THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR L'ÉLASTICITÉ DE CERTAINS MILIEUX

Épisode do physique moléculaire.—' Axes»d'élasticité. — Les milieux cristallisés en ont trois. — Surfaces d'élasticité. — Surface des vitesses. — Ellipsoïde inverse des vitesses. — Nécessité de considérer les ondes. — Décomposition d'une onde en deux ondes parallèles; — i° quand elle coïncide avec un des trois plans principaux ; — i° quand elle est quelconque intérieure. — Ce sont les axes de la courbe d'intersection donnée par le plan de Tonde dans l'ellipsoïde inverse. — Comment ces aies mesurent la vitesse de propagation des ondes. — Calcul de leur longueur. — Surface d'élasticité à deux nappes. — Sa génération par l'ellipsoïde inverse. — Comment son équation n'est autre que celle qui donne les deux axes.

§ 62S. — Calcul de la réaction développée dans un milieu élastique sur une particule qui abandonne sa position d'équilibre.

L'action d'un point B sur un point À vaut/ ( p), p étant ha distance qui les sépare (fig. 3o5). Comme elle est manifestement dirigée suivant la ligne AB , si Ton appelle £,>?,£, jr,y, z leurs coordonnées par rapport à trois axes rectangulaires, quelconques d'ailleurs, elle aura pour composantes, suivant ces axes,

■ Af)l-~-r /(p)"-^ S(e)~

L'action de tous les points B, B'. . ., qui sont dans la sphère d'activité de A, donne une force totale qui a poun composantes

5oa CHAPITRE \\V

La sommation porte sur les variables

(Ç-*), (,-jr), (Ç.)

et sur la variable subordonnée p, et est dépositaire de la constitution plus ou moins hétérogène du milieu autour du point A. On a d'ailleurs évidemment

2/(P)^=o, 2/(?)v-fï=o, 2/(P)ç-^=o.

Que A soit déplacé, ses coordonnées deviennent x -h A x, y-+-Ay, s-+-Az, et sa distance au point B, p-hAp. L'action actuelle de B sur À, déduite par la formule de Taylor de son action primordiale, aura pour composantes

A^ + ^^^ + fi,)-^-?-^,

p p dp p1

et l'ensemble des points agissant sur A donnera, en omettant les premières sommes qui sont nulles,

et cette manière d'user de la formule de Taylor implique que les variations Aa:, Ay, Az, Ap sont petites, ou, en d'autres termes, que le déplacement est très-peu de chose vis-à-vis les distances mutuelles des particules.

Pour lire dans ces expressions, il faut y introduire la liaison qui existe entre les variables p, jc, y, z. On a

p' =(5 - *)* + (, -jr )' + (Ç »)»

et

THÉORIE DB LA DOUBLB RÉFRACTION. 5o3

Usons de cette relation pour éliminer Ap et nous aurons

x=y df( p ]\~ t-xY**-(S-*)(»-r) a r-(6-*Mç— frq

+ J/feî [**+ (S-*)' **+ »-*)(«-,r) &r+ (|~«)(c-«)a»1

y =y We)ï-(*-j) «-*) Ayp-(n-/)'Ar - (»-,rXc-»)*«'| + y/feï [A y 4- fr-r)lg-«)A^('>-r)'Ar-K>>-.r)(t--»)a«1 1

§ 626.— Déplacements suivait les axes.-- Premier théorème.

Quand le déplacement vaut Ax et qu'il a lieu suivant l'axe des je, la force totale développée a pour composantes, suivant les trois axes,

et Ton reconnaît que la force totale ^X{ +Yj -+-Z}est, proportionnelle au déplacement actuel ùx. Comme la direction de l'axe des # est quelconque, on peut dire qu'en général la force totale ^X'-fY'+Z1 est proportionnelle

au déplacement général ^Axf4- A/***- A*f. Continuons l'examen des cas particuliers.

