I-(5i=ï5)ïC^f

La première donne

mais «'=0 donnerait, contrairement à ce qui est cherché, fl> =• ^ donc, de ce côté , la vraie solution est

«=90, qui donne bien

et qui de plus échange entre elles les valeurs A , A'. Passons à la seconde.

En se rappelant que

2 tang x

tang 2.x = ^ ° . >

0 1 — tang1 x

on voit qu'elle donne

laa

tangW,= ?^?iCOS^;

l'azimut »' vaut donc 2 û et est situé au delà du grand axe de l*el- II. 5

66 CHAPITRE XHs

lipse , clans l 'azimut symétrique de celui qui nous sert de point de départ. Comme les constituants donnés sont quelconques, ce résultat doit être considéré comme établi généralement, et il est prouvé, ainsi qu'on pouvait s'y attendre, que , dans des plans équidislants de ceux qui passent par les axes, les constituants ont les mêmes amplitudes. En effet, cette valeur de «' donne

COS' W ~ (*'— *'«/-+- 4<*V cosa ?'

, 4 a*a'7 cos* ?

et ces valeurs portées dans les expressions A% A" donnent, après d'énormes réductions,

Ainsi, dans l'azimut,

nous trouvons un système équivalent du système donné a, a t y , caractérisé par les mêmes amplitudes a> a! et par l'anomalie supplémentaire ir — <p.

On pourrait construire un tableau analogue au précédent , en prenant pourpoint de départ non plus les valeurs de p, y caractéristiques d'un système quelconque, mais le rapport R des vibrations principales. Les formules à calculer sont alors plus simples, puisqu'elles sont ce que deviennent les formules générales du § 5S4, quand on y pose

c'est-à-dire

A /R' cos3 « -f- sin» m

X7 = P = Va'sin'o,+cos't>' rang^=.

sin'c»

§ 361. — Comment les polariscopes font éclore les divers systèmes et comment ils donnent la direction des axes.

La nuise en évidence d'un quelconque de ces systèmes de vibrations rectangulaires se réalise visiblement, quant aux intensités du moins, avec un polariscope biréfringent* Fait-on passer sa section principale par l'un des axes de

MLAftlSATION ELLIPTIQUE ET CIRCULAIRE - THÉORIB 67

l'ellipse, on obtient les rayons principaux : en tournant de 45 degrés, on tombe sur les rayons égaux. Les polariscopes rectilignes restent donc de précieux auxiliaires en polarisa* tion elliptique , ils y ont en effet pour mission de déterminer l'orientation des axes de l'ellipse décrite. Avec un nicol , on tourne jusqu'à ce que l'intensité du rayon transmis soit ou maxima ou minima : dans le premier cas, sa section principale passe par le grand axe, dans le second elle passe par le petit. Comme F œil est mieux doué pour saisir l'égalité de deux images simultanément visibles que pour reconnaître entre des images qui se succèdent la plus intense, la précision de ces déterminations est plus grande avec un prisme biréfringent, on le tourne jusqu'à ce qu'il donne deux images égales ; à 45 degrés de là seront les axes.

§ 382. — Ils donnent la même intensité qn'aveo un polarisé

partiel.

Comme il n'est pas de système où l'un des rayons soit nul, la variation d'intensité de chaque image ne va jamais jusqu'à l'extinction. Or il est curieux que ces changements d'intensité d'un elliptique qu'on regarde à travers un analyseur soient soumis à la même loi que ceux des po* larisés partiels et se fassent encore d'après la loi de Malus. Comptons, en effet, l'azimut w à partir du grand axe de l'ellipse, et nous aurons pour les intensités A*, A'* des deux images (§ 3ÎJ4)

À* = A; cos1» -f- A',' sin» » = A', a -h (Aj — A', a) cos1», A"= A? sin*» -h A'.'cos'* = A', ' 4- (A? — A',») sin'w,

formules complètement analogues à celles que donnerait en pareil cas nn polarisé partiel.

§ 363. — Restauration des elliptiques. — Universalité des quarts d'onde.

