MN= AB-CV

c'est-à-dire que M el N, réciproques des carrés des axes de l'ellipse , sont les valeurs dev* fournies par l'équation bicarrée

„« (A -t- B) *'-+- AB - C' = o.

Si l'on multiplie V4 par l'unité prise sous la forme

cos2 / -+- cos2 m -+- cos* n ,

l'équation peut s'écrire

(V3 — b2) (V2 — 6-2) cos2 / 4- ( V2 4- a2) (V2 — r2) cos2/w

-h (V2 — û2) (V2 — b2) cos2/f == o, ou encore

cos2/ cos2/w cos2/i

V> fl* V2— £2 V2— r

et nous allons voir que cette équation bicarrée, quelle que soit sa forme, doit être considérée encore comme une surface d'élasticité.

§ 638. — Surface d'élasticité à deux nappes. — Sa génération par l'ellipsoïde. — Son équation.

On peut, surtout quand on substitue aux forces élastiques K cos U les vitesses correspondantes, trouver que nos surfaces d'élasticité ont été jusqu'ici mal conçues. En effet, dans ces surfaces , les forces élastiques ou les vitesses sont comptées dans le sens du déplacement. Or ces vitesses ne se développent nullement dans le sens de l'ébranlement (*), mais bien , vu la transversalité, dans, un certain sens perpendiculaire à l'ébranlement, dans la direction normale au plan de Tonde. Nous n'avons donc introduit qu'à demi la transversalité dans nos surfaces ; nous l'avons introduit dans la manière de compter la force , mais nous n* avons pas indiqué le sens dans lequel elle propage la perturbation. Pour obtenir ee résultat désirable, il faut transformer, comme il suit, l'ellipsoïde inverse.

( * ) La force élastique développée par un déplacement opéré dans une direction quelconque, singulière par exemple, a deux influences, -elle agit s«r le mouvement oscillatoire de la particule déplacée, elle agit sur la propagation de ce mouvement oscillatoire. On n'a pas à s'occuper de la première, puisque l'oscillation a une durée marquée par celle du mouvement oscillatoire extérieur dont elle n'est que la répétition. La seconde dépend au contraire exclusivement des qualités du milieu, -et se résume dans ce qu'on appelle la vitesse de propagation. Or cette vitesse est transversale et doit s'estimer perpendiculairement au plan de l'onde.

Coupez-le par un plan quelconque, élevez au centre de la section une normale , prenez sur cette normale deux valeurs respectivement égales à chacune des deux valeurs distinctes que donne pour les réciproques des axes de l'ellipse l'équation bicarrée; vous aurez ainsi les deux vitesses qui servent exclusivement à la propagation de tous les mouvements compris dans ce plan. Le lieu géométrique de ces couples de points constitue une surface à deux nappes qu'on appelle la surface d? élasticité à deux nappes. Puisque /, m, n sont les angles qui caractérisent la direction de ces vitesses devenues rayons vecteurs de la surface , il est visible qu'en considérant V, /,/?/,« comme quatre variables, F équation bicarrée qui précède est l'équation polaire de la surface d'élasticité. En appelant Ç, u, £ les coordonnées de l'extrémité du rayon vecteur V, on a

eos-/—-., rosJ/w = — > cos2/?=~;

d'ailleurs

Bref l'équation polairedonne, pour 1 équation rectangulaire de la surface d'élasticité à deux nappes, l'équation suivante qui est du sixième degré

P+^ + P-fl1 É2 -H «* +- P — *' ?2 + »24-i;a-c' surface dont nous reparlerons à propos de la surface de l'onde avec laquelle elle a la plus vive analogie.

On pourrait craindre que cette nouvelle surface ne délaissât certains déplacements, puisque dans chaque plan il n'y a que deux déplacements d'utilisés; mais il n'en est rien. Seulement les déplacements successifs sont introduits autrement que nous ne l'avions fait dans les anciennes surfaces d'élasticité. Il est certain que tous les déplacements possibles et toutes les forces et vitesses correspondantes ont leur tour dans cette nouvelle étude; et l'on s'en convaincra si l'on démontre ce théorème dont nous aurons encore besoin plus tard (§ 641 ) : Un rayon 'vecteur quelconque d'un

ellipsoïde joue le rôle d'axe pour lune des sections auimètrales qui le contiennent. Comment douter d'ailleurs que les mêmes forces ne soient en jeu dans les surfaces d'élasticité à une et à deux nappes , quand on leur trouve ce caractère commun , que c'est la racine carrée de la force projetée sur le déplacement, que l'on construit. Mais si ce sont bien les mêmes forces que construisent les deux surfaces, la mise eu œuvre y est différente : Tune les construit dans la direction du déplacement, l'autre perpendiculairement au plan de l'onde à laquelle est subordonnée cette force de propagation. Cette dernière esta deux nappes, parce qu'il y a deux forces de propagation au service des mouvements divers d'une onde plane; la première n'en a qu'une, parce qu'un rayon vecteur ne peut jouer le rôle d'axe que par rapport à une seule section, ou, en d'autres termes, n'est qu'une fois direction singulière.

Le point capital de la double réfraction consistait à concevoir comment un rayon lumineux se décomposait nettement en deux rayons distincts. Puisque la lumière est du mouvement , nous avons pu remplacer le mouvement primitif par un système quelconque de deux mouvements équivalents. Le difficile était de tomber sur un système binaire tel, que chacun d'eux, sans se dénaturer, se séparât spontanément de l'autre, et résidât au bout d'un certain temps dans des particules distinctes . Les axes pour les plans principaux, les directions singulières pour les plans quelconques, nous ont donné les vibrations des deux rayons formant ce système utile. La diilërence d'élasticité suivant ces directions, telle est la cause qui sépare les deux portions du mouvement. Enfin c'est au principe des interférences intervenant comme au § 28 qu'il faut attribuer la concentration du mouvement dans chacune des deux ondes. Il nous reste à 'approprier maintenant ces résultats aux divers cas qui se présenteront. Cette appropriation se fait très-simplement et d'une manière générale à l'aide d'une surface importante connue sous le nom de surface de Vonde.

ARTICLE IL