COS

Pour trouver la relation des X, p, v et des a, S, y, et voir si cette relation peut, dans certains cas, devenir celle de l'égalité, on sait qu'il faut reporter dans les équations générales (1), (2), (3) du problème, les valeurs de X, Y, Z, Aar, Ay, A z tirées des valeurs des cosinus; nous aurons, en omettant le facteur commun V^Ax* -+- Ay* -h A z%

Kcos). = A cosa -4- Ecos6 + F 00*7, Kcosp=Ecosa +Bcos6 -+-DCOS7, K cos v = F cosa H- DcosS -+- C cosy.

Pour voir si les deux directions a, 6, y, A, (jl, v peuvent coïncider, posons

* = a, f* = 6, v = 7, et cherchons si les trois équations

(4) (A — K)cosa -f-Ecos6-h F 0057 = 0,

(5) Ecoset-h (B — K)cos6-4-Dcos7 = o,

(6) Fcosa-+- DcosS -4-(C — K)cos7=o,

admettront pour a, 6, y un ou plusieurs systèmes de valeurs acceptables. Elles contiennent, outre a, 6, y, l'inconnue variable K. Mais on a la quatrième équation

cosa a -h cosa 6 -*- cos*7 = 1 .

§ 629. — n en existe toujours trois. — Troisième et quatrième théorème.

Or ces quatre équations ne diffèrent pas de celles qu'on obtient, soit quand on recherche les trois axes principaux en mécanique, soit quand on veut trouver les axes d'une surface du deuxième degré. Et, en se bornant à cette dernière ressemblance, on voit que la force K joue spontanément le rôle de l'inconnue auxiliaire introduite alors.

On aurait donc, en cherchant d'abord l'équation en K, une équation du troisième degré, qui aurait ici, comme

5o8 CHAPITRE XXV.

dans la question géométrique analogue, ses trois valeurs réelles et de plus positives. Chacune de ces valeurs, reportée dans les équations (4)? (5), (6), amènera pour les cosinus, des valeurs comprises entre -f- i et — i , et, par conséquent, une direction a, 6, y, c'est-à-dire en tout trois directions. D'où nous concluons deux derniers théorèmes .

En général, la force totale développée sur une particule qui a été déplacée, n'est pas dirigée dans le sens du déplacement. C'est ce que nous avions déjà vu (§ 626) pour les déplacements opérés suivant les X, les Y ou les Z, puisque chaque force avait donné trois composantes, et c'est ce qui pouvait dès lors paraître établi pour d'autres directions, puisque les axes étaient quelconques.

Cependant, il y a toujours trois directions et rien que trois, telles que la résultante des forces déplacées coïncide avec la direction du déplacement. Ces trois directions sont rectangulaires comme dans la question analogue de géométrie et s'appellent axes d'élasticité.

Le troisième théorème appelle une expression, à savoir celle de l'angle compris entre le déplacement et la résultante, cet angle U est défini par

cosU-—

Vfe' -f- Y* + V v7^' -f- A/' 4- A*1

""K^-f-A^-f-A**)' et , si le déplacement est égal à l'unité , on a

KcosU = XA*-hYA.r-4-ZAz.

§ 630. — Des surfaces d'élasticité. — Rôle de la transversale.

Soient, dulour d'un point du milieu, toutes les droites imaginables, on peut convenir de prendre sur ces droites des quantités, soit proportionnelles, soit inversement proportionnelles avec la force élastique totale mise en jeu par un déplacement constant (égal à l'unité par exemple) opéré dans cette direction. Les extrémités de ces rayons vecteurs formeront

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5og

une surface qui montrera l'ensemble des valeurs que possède l'élasticité dans les diverses directions. Comme on peut construire telle puissance de l'élasticité qu'il plaira, on peut dire, en thèse générale, qu'il y a une foule de surfaces d'élasticité.