L'existence des rayons principaux justifie ce qui a été dit S 3S0 sur la possibilité de restaurer un elliptique quel-

68 CHAPITRE Xil.

conque avec un quart d'onde et sur l'existence de deux orientations restauratrices. La restauration a lieu, mais dans deux azimuts différents, dès que l'un des deux plans principaux du quart d'onde passe par l'un des axes de l'ellipse. Soit, en effet, le dextrorsum An A', de la fig. 188. Si la section principale du quartz quart d'onde coïncide

avec Taxe A*, cette vibration sera retardée de -p l'anomalie

des deux vibrations principales sera donc annulée et la restauration aura lieu dans l'azimut s donné par

A', tang* = — •

Ai

Si maintenant cette section principale coïncide avec À', .

le retard de A' sera élevé à - et la vibration restaurée se

dirigera dans le système d'angles opposés XOY, XOY, faisant avec Taxe A', un angle s' donné par

tang/ = -f, A,

ou bien avec l'axe Aj l'angle — s donné par

A', tang*= — -i.

On peut donc poser les règles suivantes :

Considérez Vaxe de l ellipse mis en coïncidence avec la section principale du quartz restaurateur et éloignezvous-en par une rotation dextrorsum, cette rotation vous portera dans les quadrants ou apparaîtra la vibration restaurée. L9 angle s qui, dans ce quadrant, sépare la vibration restaurée de Vaxe de F ellipse coïncidant, a pour tangente le quotient de Vaxe non coïncidant de V ellipse par Vaxe coïncidant. Pour un sinistrorsum, la règle reste la même, mais les quadrants oh s* installe la vibration sont désignés par une rotation sinistrorsum.

Comme cette règle compte l'angle s avec une droite qui change dans les deux cas, on préférera peut-être la suivante

qui le compte constamment avec un même axe de l'ellipse, l'axe Af par exemple : La restauration a lieu dans V azimut ± j, le signe -f- convenant au cas où la section principale coïncide avec Vaxe Aj et le signe — au cas où elle passe par Taxe Kx . Pour un sinistrorsum les azimuts sont au contraire qp s. A ce dernier point de vue, les deux sortes d'elliptiques se distinguent donc, ainsi qu'on l'avait annoncé (S 330) , par le signe de 5. La polariscopie elliptique devait être essentiellement mensuratrice. Puisque l'ellipticité admet une foule de degrés, il lui fallait distinguer chaque elliptique par quelques caractères numériques. Nous avons montré (§ 359) comment les plus simples étaient au nombre de deux, à savoir il et R $ nous savons maintenant les déterminer par l'expérience, il est donné par un prisme biréfringent. Une fois connu, cet azimut il sert de point de départ pour obtenir par le concours d'un quart d'onde et d'un analyseur (qui peut être le même prisme biréfringent), un autre angle s dont la tangente n'est autre chose que R> il et s étant des angles comptés sur le même limbe, à savoir celui du prisme biréfringent, on préférera sans doute leur donner la même origine. Si on appelle £ l'angle de position de l'alidade mobile quand il 7 a restauration, on aura

*.= z — a, et la valeur de R dépendra de l'équation R = tang(2 — il).

11 n'est pas inutile de remarquer que si la faculté restauratrice d'un appareil quart d'onde est complète et s'étend à tous les elliptiques, celle d'un appareil à retard unique <p

distinct de - est au contraire limitée, et ce n'est pas seule-

ment vis-à-vis les circulaires qu'un tel appareil serait désarmé. Rappelons-nous, en effet, comme la formule finale du § 360 le montre d'ailleurs avec une grande netteté, que les innombrables anomalies propres aux divers constituants d'un elliptique sont toujours comprises entre deux limites 4>t

ir

et n — 4>,, l'une inférieure et l'autre supérieure à -> et

nous comprendrons que la restauration devienne impossible dès que l'anomalie fixe tombe en dehors des limites *, et 7T— *,.

§ 364. — Équations tes elliptiques en fonction des constituants principaux.

