X-*sin a cos (Ç — p) , — X* sin a cos Ç

cos a cos (Ç — 2p) , X 'cos a cos (Ç — p) ,

— X- cos a sin (Ç — 2 p) , X- cos a sin (Ç — p) ,

— X sin a sin (Ç — 2p), — XJ sin a sin (Ç — p),

— X-* sin a cos (5 — 2 p) , X'2 sin a cos (Ç — p) ,

X ' cos a cos (5 — p) , X'4 cos a cos Ç ,

— X3cos a sin (S — p) , X'cos a sin Ç,

On aura les deux composantes X, Y, issues du deuxième cristal, en prenant parmi ces 32 composantes, les 16 parallèles aux X,, et les 16 parallèles aux Y,. On obtient ainsi (*), après quelques réductions manifestes,

X = sin a (i — X-') cos Ç — X* (i — XJ) cos a sin Ç

+ 4^sinacos(Ç — p)-r-2X(i — X-2) cos a sin (Ç — p)

— X-2(i— X2)sinacos(Ç— 2p) — X (i — X*) cos a sin (Ç— 2p), Y = — X2 ( i — X-2) cos a cos 5 — X ( i — X 2) sin a sin \

■+■ 4X3cosa cos (Ç — p) -h 2 X- (î — X2) sin asin (Ç — p) H- (i — X2) cos a cos (Ç — 2 p) — X (i — X-2) sin a sin (Ç — 2p). Vienne alors le polariscope et bornons-nous au cas de 6 = go. La vibration constitutive de l'image extraordinaire sera

X sin a — Y cos a , c'est-à-dire, après réductions,

— ( i — X-4) sin a cos a cos Ç -H X ( i — X2) cos 2 a sin Ç

— 2 X- ( i — X-2) cosaa sin (Ç — p)

-+- (i — X4)sin a cos a cos (Ç — 2p)-f- X(i — X2) cos 2 a sin (Ç— 2p), ou enfin

( î — X**) sin 2 a sin psiiï (Ç — p) -h 2 X(i — X2) cos 2 a cos p sin (Ç — p) — 2 X- (i — X-2) cos 2a sin (Ç — p).

N'ayant plus de variable avec le temps que le facteur sin (Ç — p),

(*) N'oublions pas que pour les huit derniers elliptiques les vibrations parallèles aux X sont écrites les dernières.

on aura l'intensité en formant le carré du trinôme qui lui sert de coefficient, de sorte qu'en rétablissant le diviseur (i-f- *2)2 omis à deux reprises, il vient

I = 7 — r- f( i -4- A2) sin 2 a sin p -h 2 X cos 2a cos p — 2/- cos 2a]2

(i-M2)1 ll ' r r

= ;— — ~ I (i 4- A-2) sin 2 a sin p — 4 * cos 2a sin2 - p

= 4 7 7zr sin2~p I f i -4- /3)sin2acos ~ p — 2/cos2asin- p I •

^ (l+ A2)4 2r (V ' 2r 2 rJ

Si nous posons , comme au § 614 ,

2 A tang2a=-j— ^tangX,

les mêmes calculs donnerons pour la quantité qui est entre les crochets ,

— \l\ h ' cosJ 2 a -f- ( i -h k*)* sin' 2 a sin ( - — ^ J 9 et Ton aura

I = 4[^!|![4^cos22a-h(« + X2)2sin22a]sin2^sin2 (j-*)-

Les spirales d' Airy ( la fig. 3oo les donne pour le cas où le quartz dextrogyre précède l'autre ) partent du centre même, et au nombre de quatre, y formant d'abord un rudiment de croix noire dont les bras rectangulaires ont une orientation variable avec l'épaisseur commune aux deux quartz. Elles tournent dans le même sens que le premier des deux quartz et ont le rouge en dedans comme les spirales des § § 617 et 018; mais elles les priment par la vivacité de leurs couleurs. Elles coupent obliquement les cercles qui leur restent associés et en des points situés sur les diamètres an téro- postérieur et transversal, de manière à venir s'éteindre dans les bras renaissants de la croix noire ordinaire. En ces points de rencontre s'observent les ressauts déjà signalés. Deux quartz inégaux continuent de donner, au moins dans certaines limites, des spirales qui ont encore le caractère de celui des deux quartz que le faisceau rencontre d'abord .

Les spirales d' Airy constituent pour deux quartz égaux, un phénomène résiduel analogue aux hyperboles issues de deux un taxes égaux et parallèles à Taxe , qu'on dispose en duplication croisée (§ 209). II y a toutefois à leur égard plus de difficulté à voirsyn-

4^2 CIIAPITHB XXIV.

thétiquement pourquoi, au lieu de s'annihiler, les deux actions contradictoires aboutissent à une action différentielle.