Mais comme il y a, dans la force mise en jeu, deux particularités, à savoir une certaine intensité et une certaine déviation 13, cette construction ne tenant compte que de la première serait incomplète, et ne traduirait aux yeux que moitié du phénomène. D'ailleurs, comme l'élément angulaire U varie suivant une loi compliquée, on peut dire qu'il n'est pas possible de trouver une construction où soient en évidence les deux particularités du phénomène.

Heureusement, à cause de la nullité optique des vibrations longitudinales , il arrive qu'on peut décomposer cette force totale en deux, l'une K cos C dirigée dans le sens du déplacement, l'autre KsinU dirigée perpendiculairement et négliger entièrement la dernière ; de manière que , n'ayant plus d'élément d'orientation, une surface peut résumer le seul élément (intensité de la composante utile) qui désormais variera.

§ 631. — Surface du sixième degré , — du quatrième degré à une nappe. — Ellipsoïde inverse.

Comme on a

KcosU = Xaj: 4-Yàj-I-ZAz,

celte surface a pour équation

Remplaçant X, Y, Z, par leurs valeurs générales (§ 627), et Ax, Ay, Az, par les valeurs cos a, cos S, cos y, que leur donne l'hypothèse d'un déplacement égal à l'unité, il vient

r= À cos' a -4- 2E cosacosS -f- 2 F cos a cos 7

-h B cos' 6 H- 2 D cos 6 C0S7 "+" C cos27.

Si nous appelons x^y, z, les coordonnées du point extrême

5io CHAPITRE XXV.

de la distance , ce seront les coordonnées courantes de la surface , on aura

cosa

— î, ço$6~-> C0Sy=-> r^fo-hf-hjr',

et l'équation polaire donnera pour l'équation de la surface en coordonnées rectangulaires

= - 1 -(A*» + BrM-Cs*-+-2E*r + 2F:r*4-2Drz),

équation qui est du sixième degré.

On sait qu'eu mécanique on remplace souvent des vitesses par des hauteurs de chute , et réciproquement. Si nous remarquons que la force FcosU entraîne, d'après la formule

cosU

une valeur de V correspondante, et si Ton se rappelle le rôle important que jouent en réfraction les vitesses de propagation, on comprendra qu'en optique on ait intérêt à considérer, en place des forces , ces vitesses concomitantes liées aux phénomènes d'une manière plus accessible. Bref, on peut vouloir prendre sur chaque rayon vecteur une longueur proportionnelle à la vitesse, c'est-à-dire à la racine carrée de la force $ ce qui donne la surface

r= V'KcÔsÛ — y/ULlx-hYLy+Zbz

ou bien

r2 ;= A cos*a -f- B 005*6 -4- C cos*7 -f- a E cosa cos5 -+- 2 F cos a COS7 -+- a D cos6 COS7,

c'est-à-dire, en coordonnées rectangulaires,

(jci +r'< + z*y =A^ -h By' + C*a -h 2Exj -+- *Fxz-{-2Dj *,

surface du quatrième degré, qui est la surface d'élasticité de Fresnel.

Au lieu de prendre sur chaque rayon vecteur une quan-

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5ll

lîté proportionnelle à la vjtesse, prenons une quantité qui en soit la réciproque. Nous aurons

y'KcosU 0* ou encore

.r2 -4- 7a -+-2* , J À*a-hB.ra-hC«,-4-2E.rr-H2F;r*-h2Dr*

c'est-à-dire finalement

i = A^'H-By-HCz1 -H2E.ry-f.2Fx«4- îD/«,

surface qui n'est plus que du deuxième degré et qui s'appelle l'ellipsoïde inverse des élasticités ; on devrait dire évidemment ellipsoïde inverse des racines carrées des élasticités, ou mieux ellipsoïde inverse des vitesses.

