f-v^, qo

et assignent dès lors à p', et par suite à / , des valeurs croissantes. D'ailleurs en posant

ce qui remplace les azimuts variables 6 par d'autres comptés avec OX', l'équation de condition devient

tang p' =

sin (26' — 90) cos2<S'

et fournit des valeurs égales dans des azimuts équidistants de OX7, la courbe n'est donc plus circulaire. Elle a, quand son ordre n'est pas élevé, la forme décrite fig. 258. Airy, qui s'en est occupé, a de pins trouvé que son intensité variait beaucoup des maxima 6, b' aux minima a, a'. Bornons- nous sur ce dernier point aux réflexions qui suivent.

La lumière totale, dans une direction quelconque, comprend du blanc représenté par deux termes dont l'un varie avec 6 et une teinte résultante représentée par deux autres termes variables tous deux avec 6. L'intensité dépend de la quantité de blanc et aussi du signe de la somme analytique des deux derniers termes, puisque la partie colorée est, suivant son signe, tantôt additive et tantôt sous trac tive. A cause du facteur commun sin 2 cy cette partie disparaît là où la condition sin t.c = o est satisfaite, c'est-à-dire dans les azimuts 6 = 7 = 7 -+- p/> ; et comme elle disparait quel que soit p', les courbes sont coupées par une croix

?,l8 CHAPITRE XIX.

qui a pour intensité la valeur prise par les deux premiers termes pour 6 = 7, et se trouve plutôt grise que blanche. De part et d'autre des branches de cette croix le signe du binôme colorigène change, mais comme € et p' changent de valeur, il ne s'ensuit pas que les teintes passent à l'état complémentaire. Avec une lumière simple les quatre termes concourent de la même manière pour former l'intensité. Introduisez-y les hypothèses

a = 22°,5, 7 = 90 et tang 0' =.

sin (2 € — 45)

cette dernière indiquant qu'il s'agit d'une ligne isochromatique, vous obtiendrez l'expression.

[1 pCOS 2€cos(2€ — 45) I

±-J=sin 26 ^sin'(a6 — 45) +1 I

le signe + du radical étant assigné aux courbes des minimapar la considération de la dérivée seconde. Eh bien, si prenant le signe — on cherche les deux valeurs de I, correspondantes aux azimuts

on trouve

et l'on justifie le précédent dire d'Airy qui s'applique en effet à ces courbes; mais pour celles des minima, c'est en 6, A' qu'a lieu le minimum.

Les expériences qui nous occupent ont été déjà signalées an § 348. Instruits, par le calcul, de leurs particularités, il s'agit d'y revenir et de constater leur concordance avec la théorie. Pour nous placer dans les conditions de la configuration type,, rendons horizontal l'axe de la première tourmaline de la pince, et mettons l'autre à l'extinction, puis insérons entre elles : i° un mica quart d'onde dont la section principale soit dirigée dans l'azimut — 67 ,5 et qui fournisse ainsi un elliptique sinistrorsora ; 20 an spath d'Islande perpendiculaire à l'axe. Nous aurons bien la courbe en

POLARISATION CIIIVOMATIQIIK IH5S GlftCfL. KT DES tiLIJPT. 3 19

forme de semelle de la fig. 258, et son grand axe anra l'orientation que nous lui avons donnée. En recourant à l'alcool salé, on aperçoit des courbes innombrables dont la première seule a la forme décrite. En 6, b' il y a bien les minima d'intensité signalés par Airy.

§ 534. — Calcul des trois lames successives.

Nous avons vu (§ 346) que cette dislocation des anneaux issu» des circulaires pouvait, ainsi que les croix plus ou moins grises, disparaître quand on interposait convenablement un nouveau quart d'onde entre le cristal et le polariscope. Il s'agit de revenir ici par le calcul sur ce curieux phénomène et sur ceux analogues, mais plus compliqués, que présentent en pareil cas les elliptiques.

La marche à suivre est bien simple Adopte- t- on la méthode du § Wltt, il suffit d'étendre à une lame de plus le travail des décompositions successives. S'effraie- t-on de la complication des polynômes qu'il faut élever au carré, au lieu d'accumuler pour la fin tous les calculs, on pourra les eifectuer de proche en proche comme au $ 824, et alors il faudra remanier une fois de plus l'elliptique. Chaque méthode a ses avantages ; la première a une al lare analytique plus nette, mais l'autre arrive quelquefois bien plus vite au but.

Reportons-nous au § #28 et à la fig. 257. S'il y a une lame de pins en jeu, les composantes qu'elle fournira ne seront autres que celles attribuées alors au polariscope Comme nous n'avons écrit que les extraordinaires, et qu'ici on n'a pas moins besoin des ordinaires, nous allons en donner le tableau complet avec l'indication de leurs retards respectifs.