L'Optique offre assurément de précieux exemples des artifices qui constituent nos méthodes et des détours» auxquels il nous faut souvent recourir pour concevoir et calculer les phénomènes. Ici par exemple, le succès s'obtient en remplaçant le rayon donné par 32 rayons. Plus loin ( § 669 } ce sera en une infinité de rayons qu'il sera décomposé.

§ 622. — Phénomènes obtenus en associant aux quartz d'Airy un ou deux quarts d'onde.

On peut varier à l'infini les expériences. Nous citerons encore les suivantes sans en aborder le calcul. Nos deux quartz avaient environ 2 millimètres d'épaisseur.

i°. Je place par-dessous les quartz un quart d'onde donnant un circulaire dextrorsum, et j'obtiens, si le premier quartz est dex-

trogyre, dans l'image < deux spirales dcxlrorsum, dont les ori-

... , ' ,. ( transversal .

gmes séparées résident sur le diamètre • Si

1 I antero-postcrieur

j'échange les positions des quartz , les spirales deviennent sinistrorsum, et c'est dans l'image O que Je diamètre des origines est transversal. Le circulaire devient-il sinistrorsum , les spirales gaident leur caractère, mais le diamètre des origines tourne de 90 degrés.

20 . Je fais passer le quart d'onde par-dessus les quartz, et dans chaque image le phénomène continue d'être ce qu'il était quand le quart d'onde précédait les quartz. Ainsi, avec un premier quartz dextrogyre et un quart d'onde orienté dextrorsum on a dans l'image £ deux spirales droites qui débutent sur le diamètre transversal.

3°. J'insère le mica entre les deux quartz, il en résulte des courbes dont la forme spiraloïde s'apprécie mieux sur l'image 0. Bornons-nous donc à cette image. Eh bien , si le premier quaru est dextrogyre, et le mica orienté dextrorsum, les spirales sont droites et débutent sur le diamètre antéro-postérieur, ainsi qu'on le voit (fig, 3oi). L'échange des quartz change encore et les spirales et le diamètre des origines. L'orientation sinistrorsitiii dumica se borne encore à ce dernier changement.

4°. Je dispose les quartz (ceux de 2 millimètres) entre deux

micas croisés ou parallèles. Les courbes deviennent circulaires, ainsi qu'on pouvait le prévoir. Si Ton a

Premier mica dextrorsum ,

Premier quartz dextrogyre ,

Deuxième quartz lévogyre,

Deuxième mica sinistrorsum, Pi mage E est à centre noir, et le centre blanc de l'image O est culouré d'un cercle noir. En faisant tourner de 90 degrés l'ensemble des quatre pièces, ce qui échange les micas, on ne change rien aux images; il en est de môme quand, laissant les micas croisés, on change de place les deux quartz. Pour amener le centre blanc dans l'image E, il faut donner aux micas la même orientation.

£ 623. — Avantages qu'offre l'appareil de Norremberg pour certaines expériences de polarisation elliptique.

L'appareil de Norremberg permet de reprendre avec élégance et rigueur quelques-unes des expériences qui précèdent.

Quand, à l'aide d'une réflexion normale, on ramène dans un quartz un rayon qni vient de le traverser suivant Taxe, ce deuxième trajet détermine une rotation égale et contraire a celle de l'allée, et ramène ainsi le plan de la polarisation dans l'azimut primitif tout comme si le rayon, continuant sa route, avait rencontré un quartz inverse d'épaisseur rigoureusement égale. En effet, pour apprécier cette deuxième rotation, l'observateur doit (/îg. 3o2 ; elle est établie pour un dextrogyre) passer de A en B. Or, dans cet échange de position, sa droite, qui était d'abord du côté Pr, passe du côté Ps.

Cela posé, pour reproduire les spirales d'Airy, il suffit de déposer sur la glace horizontale un quartz et de mettre au-dessus de lui, à une distance convenable, la lentille aux deux rôles (§ 929): on se soustrait ainsi à l'obligation coûteuse d'avoir en double 'es quartz destines à ces études. Il est facile d'improviser une mesure de l'angle que fait avec la vibration primitive l'un des bras de la croix centrale rudimentaire. Nous trouvons ainsi pour un quartz épais de omm,63, environ 7 degrés, et pour un quartz de ?.,o5, environ ?.3 degrés, c'est-à-dire pour chacun sensiblement moitié de la rotation qu'il ferait subir au rayon moyen D (*).