Quand les axes principaux sont axes coordonnés, les calculs qui viennent d'être faits et les équations des surfaces qui en rassortent se «impli fient. U faut en effet qu'en posant dans les équations i , a,3, tour à tour &y = o, Ag = o, ou bien Ai = o, Az = o, ou enfin Ax = o, £ky = o, on n'ait qu'une composante, à savoir X dans le premier cas et Y, Z dans les deux autres : ce qui exige que les trois coefficients D, E, F soient nuls. Ou obtiendrait donc ces résultats plus simples en posant, dans les formules précédentes,

mais nous croyons utile de reprendre rapidement la question.

§ 632. — Les surfaces d'élasticité rapportées aux axes principaux.

On suppose que les axes coordonnés sont les axes d'élasticité du cristal. Si À, B, C, sont toujours les trois forces mises en jeu suivant les trois axes, par un déplacement égal à l'unité opéré suivant ces axes, ces forces ont pour expressions équivalentes &>«*, &)&*, toc*, a, b, c étant les trois vitesses de propagation correspondantes, dites "vitesses principales, et a) un coefficient de proportionnalité.

Soit un déplacement égal à l'unité, opéré dans une direction quelconque a, 6, y. C'est comme si j'avais eu, suivant les axes, les déplacements cos a , cos 6, cos y. J'aurais donc, suivant ces axes, les trois forces

ua'cosa, u63cos6, wc'cosy, et une résultante

6)R = w^a< cos* a -h b* cos1 6 -f- c* cosa7

dont la direction est fixée par les trois cosinus

a1 cos a A3 cos 6 c'cos£

COSÀ = =.» COSjX = — - — , cosv = — - —

L'angle U que fait cette résultante avec la direction du déplacement sera donnée par

a1 cos* a -h b* cos1 6 -h c1 cos* 7

co$u= ?.

Si je voulais construire cette première surface d'élasticité si incomplète, je prendrais dans la direction a, 6, 7, la force totale développée, sans tenir compte de sa direction propre et j'aurais pour équation de la surface r = K, c'està-dire

ou bien

Mais il suffit pour les besoins de l'optique de construire les forces projetées sur les directions des déplacements, c'est-à-dire les quantités Kcos U, de sorte qu'on a

r =5 a3 cos* a H- b* cos26 -f- c* cos*?, ou bien

ou enfin

(.r1 +^' -+- zJ)3 = (fl*^' H- 6^a -f- c'*')*.

Mais, à la force K cosLJ, correspond une vitesseVpropor-

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5l3

nonnelk à la racine carrée de cette force, on a donc

V =\/ K cosU = ^ a7 cos* a + 61 cos* 6 + r2 cos*7,

et si l'on prend sur la direction du déplacement des quantités proportionnelles aux vitesses, on aura, en passant à l'équation en jr, yy z ,

« /ii2x2-f- é'r'-t- c7z7

v ^ V ^ + rî+«î

ou

c'est la véritable surface d'élasticité.

Enfin, sur chaque direction, prenons une réciproque à la vitesse, et nous aurons

V7^2 cos* a-f^ cos' 6 -+- c* cos* 7 ou bien, et ce sera Y ellipsoïde inverse des vitesses que nous désignerons sous le nom de premier ellipsoïde ,

§ 633. — Nécessité de considérer une onde. — On la choisit plane.

Voilà bien des surfaces d'élasticité, et cependant la meilleure n'y est pas. C'est qu'en effet le point de vue précédent est très-imparfait.

Jusqu'ici nous n'avons considéré que les forces nées des divers déplacements, sans nous occuper, soit des mouve* ments périodiques produits par ces forces dans la particule déplacée , soit surtout de la communication de ces mouvements aux portions du fluide déplus en plus éloignées. C'est cependant en abordant ces conséquences du développement des forces élastiques que Ton entre sérieusement dans la question d'optique qui est toute dynamique et qui n'existe qu'en germe dans le point de vue purement statique qui précède.