Coefficient k.

Chemin décrit.

Anomalie*.

COS a COS b COS c

zéro

— sin a sin b eos c

— sin a cos b sin c

— cos a sin b sin r

r + fl'+ff1

-f- sin a sin b sin c

— cos a cos b sin r

— sin a cos b cos c

o-ho' + o"

— cos a sin b cos c

3ao CHAPITRE XIX

Pour avoir les huit composantes de l'jmage extraordinaire du polariscope actuel, il suffit de multiplier par cos d les quatre premières composantes du tableau, et par sin d les quatre dernières. Soient k% ces nouveaux coefficients ; l'intensité I, vaudra

1 2 *. cosoV-h f 2x'' sin *y»

chacun de ces carrés ayant huit termes, qui se réduiront à sept dans le dernier, si Ton rapporte les anomalies à la phase

de l'une des composantes. Comme les réductions n'ont lieu que de polynôme à polynôme, il faut en effectuer les développements, ce qui donne trente- six termes pour le premier, et vingt- huit pour l'autre. Quoiqu'on arrive sans peine à réduire singulièrement cei soixante-quatre termes , nous ne poursuivrons pas ici l'étude du cas général, et nous nous rabattrous de suite sur le cas où les deux lames extrêmes étant des quarts d'onde, on a

2tt (o — e)

g 535. — Cas où les lames extrêmes sont des quarts d'onde.

Ces hypothèses réduisent à six les termes de chacun de nos polynômes, à savoir deux termes constants, deux en sin p' et deux en cos p'. De sorte qu'en représentant chacun de ces six binômes par une seule lettre on a

ïe=(M + Nsinp'^-Pcosp/),-|-(R-hSsinp'^-Tcosp'), = M'+R'-KNM-S') sinîp#-h(P*-f-P)cosîp,-f-2(MN-hRS)sinff -H 2(MP + RT)cosp'-h2(NP -hST)sinp'cosp';

or on trouve

NP + ST = o, N2-f-S' = Pl-hT%

et le terme constant se trouve être

il s'agit de le réduire. Comme quatre de ses douze termes sont deux à deux égaux et de signes contraires, nous n'avons affaire

POLARISATION CHROMATIQUE DBS C1RCUL. ET DES KL HPT 32 1

qu'à un octonôme dont les termes sont tous un produit de quatre facteurs qui sont les carrés des cosinus et des sinus des divers aogies qui entrent dans la question. Si en leur place on introduit les cosinus des angles doubles, d'énormes réductions conduisent à

- (i -+- cos 2 a cos 2 b cos 2C cos id).

Restent les deux termes en sin p' et cos p' que des réductions plus spontanées ramènent chacun à un binôme. Bref on aura

I l~"t -+- COS 2aCOS2&COS2CCOS2</ "~|

/j^ — J. I +(sin2asin2ccos2£/+cos2asin26sin2flf)sinp/ I

f I 4- (sin 2 asin id— cos 2a sin ib sin ic cos id) cos p' . I

Si Ton remplaçait les parallélipipèdes par des micas sans en changer l'orientation, on, ce qui revient au même, si, ayant accommodé les uns on les autres à la configuration type, on les tournait de 90 degrés, il faudrait poser dans, les expressions générales

ou bien dans la formule particulière (A} .

De quelque manière qu?on s'y prenne, on trouvera que le -signe du coefficient de sio p' en est seul changé. Veut- on atteindre le cas

de-' ". .: - - ,. •" '•;. ". •....,./-;'. ...:. . "

. les deux angles 2 a, 26 varieront de 180 degrés et le changement de signe" atteindra les termes qui n'auront qu'un facteur isçu de ces angles; or ces termes sont les deux premiers des deux' binAmesj coefficients de sin p' et cos p7. Enfin la dernière combinaison

amène dans ce dernier résultat , comme la deuxième hypothèse dans (A) , le changement de signe du terme en sin p'.

On peut prétendre que ces hypothèses sur p et p' ne restreignent en rien la question. Nous voulons en effet élaborer, par un II. 21

polarisateur elliptique, les rayons introduits dans le cristal, et avant de les lui offrir et après leur traversée. Or nous savons qoe les quarts d'onde , dès qu'on évite les deux orientations circularisantes, donnent, comme une lame quelconque, tous les elliptiques possibles. Il n'en sera plus de même et la question revêtira un caractère particulier si, aux précédentes hypothèses, nous ajoutons soit « = 45, soit 7 = 45, soit enfin simultanément a = 45, 7 =45. Dans le premier cas, nous mettons en jeu un circulaire et nous le remanions par un polarisateur elliptique; dans le deuxième, nous opérons sur un elliptique et nous le remanions par un polarisateur circulaire. Dans le dernier, les deux lames qui cernent le cristal engendreraient toutes deux, si on les laissait seules, un circulaire. Koits obtiendrons ainsi les formules des phénomènes à l'étude expérimentale desquels a été consacrée la fin dit chapitre XI.

a = 45 donne pour la formule type,.