Puisque les constituants d'un elliptique quelconque sont toujours échangeables contre deux rayons qui diffèrent de

79 ou encore contre un système de constituants égaux, il s'ensuit qu'on peut engendrer tous les elliptiques soit, conformément à ce qui a été dît § 339, par la seule variation du rapport R des deux amplitudes principales, soit encore par la variation exclusion de la phase 4>! (§ 356). Quand donc, à un point de vue théorique, on prendra d'autorité un rayon elliptique sans qu'il soit extrait, par quelque action physique, d'un rayon primordial, on pourra sans restreindre la généralité de la question le représenter soit par les deux équations

(1) ar = Acosair-1 y = A'cosl air- J^= A'sinînr-

qui donnent à l'ellipse la forme

A'^A""" ' soit par le système plus rarement employé

(2) X = tfCOS27r-, r = flCOs(2tr- — ♦, J •

A ce point de vue, les elliptiques sinistrorsum sont constitués

par une valeur de <p, égale à dans le premier cas, et à

4>i •+- 7r dans le second, et ils ont pour équations

(3) *=Acos2ir-, r = — A'sin27r-(*),

(*) En thèse générale, changer le signe de l'expression totale d'un mouvement vibratoire revient à y ajouter n. Mettre un sinus en place d'un 00-

ou bien

(4) Jr = «COS2ir£, j==— acos(2*;j; — «M;

mais tandis que (i) et (3) donnent la même ellipse, les systèmes (a) et (4) donnent des ellipses égales, il est vrai, mais non superposées. Faisons, en effet, dans la formule

2aar cos<»

u„gaû = -— I

tour à tour

y = ♦,, <p = <&, -h ir,

nous trouverons deux valeurs supplémentaires pour afl, et conséquemment complémentaires pour fi. Mais les valeurs de A1, A" montrent qu'il y a échange des axes ; les axes homologues des deux ellipses sont donc distants, dans le cas général, de

Dans le cas particulier qui nous occupe, où Ton a

a=af

ils sont rectangulaires (fig. 189).

§ 365. — Cas particulier de la polarisation circulaire. Puisque les axes sont rectangulaires, l'ellipse devient un cercle si Ton a à la fois

a = af et cos«p = o, c'estrà-dire

a 2 conformément à ce que nous avons admis (§ 318). Alors

tinot rerfaat à en retrancher -• Faire 1m deui choses à la Ibis , c'est accroîtra

fi la phase de -•

les deux rayons composants, en posant dorénavant a it ==£,

sont

jc = acosÇ, y = asing,

et F équation de la courbe devient

Dans le cas général, la vitesse de gyration varie périodiquement atteignant son minimum au sommet du grand axe et son maximum au sommet du petit. Ici on prévoit qu'elle sera uniforme. Ce point, facile à démontrer, admis, on obtient cette vitesse en divisant la circonférence ina par

le temps T d'une révolution. Or ce quotient —r- est précisément le coefficient des vitesses égales des deux rayons élémentaires $ donc dans un rayon circulaire la vitesse est constamment égale à la valeur maximum qu'elle possède à certains moments dans chacun de ses deux composants. Nous retrouvons les deux sortes de rayons circulaires.

Le dextrorsum répond à un retard de 7 et le sinistrorsum

à un retard de -y ; mais on peut encore échanger le retard

—.- du r^yon OY contre une avance -7 attribuée à ce rayon.

C'est-à-dire qu'on a pour les deux sortes de circulaires les équations

;c = «cosÇ, y = asmZ et

*==*cosg, y= — <isinÇ.

Quant aux hélices subordonnées à ces deux classes de rayons, d'elliptiques elles deviennent circulaires.