(*) Cette loi, qu'accusera nettement la formule, est assez importante pour que nous disions comment l'appareil de M. Soleil {^ 227 ) se prête à la me-

494 CHAPITRK XXIV.

Quand un rayon est rendu, par une réflexion normale, a an polarisa teur circulaire , si ce quart d'onde est orienté pour produire sur le rayon allant la rotation dextrorsum, il sollicite le rayon revenant à tourner sinistrorsum. Si donc nous déposons sur le miroir horizontal d'abord un quartz et par-dessus lui un mica quart d'onde orienté à 45 degrés, au retour (fig. 3o3) ils traiteront le rayon l'un comme un quartz inverse et l'autre comme un mica croisé , et Ton retrouvera l'un des phénomènes du paragraphe précédent. Je constate ainsi avec un quartz épais de 6M,o3 que dans la quatrième expérience le centre noir tenait a l'épaisseur particulière du quartz, car celui-ci donne un centre rougeâtre. L'appareil de Norreinberg ne peut évidemment pas s'adapter au cas où les deux micas sont parallèles. Pour rendre la figure plus nette, nous avons séparé du mica d'allée le mica qui agit au retour, et nous en avons de plus montré l'autre face. Si l'on déposait d'abord le mica, puis le quartz, on aurait un autre phénomène que nous étudierons et dont nous tirerons parti au § 685.

On pourrait répéter encore d'autres expériences, par exemple la deuxième du paragraphe précédent. On disposerait alors le mica sur la plate-forme supérieure, de manière qu'il ne fût traversé qu'une fois par les rayons. Mais il faudrait alors remanier l'appareil de Norremberg et le doter d'un disperseur et d'un collecteur indépendants l'un de l'autre.

sure exacte de ces angles > quand toutefois on possède le système des deux quartz égaux et contraires.

Ayant confié à la pince l'ensemble des deux quarts , je tourne le micro-' mètre jusqu'à ce que l*un des fils coïncide avec un des bras de la croix, et comme l'autre fil épouse alors la direction du second bras, j'en conclus déjà que cette croix est bien orthogonale. Quoi qu'il en soit, je marque sur le tambour fixe où s'engage le micromètre et sur la douille de ce micromètre deux points correspondants. Je tourne maintenant la pince de 180 degrés de manière à renverser les spirales, et j'amène le même fil à se confondre avec le même bras de la nouvelle croix. Ce dont a tourné le micromètre est visiblement le double de l'angle cherché. Si cette extrémité du tambour était dirisée , on aurait cet angle par simple lecture. Faute de cela , il faut relever au compas la distance des deux points et la reporter sur la graduation dont ce même tambour est muni du coté du polariscope. Outre l'avantage de mesurer le double de l'angle, on a celui d'opérer l'élimination du zéro.

Les mêmes fils ont servi à relever les bras de la croix de Délezenne ($ 615). Seulement cette mesure ne se prèle pas à l'élimination du zéro.

§ 624. — Discussion des formules.

Parmi les formules de ce chapitre qui n'ont pas été discutées se trouvent celles des §§ 614, «19, 021, qui conduisent à des spirales. Nous allons réparer ici cette omission , et comme les deux premières ne diffèrent pas, nous n'aurons à nous occuper que des deux formules

' -— ^^4^acos32a-r-(i-hifa)2sinJ2asinî-sin(£-|-x)'

dans lesquelles l'angle % est défini par la même équation de condition

tangx = — — tang2a.

Douées d'une vive analogie , ces expressions présentent cependant deux différences : i° si le terme colorigène y est formé des mêmes facteurs, ces facteurs sont élevés dans la dernière au carré ; 20 ce terme colorigène, qui forme à lui seul toute la dernière , se trouve associé dans sa première au ternie constant 1 .

Cette seconde différence est considérable. Elle établit entre les valeurs de p et g, qui donneront aux deux expressions (A) et (B) leur ininima et leur maxima, leur minima surtout, un grand désaccord. En effet, tandis que les minima dérivent pour (B) de toutes les manières possibles d1annuler le terme colorigène et sont des minima absolus entièrement privés de lumière, et donnant au phénomène une grande vivacité; pour (A) l'annulation de ce terme n'aboutit qu'à l'éclairement moyen, marqué par le terme constant. C'est aux valeurs de p et ^ qui rendent maximum ce terme variable et le laissent négatif, valeurs auxquelles sont dus moitié des maxima de (B), qu'il faut demander les minima de A, et ces minima purement relatifs gardent un éclairement marqué par l'excès du terme constant sur le terme variable. Si donc la discussion de (B) repose sur la recherche des valeurs qui rendent nul et maximum le terme colorigène sans qu'à l'égard des dernières on ait à se préoccuper, puisque ce terme y est seul et y est au carré, de distinguer si la valeur absolue est positive ou nfga-

tive, la discussion de (A) n'a besoin que des maxima et doit s attacher à cette distinction.