( B) ï» =r - [ r -f- sin 2 c cos 2 tfsin p' -f- sin 2 d cos p'J ;

7 = 45 donne

| r 1 + cos 2 a cos 2 £ sin 2 6 .sin 2# "7

(C ) < I,, = — I -h (sin 20c cos 26 sin 2#— cos,2asin2^cos2^)sinp/ |

' L- — (sin2aco§2£+co&2asin2&cos2€sin2£)cospj

a = 45 et 7 = 4^ donnent enfin

(D) h = - [» -h cos 2 6 sin 2 £ sin p' — cos2<?cosp'].

Avant d'aborder la discussion de ces formules, il ne sera pa* hors de propos de montrer comment la méthode des remaniements peut y conduire bien plus vile que la précédente. Bornonsnousau cas où Ton a a= 45. Notre point de départ sera le circulaire

x = cos ( Ç

y = cos Ç Dans l'azimut 6 distant de l'angle b on aura

x = cos ( £ h b \\

)•::--• cos (Ç + b)}

POLARISATION CHROMATIQUE DES CIRGUL. ET DES ELLIPT. 3a3

Au sortir de la lame, au lieu du circulaire on aura l'elliptique

x = cos [Ç h b)y

^=:cos(Ç + £ — p').

Les constituants de cet elliptique dans les deux azimuts 7, 7 + 90 auront pour caractéristiques

A' = 1 -+- sin 2 c sin p',

A'* = 1 — sin 2 c sin p',

cosp'

tang <fr = Z-. — ; ;

cos 2 c sin p

le passage par le deuxième mica quart d'onde élèvera l'anomalie à* 4- -, et ce dernier elliptique, remanié dans les azimuts <î, 90 -+• 3, distants des précédents de l'angle d9 donnera

A2 = (i-f-sin 2csinp')cosarf-+- ( 1 —sin 2 c sin p') sin'rf

-H 2 V^* — sîna2rsinap'sinadcosrfcos( * -h - 1 5 or on a

aDg\ 2/ ~~ """ tang * '

(tt\ cosp' cosp'

2 / y cos'p' -h cos2 2 c sina p' y l — sm2 2 csin2 p' donc A', qui est notre image extraordinaire finale I0 vaut bien 1 -h sin 2 r cos 2 rfsin p' H- sin 2 d cos p',

résultat double du précédent.

On peut également appliquer cette méthode au cas de a quelconque : le calcul est moins simple qu'avec un circulaire ; néanmoins on y retrouve . cette égalité si favorable des deux radicaux qui expriment, l'un le produit des amplitudes A, A' et l'autre le dénominateur des lignes trigonomé triques de la phase * -+- p.

§ 536. — Discussion. — Le .cristal intermédiaire est normal à l'axe.

La présence de deux termes en p' dans les expressions (A), (fi). (C), (D) nous montre qu'en teinte plate la teinte sera changeante.

Mais comme ces phénomènes de lumière parallèle doivent jouer un rôle important et être étudiés spécialement dans le chapitre suivant, nous insisterons seulement ici sur ceux que fournit la lumière convergente et nous supposerons d'abord que la lame intermédiaire est un uniaxe normal à l'axe.

La formule (B) donnera des cercles si Ton fait disparaître ou Tu n ou l'autre des termes en p\ On a ainsi i° l'hypothèse

sin 2(7 — 6) cos*2(£ — 7)1=0,

ou bien 9 puisque 6 est variable et s'oppose à ce qu'on puisse annuler le premier facteur ,

Ainsi, 7 restant quelconque , il suffit de reporter le polariscope à 45 en deçà ou au delà. L'expression I, devient 1 -f- cos p' , les cercles à intensité maxima répondent à

ceux à intensité minima sont noirs et répondent aux valeurs in- • termédiaires p' = tt =3 n =... , les cercles de l'image ordinaire ' ou ceux de l'image extraordinaire fournis par' les cas 3 et4>à

savoir 3 par

et 4 par

fi= -J p = ->

auraient, au contraire, le centre noir. On a 20 l'hypothèse sin2rf = o=ir, c'est-à-dire $ = 7=74- —

Ainsi, 7 restant quelconque, il suffit de donner au polariscope, par rapport au dernier quart d'onde, soit le parallélisme, soit la rectangularité. On a alors

I, = 1 -h sin 2 (7 — 6) sin p'.

