LA SURFACE DE L'ONDE

Rapports analytiques et géométriques des ellipsoïdes dits réciproques.— Ellipsoïde direct ou de Fresnel. — La surface de l'onde construite par points à l'aide des ellipsoïdes inverse et direct. — Son équation déduite sans calcul de la surface d'élasticité à deux nappes. — Théorème de Magnus.— Discussion des principes sur lesquels repose la théorie de la double réfraction. — L'inégale élasticité attestée par des faits étrangers à l'optique. — Incompatibilité d'une composante longitudinale avec certaines expériences d'optique.

§ 639. — Surface de l'onde. — Ses rapporte avec la surface d'élasticité à deux nappes.

Si Ton excepte le cas d'une onde incidente parallèle à la surface du milieu, cas qui rentre sans effort dans les études précédentes, le problème de la propagation d'une onde plane se présentera autrement qu'on l'a supposé jusqu'ici.

L'onde primitive donnée dont il faut étudier la transformation ne sera pas intérieure au milieu biréfringent, mais extérieure.

Quand elle est donnée intérieure , on a vu qu'elle se transformait en deux ondes planes, parallèles et entre elles et à Tonde primitive -, mais quand elle va envahir le milieu en arrivant du dehors , le mouvement transmis restera-t-il réductible à une ou à plusieurs ondes planes? Ce couple d'ondes planes, car il y en aura deux en général, aurontelles entre elles la relation de parallélisme , ce qui prouverait qu'exciter le milieu par une onde plane extérieure, revient à l'exciter par une autre onde plane, équivalente a la première, mais intérieure.

Même en supposant qu'on consentit à n'exciter le milieu que par des ondes planes intérieures , on conçoit l'utilité d'établir entre tous ces systèmes binaires un mode d'association tel , qu'on put y choisir le couple utile plus simplement qu'avec cette perpendiculaire et ces deux points pris sur elle aux deux distances principales.

Mais cela serait surtout utile quand, ainsi qu'il arrive dans le cas d'une onde excitatrice extérieure, les deux ondes engendrées cessent d être accouplées par systèmes parallèles, quand Tune est prise à l'un des systèmes binaires, et l'autre à un deuxième système.

Cette association de toutes les ondes planes que peut engendrer, après Tu ni lé de temps, une onde plane excitatrice prise dans toutes ses positions imaginables intérieures et de fait extérieures , nous est fournie par leur surface enveloppe qui, empruntant à chacune un élément superficiel, les équivaudra toutes , les tiendra en quelque sorte à notre disposition , et sera prête à les restituer, pourvu qu'on sollicite cette restitution par un procédé légitime; celte enveloppe est ce qu'on appelle surface de Ponde. Ses rapports avec la surfaoc d'élasticité à deux nappes sont évidents. Cette dernière passe par les points pris sur les normales à chaque section, et ne touche pas les ondes planes. Elle, au contraire, touche les ondes et ne passe pas par les pieds des pcrpendiculai res .

On doit remarquer que la surface de l'onde constituera mieux qu'un artifice géométrique propre à rendre les ondes planes qu'elle contient toutes en germe, et qu'elle a un rôle physique immédiat et vrai. Que si, par exemple r les diverses ondes planes passant par un point étaient simultanément excitées, la surface de Tonde résumerait les parties de ces ondes co-engendrées qui ne seraient pas détruites par l'interférence, et serait le lieu géométrique des particules du milieu seules dépositaires, après l'unité de temps, des mouvements qui ont affecté ce point.

Nous allons successivement construire par points la sur* face de Tonde, en trouver l'équation, y recourir pour mettre en place, à l'aide de la règle connue (§ 148) , les rayons réfractés dans les divers cas qui peuvent se présenter, puisT dans* les chapitres suivants, eu faire jaillir, soit les cas particuliers, soit les phénomènes secondaires, ceux de polarisation par exemple, que présentent ces rayons biréfractés.

THÉORIE DE LA DOUBLE RK F FI ACTION. ba5

soit enfin des procédés propres à déterminer les paramètres caractéristiques d'un milieu biréfringent.

§ 640. — Ellipsoïdes réciproques. — Équivalence de leurs deux définitions.

On peut construire par points la surface de l'onde à l'aide de deux certains ellipsoïdes réciproques. Occuponsnous donc de leurs propriétés.

Ànalytiqucment, deux ellipsoïdes sont réciproques quand l'un ayant pour équation

a7x7 -+- b7 y7 -hc7z7z= i, l'autre est

x' y7 zl

Si m = i , ce dernier ellipsoïde devient

sans cesser d'être réciproque au premier. C'est de lui que nous userons en le désignant sous le nom de deuxième ellipsoïde (*); il a ses axes égaux aux trois vitesses principales.

Géométriquement, on déduit d'un premier ellipsoïde, un ellipsoïde réciproque (fig. 307) en menant par chacun de ses points q un plan tangent, abaissant du centre O sur ces plans des perpendiculaires 0/7, y prenant le point Q de

manière à avoir le produit Op X OQ constant et égal à m% par exemple.

