LA RAIE

l,OIl8

Nous y voyons avec surprise que , pour ce verre plus réfringent que celui de Fresnel, si la dispersion de la raie H est plus grande pour / que pour 1', le contraire a Heu pour la raie B. H est vrai que là les angles 1, < ' sont très-rap proches et tous deux très-éloignés de l'angle limite. Il est fâcheux que nous n'ayons pu faire ces deux calculs sur le verre de Fresnel, afin de voir par quels chiffres la théorie justifiait la différence de coloration signalée § 591. Il y a évidemment des recherches à entreprendre sur ce point.

§ 393. — Forme donnée par Cauchy à la formule fondamentale. Cauchy n'a pas manqué de voir que l'expression de

lang -(+' — +)

avait une simplicité remarquable. On sait que tang - dépend de

tang x par une équation du second degré qui, en s'en tenant à la

valeur positive, suffisante dans le problème que nous traitons,

donne

x 1 — cos x

tane — = : •

D2 smo:

En partant des valeurs du § 584, après avoir toutefois changé

POLAR. CIRCUL. ET ELLIPT. PAR RÉFLEXION TOTALE, Il5 (§ 589) les signes de sin 4/ et cos +', on trouve sans peine

. ,., ,. 2 n cos i sin* i Jn* sin1 1 — i

-(♦.-♦)=: ,,(/,^,)sipt, '

... .. a/i'sin4/ — (/i* H-i)sin*i-|- i cos(f-+) = ,-(n. + l)Lt-

et partant

tang -(+'—+) =

cosi v7*' sina i — i

Veut-on introduire avec ce géomètre l'angle limite L, on verra que l'on a

V^sin [i — L) \Js\n (' + L) = - v//|î sin1' — 1>

ce qui permet d'écrire

tang-(* — +) =

2 cos/ y sin (i — L) ^â^(i-hL)

Prise sous cette forme ou sous la précédente, l'expression de

Ungi(f-*)

n'a pas seulement l'avantage de la simplicité, elle se prête encdre à montrer nettement ce qui aurait échappé, dans son travail sur la réflexion totale, au génie de Fresnel. Cauchy, dans ses profondes études sur le même sujet, arrive à une valeur de

tangi(f — +)

qui ne diffère de la précédente que par l'addition, au second membre, d'an terme i, qui a été trouvé entièrement négligeable pour les substances qui se prêtent par leur transparence et par leur homogénéité à l'étude de ee phénomène.

§ 394. — Recherche du maximum de l'anomalie due à une seule réflexion.

Pour trouver le maximum de l'anomalie due à une seule réflexion, on peut partir d'une quelconque des lignes trigonométriques de l'angle V — ty. Fresnel partait du cosinus, nous partirons de

tangl(f-+);

Il6 CHAPITRE XIII.

en égalant à zéro sa différentielle, on obtient l'équation très-simple (n* -f- i) sinai = 2,

qui donne pour i, 5o° iof 3o". Cette valeur introduite dans la tangente donne

«ang-(f — $) = — — -

qui amène

En doublant, on a le chiffre inscrit dans le tableau du § 587. S'il y a en général deux incidences capables de donner un même retard, elles se réduisent à une quand le retard est maximum. En effet, l'équation

(/ï2 + i) sin'i = a

n'est que du second degré. Ou encore, si l'on calcule la valeur de

P = cos (+' — +)

si on la porte dans l'expression générale de sin* 1 (§ 591), le radical s'annule, et les deux valeurs de sin' * deviennent égales.

qui répond au maximum, elle est égale à j— — - -h i , et

§ 395. — Réflexion totale à la limite du Terre et de l'eau.