Les maxima et les minima répondront, les premiers aux valeurs

POLAAlSATte* CHROMATIQUE DES GIRGUL. ET DES ELL1PT. 3 '2 5 et les derniers à

Mais ces derniers n'offrent plus l'obscurité complète que dans l'azimut 6 = 7 — £5. A cause du facteur variable sin 2 (7 — 6) les ma xi ma comme les mini ma se dégradent à partir des azimuts 7 + 45 et finissent même par s'échanger les uns contre les autres dans les azimuts 6 = 7 = 7-1-90. Au lieu de cercles d'intensité uniforme, on a donc des associations de quarts de cercle alternativement obscurs et vifs, avec dégradation d'éclat ou d'obscurité.

En dehors de ces deux hypothèses , les deux termes restent et les lignes isochromatiques ne sont plus circulaires. Leur équation

-— *T = o est tang p' = — , et rappelle par la forme celle du

rfp' 6r tang2</ vv^ v

§ 555. On retrouve en effet dans certaines configurations les courbes en forme de semelle déjà rencontrées. Nous ne nous y arrêterons pas davantage.

Pour que la formule ( C) donne des cercles, il faut annuler l'un des binômes coefficients des deux derniers termes. Cette annulation devant avoir lieu quel que soit 6, il en résulte l'obligation d'annuler séparément chacun des deux termes de ces binômes* Or on ne peut y arriver par des hypothèses portant sur 8 seul, et il faut admettre en même temps que a vaut 45, ce qui nous rejette dans le cas représenté par Péq nation (D). On voit donc que le cas où

7 seul vaut 45 degrés n'admet pas de cercles ( * ).

La formule (D) donne des cercles homogènes pour 8 = o = 90, et l'association ingrate de quarts de cercle obscurs et vifs pour

8 = ±/\5. Ces valeurs sont celles qu'exigent les conditions énoncées dans la discussion de (B), et ce cas n'offre rien de particulier. Posons S = 22°,5. Les lignes isochromatiques auront pour équations

tang p' = — cos 2 S ;

(*) Àyec des spaths épais, aux alentours de £ = ±90°, les courbes semblent circulaires. Mais en les étudiant ayee une lumière simple dans la pince aux tourmalines ou encore en opérant sur de minces cristaux, on reconnaît dans la région centrale deux taches noires insuperposables formant comme deux foyers de ce* courbes, qui des lors ne sauraient èlre des cercle».

6 = 0 donne

tangp' = — 1.

Supposons le numéro de la courbe tel , qu'on ait

en suivant la valeur de p' dans les azimuts 6 croissants, on trouve sans peine que p' décroît jusqu'à ê = 900 et reprend dans l'autre quadrant des valeurs égales et symétriques. La courbe aurait donc son grand axe suivant OX. En disposant toutes les pièces conformément à la configuration adoptée, on vérifié et ce dire et toutes les particularités des phénomènes produites dans cette discussion.

Quand on veut se livrer à ces vérifications, on peut recourir à l'appareil d'Ami ci, mais il faudrait le doter de graduations qui n'existent pas. En admettant que la graduation du cercle dans lequel s'enchâsse le disperseur serve au premier mica , il faudrait que le second reposât sur la base d'un cylindre à l'intérieur duquel seraient et le premier mica et le cristal, et que cette base fût divisée.

§ 537. — Hyperboles dès circulaires et des elliptiques.

Soit maintenant le cristal en lames parallèles à Taxe. Il nous faut reprendre l'expression du § S32, mais à la condition d'y voir dans 6 une constante et dans p une fonction combinée de l'incidence r et de l'azimut <p du plan d'incidence. La différentiation donne

sin 2(7 — 6)cosp'=o , c'est-à-dire

les multiples 1, 5, g désignant les courbes des intensités maxima. Pour un rectiligne, c'était sinp' qu'il fallait égaler à zéro; les courbes sont les mêmes dans les deux cas et diffèrent seulement par les lieux qu'elles occupent, les unes étant comme intercalées entre les autres. Quant à leur nature, la forme de la fonction qui exprime le retard ($ 281) nous a montré que, pour des lames parallèles à l'axe, c'étaient des hyperboles. Nous rappelons que, pour apparaître dans des lames qui ne sont pas très-minces, ces courbes ré-

POLARISATION CHROMATIQUE DES C1RCUL. BT DES ELLIPT. 327

clamaient une lumière simple, mais qu'il n'en était' plus ainsi si le cristal était formé par les deux moitiés croisées d'une même lame. Le lecteur appropriera sans peine anx études actuelles les développements donnés pour les rectilignes dans le chapitre X, tout comme il les étendra aux cristaux qui seraient compris entre deux quarts d'onde. Nous lui laisserons également le soin de justifier les règles relatives au signe des cristaux qui peuvent se déduire du mouvement des hyperboles quand on passe graduellement du rectiligne au circulaire en faisant grandir a à partir de zéro.

3 a8 CHAPITRE XX.

ARTICLE Ier.