Avec un seul paramètre, ces échanges qui rendent si variée la physionomie d'un elliptique ne sont plus possibles. On peut sans doute engendrer le même circulaire avec deux autres constituants situés dans des plans différents : mais quelle que soit la situation de ces azimuts rectangulaires,

POLARISATION ELLIPTIQUE ET CIRCULAIRE. — THÉORIE. ji

les constituants n'ont pas changé. Ce qui revient à dire qu'on peut donner aux deux plans telle situation qu'il plaira, avec la seule attention de placer le rayon retardé, de telle sorte que la rotation ait lieu dans le sens convenable. C'est ce qu'on voit en introduisant dans les formules générales qui donnent A', A", <fs <f/, les suppositions a = a', <p = 900, car elles donnent

ce qui montre que, si la différence des phases ne change pas, les phases elles-mêmes varient dans cet échange et sont diminuées précisément de l'angle co qui sépare le nouveau plan ZOX, de l'ancien. Dans le cas du sinistrorsum, on trouve <p = — co, c'est-à-dire que le rayon OX', au lieu

d'être retardé, se trouve avancé de X — • Si l'angle co dont

tourne le système des composantes était négatif, ce serait au dextrorsum qu'appartiendrait l'accroissement de phase co. On peut par de simples constructions analogues à celle des fig. i4y et 148 non pas mesurer le quantum d'avance ou de retard, mais constater si c'est l'un ou l'autre qui se produit. C'est à cette invariabilité de l'anomalie qu'est due visiblement la propriété qu'a tout quart d'onde de restaurer un circulaire sans condition d'orientation.

Soient AM A', les amplitudes des deux constituants principaux d'un rayon elliptique. Si A, est la plus grande, on peut en faire deux parts, l'une A', formant un rectiligne qui donnera, avec la plus faible, un circulaire d'intensité 2 A',* et l'autre At — A', formant une vibration résiduelle alignée dans le sens du grand axe. Ce qui est précisément l'équivalence admise § 336.

Il importe de rappeler ici que la polarisation rectiligne n'est, comme la circulaire, qu'un cas particulier de l'elliptique. Le rayon résultant est rectiligne quand l'anomalie des deux rayons rectangulaires est un multiple exact de n. Dans ce cas, les formules du § 354 nous donnent zéro pour Vune des quantités Al5 A', , et la vibration elliptique est ré-

ductible à une vibration polarisée, dont l'angle de situa* tîon £i, dépendant de l'équation

tang2n = ± --„ =î± 2 — £ — »

vaut visiblement l'angle A déduit de

, 1 , ar ta ne il = ± - =r ± — .

Le signe changeant avec celui de cos(j>, la vibration qui, pour un multiple pair, se trouve dans le quadrant XOY, passe dans le quadrant XOY quand le multiple est impair. Après ces ébauches de discussion introduites passitn dans le cours de ce chapitre, abordons (Tune manière formelle et plus complète la discussion des formules du § 354.

§ 366. — Discussion.

La discussion va consister à suivre les transformations que subit l'ellipse caractéristique du rayon elliptique, quand on fait passer avec continuité les paramètres «,*',? par tous les états de grandeur possibles. Nous rappelons que les signes de cos y et de sin 7 ont de l'intérêt , puisque, suivant que le cosinus est -f- on — , c'est le grand ou le petit axe qui est situé dans l'angle XOY (§ 585); puisque, quand le sinus devient négatif, la gyration cesse d'être dextrorsum pour devenir sinistrorsum ( § 380). Cependant si, au lieu de s'attacher individuellement à A, , A', , on ne s'occupe que de leur rapport R : le signe de ce rapport , marchant avec celui de sin y (§ 589, note), dispense de recourir à cette dernière quantité ; tout comme si l'on admet pour fl des valeurs négatives, cet angle caractérise constamment le grand axe et rend inutile de consulter cos y ( § 588 , note ). II s'agit donc , en réalité, d'étudier les altérations de signe et de grandeur introduites dans les expressions lang 2 a et R des §§ 588, 589 , par les variations de p et 7 . R variera depuis H- 00 jusqu'à — 00 et n depuis -h go degrés jusqu'à — 90 degrés. Quant à «p , s'il suffisait à la rigueur de le maintenir entre -f- ir et — tt (§ 580 ), le développement des phénomènes rend préférable de le laisser croître dans les deux

sens, à partir de zéro , jusqu'à une limite qui, généralement peu élevée, pourra néanmoins, dans certaines expériences exceptionnelles (§ OT9), être singulièrement reculée. Variation de y. y r= o donne

p i°. tang 2 a = 2 — - »

a ou

i a' tangn = - = — ,

2°. R =oo . Quand ? grandit, tang an, diminue ainsi que.R.