Il y a plus : pour approprier sincèrement ces études aux phénomènes de double réfraction, il faut, sous peine de II. 33

faire de la diffraction dédouble réfraction, considérer non pas une seule particule oscillante, mais une foule de particules qui, situées dans un même plan, soumises à des déplacements égaux et parallèles, et ainsi animées des mêmes forces , constitueront la chose simple par excellence en optique, c'est-à-dire une onde plane polarisée.

En prenant ainsi une onde plane, on voit qu'il est possible d'user avec sécurité du principe de la transversalité , et que le moyen employé jusqu'ici pour discerner, avec une vibration isolée , la composante longitudinale pourrait bien être incorrect.

Car une vibration isolée laisse indécise la direction du rayon , qui ne sera pas en général situé , comme on l'a admis, dans le plan formé par la vibration et le déplacement. Au lieu de deux composantes K cos U et K sin U , on en aura en général trois, une dans le sens du déplacement, l'autre dans le sens du rayon et la troisième perpendiculaire aux deux autres. La deuxième (distincte de K sin U), doit seule être rejetée : quant aux deux autres, situées dans le plan de Tonde, elles sont toutes deux transversales.

Cependant nous montrerons qu'il est possible d'user seulement de rayons polarisés, qui n'offrent exceptionnellement que les deux composantes K cos U et K sin U , que l'on sait heureusement ramener à ce cas simple, le cas général , et qu'ainsi tout ce qui a été dit sur les surfaces d'élasticité est légitimement acquis à la question.

§ 634. — Cas où elle contient deux axes d'élasticité.

Ayant, dans une onde plane intérieure au milieu, des particules déplacées parallèlement et oscillant à la suite de ce déplacement, comment se propagera dans les couches subséquentes ce mouvement primordial? Après un certain temps, quelles particules, à l'exclusion des autres, en seront dépositaires? Pour le voir, commençons par un cas particulier, celui où le plan de Tonde est l'un des trois plans principaux.

Chaque molécule, écartée, dans une direction quelconque,

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5ï5

de sa position d'équilibre, communiquera, en y revenant, son agitation aux particules des plans subséquents , mais l'étude directe de cette transmission est très-complexe, parce que, dans cette direction quelconque, les particules, sollicitées par des forces non dirigées suivant leurs déplacements, ne reviennent pas en ligne droite à leurs positions d'équilibre, et transmettent aux molécules sous-jacentes des mouvements plus ou moins curvilignes analogues à ceux qui les animent elles-mêmes. Mais si nous remplaçons chaque déplacement par deux autres, parallèles aux deux axes d'élasticité compris dans le plan de Tonde, et si nous considérons à part leur propagation, nous voyons : i° que chacun d'eux déterminera dans les particules, des mouvements rectilignesqui seront communiqués, sans que leur direction s'altère, aux tranches d'éther sous-jacentes ; a°que les élasticités et les vitesses qui président à ces deux communications étant différentes, il y aura, après un certain temps, deux séries de particules, situées dans des plans parallèles entre eux et à l'onde primitive, qui posséderont exclusivement tout le mouvement originaire; 3° que les vibrations des deux faisceaux engendrés , et aussi leurs plans de polarisation, seront à angle droit.

§ 635. — Deuxième cas. — Le plan de l'onde intérieure excitatrice est quelconque.

Ce plan coupe la surface d'élasticité suivant une courbe ovale, et l'ellipsoïde inverse suivant une ellipse. Comme cette intersection ne contient aucun des trois axes d'élasticité, il n'y a chez elle aucune direction de déplacement qui puisse donner une résultante dirigée suivant le déplacement. Mais pour avoir une oscillation rectiligne de la particule, et consécutivement transmission d'oscillation rectiligne, il suffirait que cette résultante, dirigée en général hors du plan , ne penchât ni à droite ni à gauche., qu'elle se projetât sur le déplacement , car elle se décomposera alors en deux', l'une normale au plan ^ dès lors non avenue, et l'autre K cos U seule utile, dirigée suivant le déplacement et

5ltf , dIAPITttE XXV

opérant sa transmission comme s'il s'agissait crun axe d'éasticité.