Pour s'éclairer sur le nombre des réflexions totales qui engendreraient , au contact du verre et de l'eau, un circulaire , Fresnel traita d'abord la question du maximum d'anomalie dont serait capable une seule réflexion totale opérée à la démarcation de ces deux corps. Il trouva pour l'incidence la plus avantageuse 1=69° 34' et pour l'anomalie correspondante seulement 1 4 degrés, d'où il conclut que pour atteindre 90 degrés, il faudrait au moins sept réflexions. Comme il redoutait dans d'aussi longs parallélépipèdes ces effets de trempe que la précision des expériences actuelles permet de reconnaître dans presque tous ces solides , il s'arrêta à la construction d'un cinquième parallélipipède qui donnait seulement quatre réflexions dont deux auraient lieu au contact du verre et de l'eau. Pour répartir entra ces deux sortes de réflexions l'anomalie 90 degrés, on procède par tâtonnement. Fresnel a trouvé

POLAR. C1RCUL. Et ELLIPT. PAR RÉFLEXION TOTALE. 1 1 7

ainsi que sous l'angle i = 68° 27 ' le verre sec donne

et le verre mouillé ,

c'est-à-dire, pour les quatre réflexions, deux fois 44°53/4o/, = 89*47' 20".

Ce parai lélipipède cesse de donner un circulaire quand on laisse 'ses faces latérales sèches, ou bien quand, au lieu de n'appliquer qne sur l'une un papier mouillé , on rapplique sur toutes deux.

§ 396. — Remarques finales.

Nous sera-t-il permis de présenter les réflexions suivantes qui nous sont suggérées par le remarquable travail que nous venons d'exposer.

Un grand progrès des mathématiques est attendu, à savoir V interprétation des imaginaires.

On sait que Y algèbre donne des formules qui s'appliquent à tous les cas d'un phénomène, que ces formules purement passives acceptent tous les chiffres qui ressortent d'une quelconque des questions numériques posées à l'instar de la question générale.

Que ce cas particulier soit absurde; l'algèbre serait une science trompeuse, si elle n'avait quelque moyen évasif de se désintéresser dans une telle question.

Ces moyens elle les possède, elle sait à sotte question faire sotte réponse, et elle a deux manières de le faire ; elle amène du négatif ou de l'imaginaire.

L'algèbre, et c'est là une belle découverte, a su tirer parti du négatif en y montrant la solution d'autres questions voisines de celle qu'on étudie, et .sa généralité s'est singulièrement accrue , puisque grâce au négatif, au lieu des cas particuliers d'une seule question, elle embrasse dans une même formule ceux de plusieurs questions.

Eh bien, il est possible que le facteur réel de ses imaginaires convienne comme bonne solution à d'autres questions solidaires de celle qu'on étudie, et si Ton savait

1 18 CHAPITRE XU1

(comme on y a réussi pour le négatif) discerner à coup sur et par un procédé général ces questions, les imaginaires ainsi interprétées apporteraient encore à l'algèbre un nouvel accroissement de généralité.

Plusieurs mathématiciens se sont occupés de cette étude au point de vue géométrique, et M. Faure (*) entre autres est arrivé à énoncer la relation qui unirait à la question principale les questions auxquelles conviennent les facteurs réels des imaginaires ; il a même obtenu, en se fiant à cette interprétation, de curieux résultats. Mais malheureusement la meilleure consécration des principes de son interprétation leur vient plutôt à posteriori qu'à priori, et les géomètres répudient comme peu solide» les bases théoriques sur lesquelles elle repose.

Toujours est-il que Fresnel en polarisation circulaire et M. Faure dans le domaine des mathématiques ont su tirer un excellent parti des imaginaires, et que, chose digne de remarque, les principes de M. Faure conduisaient droit à l'interprétation de Fresnel.-

Un dernier mot. Les physiciens , à moins de nier la réalité de leur science, ne peuvent avoir la même exigence que les géomètres. Pour quiconque admet que la voie de l'observation est un moyen doué d'une puissance à lui propre, et souvent Tunique moyen d'arriver à la vérité , un principe hypothétique, un pressentiment hardi , peuvent être établis à posteriori par la confrontation de ses conséquences avec les faits. Nous considérons donc comme de bon aloi, et cette interprétation des imaginaires due à Fresnel, et ces quelques principes féconds qui ont, comme autant de phares puissants, éclairé ses prodigieux travaux : aussi désireux cependant que tout autre de voir l'analyse pure les démontrer à priori (**).

(*) Faure, Essai sur la théorie et V interprétation des quantités dites imaginaires. Paris, 184 5.

( ** ) Ces lignes étaient écrites avant les remarquables travaux de Cauchy sur l'interprétation des imaginaires.