a ¥ = 900 donne il = o et fait prendre à R sa valeur minima -7-

Au delà û devient négatif et R reprend les mêmes valeurs, de sorte que les deux ellipses engendrées par «p et ir — y sont identiques et symétriquement placées par rapport aux axes coordonnés ainsi que l'indique \* fig. 190; enfin quand f = ir, on retrouve

R = oc et tang a = 5

ce qui accorde à û pour seconde limite une valeur égale et de signe contraire à la première. Si ? continue de croître, R devient négatif et l'on obtient une série de sinistrorsum dont les ellipses, sont les mêmes que celles des dextrorsum précédents , l'identité ayant lieu, sous le double rapport de la position et de la grandeur, pour les valeurs ? et a ir — j. En continuant de faire croître f , on réobtiendrait dans le même ordre et indéfiniment ces deux séries d'elliptiques inverses dont les grands axes oscillent

entre -J-ûet — a=± arc tang —,• Si Ton voulait, de plus, étudier

les résultats amenés par des valeurs négatives de ?, on verra sans, peine que deux valeurs égales et de signe contraire de y donnent deux elliptiques inverses caractérisés par la même ellipse. On peut convenir d'appeler elliptiques symétriques ceux qui, p étant le même, répondent l'un à ? et l'autre à ir — <p ; elliptiques inverses,, ceux qui répondent l'un à y et l'autre à — ? ou à an — ç ; et enfin elliptiques symétriques inverses, ceux qui sont engendrés l'un par <p et Vautre par l'une des deux valeurs, distantes de 3 ir , tt -f- y ou

j6 CHAPITRE XII.

— (tt — y). La Dote du § 349 se trouve donc justifiée, et nous pouvons ajouter, pour la compléter, que, dans les quatre cas qu'elle pose, l'elliptique primitif est échangé contre son elliptique symétrique inverse. Celle du § 580 l'est également, et nous voyons que les deux changements qu'elle suppose amènent l'elliptique symétrique.

§ 387. — Cas des constituants égaux. — Retour sur une transformation d'un elliptique.

Si Ton se plaçait dans le cas particulier de a =■ a', les. formules à discuter seraient

tang 2 a = oo , R = cot - <p (§ 5S9, note)-

On voit donc que dans ce cas tang 2 a = oo , quel que soit «p , et qu'ainsi les axes de l'ellipse sont invariablement orientés dans les azimuts -f* 4$ et — $5. Dans ce cas, les circulaires s'intercalent comme les rectilignes entre les elliptiques successifs. Pour y = o, on a une vibration rectiligne orientée dans l'azimut + fô. y grandissant, l'elliptique s'arrondit et devient circulaire quand y = — -

Au delà cos ? est négatif, aussi l'elliptique .a-t-il son grand axedans l'azimut — ^5. L'ellipse se réduit à ce grand axe et le rayon* redevient rectiligne quand y = ir. Après viendraient les elliptiques sinistrorum séparés en deux groupes égaux par un circulaire sinistrorsum. Si ? était négatif et croissant en valeur absolue à partir de zéro, on débuterait par les sinistrorsum. Cette immobilité des axes des divers elliptiques qui se succèdent quand y varie a été invoquée par nous ($ 556). Nous pouvons actuellement donner une autre forme aux tableaux de ce paragraphe et du suivant. En effet , dans ce cas, on a pour l'intensité du rayon circulaire (§ 582) 2.01 [ i — cos- m ) et pour celle du rayon résiduel

2 «a cos -wou simplement, en posant a = i et en prenant égale

à l'unité l'intensité du rayon incident, i — cos- m et cos - m. Ixs

deux tableaux ci-joints conviennent, le premier 'au mica quart d'onde , et le second au parallélipipède.

DËSIGXATIO*

DE