On établit (§ 636) qu'il y a toujours pour chaque section deux de ces directions singulières, et qu'elles sont rectangulaires. Les deux directions singulières rendent aux vibrations dirigées dans ce plan le même service que des axes d'élasticité. Chaque vibration se remplace par deux autres dirigées suivant elles, et ces deux composantes cheminant dans le milieu, sans se désorienter, mais avec des vitesses différentes, on voit que toute onde plane polarisée se transforme en deux ondes planes parallèles entre elles et à Tonde première, et polarisées à angle droit , ce qui est nn théorème bien général ; que de plus, leurs intensités relatives sont cos* a et sin' a, ce qui étend la loi de Malus à tous les cristaux. D'ailleurs, quelle que soit la direction de la vibration dans cette onde plane , ce sout toujours les deux mêmes ondes polarisées qui en ressortent, ce qui montre que ces résultats établis sur une onde polarisée ne conviennent pas moins à une onde naturelle.

Pour établir l'existence de ces directions et calculer les forces élastiques, et, par conséquent, les vitesses qui leur sont propres , chacune des trois précédentes surfaces d'élasticité peut également servir. Quelle que soit celle que Ton choisisse, il faudra : i° la couper par un plan dont la position sera fixée par les angles /, m , n de sa normale ; a° prouver qu'il y a dans les sections plusieurs rayons vecteurs (il v en aura deux rectangulaires ) , tels que si on les prend pour directions de déplacement, la force élastique développée se projette sur eux; entîu 3° calculer leurs longueurs dont les carrés, analogues aux quantités a1, &*, c* caractéristiques des axes d'élasticité, exprimeront soit les élasticités développées par ces déplacements privilégiés, soit les carres des vitesses corrélatives. Fresnel opérait sur sa surface d'élasticité du quatrième degré. Mais il y a tout avantage à faire ces calcul s sur une surface don lies propriétés soient déjà connues et à choisir l'ellipsoïde inverse. En effet , on peut

établir alors sa us calcul l'existence des directions singulières, montrer qu'elles ne sont autres que les axes de l'ellipse d'intersection et n'avoir à faire qu'un calcul, celui de la grandeur de ces deux axes.

S 636. — Les directions singulières sont les axes de l'ellipsoïde

inverse.

Dans le plan de la section, F élasticité, mesurée par les carrés des réciproques des rayons vecteurs, est la même à droite et à gauche pour les deux axes, et n'est la même que pour eux. Imaginons par un de ces axes le plan normal à la section , ce plan coupera , suivant leur axe homologue, toutes les ellipses d'intersection déterminées par les plans parallèles à la section diamétrale (car on sait qu'elles ouf toutes la même orientation). Par rapport à ce plan normal, les rayons vecteurs el7 par conséquent, les élasticités seront donc également symétriques à droite et à gauche. C'est-à-dire que, si le déplacement a lieu suivant un des axes de la section, la force élastique totale sera comprise dans le plan normal et se projettera dès lors sur cet axé. Et puisque l'ellipsoïde est inverse des vitesses, ce seront les réciproques des axes qui mesureront les vitesses de propagation.

§ 637. — Calcul de la longueur de ces axes.

Le plan quelconque a pour équation

x cos / -\-y cos m -+- 3 cos n = o..

On sait que, pour avoir l'intersection, il faut, non pas le combiner avec l'équation de la surface

mais introduire dans cette dernière , au lieu de x , y , z , les trois valeurs

z=y sin 0,

x = x' cos <p -h y cos 6 sin y,

y = x' sin <p — y cos 0 cos <p (fig. 3o6 ).

5l8 CHAPITRE XXV.

<p et 0 sont définis par les équations

tang y = — — > cos 6 = =>

qui deviennent ici

cos/ tangf = : — 9 cos 0 = cos»,

• T cos m

de sorte que les valeurs de x, y, z sont de fait x1 cos m — y cos / cos n