Quand le déplacement vaut by et qu'il a lieu suivant

5o4 CHAPITRE XXV.

les y ^ la force totale a pour composantes

Qu'il ait lieu enfin suivant Taxe des Z et qu'il vaille As, on aura

x = V */(p) ($-*)(*-') A . . v/ipj (g-*)(C-«h ' ^ p p' <£* p p'

Y^y ^/(p)("-r)(c-»)Al| y/(p)^-j)(!;-»)Ai|

Un premier théorème qui ressemble à d'autres théorèmes connus et qui est dû ici à ce que les valeurs générales de X, Y, Z, sont linéaires , consiste en ce qu'on a

X = X,h-Xh-X3; Y = Y,+ Y,-+-Y8,

c'est-à-dire que /a composante, suivant un axe, produite par un déplacement quelconque ^Ax*-+- Ay*-+- Àz* , 65/ /a somme des trois composante* que donnent suivant cet axe trois déplacements successifs dirigés suivant les trois axes et ayant pour valeurs respectives les trois projections Ax, Ayy Az du premier déplacement sur les trois axes.

§ 627. — Les neuf coefficients réductibles à six. — Deuxième théorème.

Les neuf polynômes qui , dans X, Y, Zt , X, Y, Z, , X3 Y9 Z, , multiplient Ax, Ay, As, une fois les sommations effectuées, ne contiendraient plus de variables; ils consii-

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5o5

tuent donc de véritables paramètres caractéristiques de la constitution générale du milieu : générale tant que, comme cela arrive dans les cristaux, elle est la même autour de chacun de ses points. Représentons -les par des lettres et ne nous préoccupons pas pour le moment des moyens indirects par lesquels (à défaut d'une réalisation directe que F ignorance où nous sommes sur p etf(p) rend impossible ) , on parviendra peut-être à les obtenir.

Six de ces coefficients étant visiblement égaux deux à deux, nous n'aurons que les six coefficients

E-2L~^r — ? — +1 — ? — J' ¥-zi-iy ? + P ? — J'

d= V r - dAf)(<L—)i*-r) , /(e) K-»)(»-jfl ^l. rfp p1 p p' J'

Nous avons désigné par A, B, C les trois essentiels qu'on retrouve toujours, quels que soient les axes choisis. D, E, F disparaîtront avec un certain choix d'axes coordonnés , et ils sont loin d'avoir la même importance, puisque c'est moins le milieu, que sa position par rapport aux trois axes, qu'ils caractérisent.

Les composantes géuérales de la force totale peuvent donc s'écrire

(i) X=AA*-hEA/-hFAs,

(2) Y= EA.r-4-BAj-hDAs,

(3) X=FA.r+DA7 + CA«;

5o6 CHAPITRE XXV.

or, cetle réduction de neuf coefficients à six, ou, en d'autres termes, cette égalité entre certains coefficients, constitue un deuxième théorème qui peut s'énoncer ainsi :

La composante suivant un axe, celui des X par exemple, des forces mises enjeu par un déplacement suivant un autre axe, celui des Y par exemple , est égale à la composante engendrée suivant ce deuxième axe, par un déplacement égal opéré suivant le premier.

§ 628. — Axes d'élasticité. — Équations dont ils dépendent.

Le but principal vers lequel nous tendons, est d'établir l'existence de trois droites rectangulaires telles, que les déplacements opérés suivant elles engendrent exceptionnellement des forces dont la résultante totale soit dirigée dans le sens même du déplacement. Ecrivons donc les cosinus qui fixent et la direction de la résultante et celle du déplacement.

Les premiers sont

cftftÀ=r « COSfX =

cos v = — =

ou encore

cos> = — ? cosj*= — . - 1

K V A x* -h A/' + ^ K \ZAx* -hày*+ïz*

COS v = . r»

K Vax» •+- A/' -r-A*« si Ton se rappelle (§ 626) la proportionnalité de la force totale au déplacement ^Ax* -h Ay' -f- As*, et si Ton représente par K la valeur que prend la force engendrée pour un déplacement égal à l'unité, K étant d'ailleurs variable avec la direction du déplacement.

Les derniers sont

A-r Aj

COStt=- * M** =

^Ax'-hAj'-h Az5 VA^-f-A^-' 4-A2?

et