Discussion de (B). Recherche des mi ni m a. Des quatre facteurs qui entrent dans (B), le premier s'annule là où k = i, c'est-à-dire au centre, quels que soient p et a. Le centre est donc noir. Loin du centre, quand X- devient sensiblement nul, le deuxième se réduit à un monôme et s'annule, quel que soit p, dans les azimuts a =. o et a = 90, c'est-à-dire que la croix noire est restituée dès que la double réfraction elliptique n'est plus appréciable. Aux deux derniers facteurs appartiennent les phénomènes intermédiaires.

Courbes du troisième facteur. Nous savons que la rotation du plnn de polarisation s'élève à la moitié de l'anomalie. Il en résulte que l'anomalie - dont le sinus forme le troisième facteur,

n'est autre, au début, que la rotation de chacune des plaques. S'éloigne-t-on dû centre, p prend des valeurs croissantes, et ce facteur donne visiblement des minima circulaires déterminés par

et partant situés comme ceux que donnerait, avec une lumière rectiligne, Tune des deux plaques (§ 619). L'appareil de M. Soleil avec son micromètre permet encore de constater cette identité.

Courbes du quatrième facteur. Si p n'est pas un rayon vecteur des courbes isochromatiques, il détermine, dans le plan de la face de sortie, un rayon vecteur R qui croît en même temps que lui.

L'arc x associé à - est également variable, mais tandis que les variations de p sont causées par l'incidence 1 et indépendantes de l'azimut a, celles de x dépendent et de l'azimut et, à cause de la

H-ifra présence de — -dans l'équation de condition, de l'incidence.

(*) La valeur de n, et par conséquent la fixation du multiple de * qui commence la série, dépend de l'épaisseur. Si minces que soient les plaques, n ne peut être nul ; si les quartz ont 2 millimètres, la rotation ac du rayon moyen vaut \ \ degrés, et l'on a n = 1 . Il faut prendre n =1 dès que la rotation a?0 x <• surpasse 7T, c'cst-à-diro quand e surpasse 8,nm,i8.

l -h ** Mais, dans le voisinage du centre, 7- différant peu de l'unité,

on peut dire que g n'y dépend que de l'azimut et en vaut le double.

Cela posé, il est facile de voir que le facteur sin ( - — % J donne

quatre spirales dextrorsum partant du centre. Plaçons-nous en effet dans le premier quadrant, et supposons la valeur initiale

de — = * moindre que tr (*). Puisque x = 2a peut grandir dans

ce quadrant jusqu'à ic, chaque valeur £ — ^ trouvera un azimut «

qui la rendra égale à zéro , et les valeurs de p, et par conséquent de R, croîtront avec l'azimut annula teur a ; ce qui est bien le propre d'une spirale dextrorsum. Chaque point de cette courbe se répète d'ailleurs à la même distance du centre dans les azimuts «' = a -f- go, a" = a-h 180, am = a -+- 270, car en ces trois points

Tare - — x» au neu d'être nul, vaut — ir, — 2ir, — 3ir, et a encore

un sinus nul. On a donc trois autres spirales qui ne sont que la première déplacée par une rotation de 90, 180, 270 degrés. Chacune d'ailleurs n'est pas bornée à son quadrant et continue de se

p dérouler dans les autres quadrants, puisque - peut prendre telle

valeur supérieure à ir qu'il plaira , sans cesser de rencontrer une valeur de g, également supérieur à ir, qui lui soit égale. Seulement, en s'éloignant du «entre, x surpasse de plus en plus 2 a, et l'angle d'annulation s'en trouve amoindri. Mais cela n'influe que sur la forme de la spirale, qui ne dépend pas moins de la loi compliquée qui relie R à p.

Dans quelle direction la spirale débute-t-elle ? Évidemment dans

la direction a, qui donne x» = * *t = - == **• L'azimut a , direc-

tion d'un des bras de la croix centrale, vaut donc bien —

Où ces spirales coupent-elles les cercles noirs? Il ressort de ce

qui précède que ce serait sur la direction de la vibration primitive

(* ) Cette supposition acceptée par les quartz qu'on rencontre ordinairement, n'est pas indispensable. Car tout repose sur la possibilité de trouver

p une valeur de x égale en valeur absolue à -•