêtir un elliptique, n'aura qu'à étudier le tableau suivant. On l'a construit dans l'hypothèse a = 2<i', f = y La fig. 187 donne l'ellipse décrite.

(*) Le rapport des axes -A est, en chassant le radical du dénominateur,

a'-t-fl"-t- a a» a" cos* p H- ( «'-+- a") ^Ça%— a" )'■+• 4 «'«" eus» y ~~ a a9 a'1 sin1 f

__ p4-4-I-♦-a/>>cos,y-^-(p,-t-I)V(p, — i)>-»-4p,cosay

le signe de R dépend donc du dénominateur et par suite, tant que a et a' sont pris positifs, de sinç>. Quand p surpassera 180 degrés , sin <f> sera négatif, et nous savons qu'alors la gyration est intervertie ($549). Donc un signe négatif pour R indiquera des rayons sinistrorsum. Quand a = a', on a

y 1 — cos f a

Rapport des amplitudes