(* ) Fresnel ne paraît avoir connu que l'ellipsoïde direct; il en déduisait à peu près comme nous allons le faire, mais sans aucune justification, la surface de l'onde. Les résultats que nous avons demandés à l'ellipsoïde inverse (§ 636), il les obtenait moins simplement à l'aide de la surface d'élasticité à une nappe. Les auteurs qui appellent premier l'ellipsoïde direct ou de Fresnel et second Tel lipsoïde inverse ou de Plucker, sont donc fidèles à Tordre historique. Il nous a semblé préférable de subordonner les mots de premier et second à Tordre dans lequel ils se produisent dans l'exposition théorique des causes de la double réfraction.

Prouvons que le lieu des points Q est bien un ellipsoïde dont les axes sont inversement proportionnels à ceux du premier et dirigés suivant les mêmes droites ; que , par conséquent, les deux définitions sont équivalentes.

Premier ellipsoïde .

a*j?-h bif1-hciZ'=z i;

plan tangent au point q . (xy, y, z!)

\ (i) fl'x'X -f- b'y'Y + <*z'Z= ? ,

j (2) «»a/» + ft,/*-Mr"«rt = i;

normale par l'origine (*)

a*xf b*y

en considérant comme égales les coordonnées X , Y, Z du plan et celles Xj , Y, , Zt de la normale , on trouve pour les trois coordonnées du pied de la normale,

d'où Ion conclut

Le point Q ( X, Y, Z, ) est défini par l'équation

x' y' (*) Le rayon vecteur a pour coefficients angulaires — » — ,• Prenci, parla

formule connue

cosDIy = . w^ •*•«'+'

l'angle qu'il forme avec la normale, et vous trouverez sans peine que cet angle <jOp est le même que l'angle U donné par la formule du Ç 651.

et par les relations

en remplaçant Xt , Y, , Zt , OQ, Op par leurs valeurs, on trouve

X, = mîû,ar/, Yt = m'b'r'9 Z,=:m'cV,

et si l'on remplace , dans l'équation ( a), jc', y, z', par leurs valeurs en Xt , Yj , Z, , elle devient

x; y; zj

Que m1 soit égal à 1 ou bien OQ réciproque de O/?, on a le deuxième ellipsoïde

*1 Yî z;

commp nous l'avions annoncé.

Ayant déduit un point Q du deuxième ellipsoïde d'un point q du premier par la construction précédente , on peut mener actuellement au point Q un plan tangent, abaisser sur lui une perpendiculaire OP, prendre, à partir du point O, sur OP, une distance réciproque de OP. On prévoit que l'on reproduira ainsi le premier ellipsoïde , mais il n'est pas évident que la normale OP coïncide avec le premier rayon vecteur O^ , tout comme le rayon vecteur OQ coïncide avec la première normale O/;, et qu'ainsi la relation directe et réciproque se trouve confinée entre deux droites, le rayon vecteur et la perpendiculaire pour l'un des ellipsoïdes étant la perpendiculaire et le rayon vecteur pour l'autre. Il suffit d'en appeler à la relation Z = m'<r>s%

qui devient , quand on y remplace z ' par Zt , c1 par — » nv par — ■ »

5a8 CHAPITRE XXV.

et qui donne bien z = 2! quand on y fait

on trouverait de même y, 2/ pour les valeurs des deux autres coordonnées du point qt subordonné à P; donc ce point ne diffère pas de q.

§ 641. — Construction par points des deux nappes de la surface de l'onde.

Supposons actuellement une vibration dirigée suivantO^ nous avons eu déjà l'occasion d'affirmer que parmi les innombrables sections de F ellipsoïde qui passent par la droite O 9, il en était une qui l'acceptait pour axe, et pour laquelle, par conséquent, O^ était vibrât ion principale. Pour en établir l'existence et en déterminer la position, nous remarquons : i° que les axes d'une ellipse ont pour caractère exclusif d'être perpendiculaires à la tangente; i° que les tangentes aux innombrables ellipses sont résumées par le plan tangent. On peut donc , écartant l'ellipsoïde , ramener la question à cette autre empruntée à la géométrie du plan : Ayant une droite Oq et un plan qui se coupent en q , choisir dans ce plan celle des droites qp, qr, ... qui donne Oqr droit: or on sait que cette droite est normale au plan projetant de la droite donnée, c'est-à-dire ici au plan du triangle opq. Donc la section, qui accepte Oq pour axe et qui sera pour nous l'onde intérieure , sera la section menée par Oq normalement au plan du triangle. Pour les mêmes motifs, e.t à cause des relations identiques qu'a le plan Oqp avec les deux ellipsoïdes, le plan mené par OQ normalement à ce même triangle coupera le deuxième ellipsoïde suivant une ellipse qui aura OQ pour axe. Les seconds axes de ces deux ellipses inclinées entre elles de l'angle POQ auront pour direction commune une droite menée en O perpendiculairement au plan POQ.

Pour mettre en place un des plans dont la surface de l'onde sera l'enveloppe, il faut mener par le centre O une normale au plan de Tonde, et prendre sur elle, à partir

de O, une distance — = OP, puis mener en P un plan

perpendiculaire à cette normale, ce sera un de nos plans, et pour construire réellement la surface, il faudrait connaitre le point de ce plan où l'enveloppe le touche.

On réalise tout cela en faisant tourner le triangle OPQ dans son plan (Jig. 3o8) jusqu'à ce qu'il atteigne une position OFQ' telle, que l'angle POF et conséquemment aussi QOQ' soient droits. Car le plan tangent, projeté suivant FQ', sera parallèle au plan de Tonde excitatrice, en sera distant de OP et sera devenu le plan désiré.

Or tous ces plans tangents, qui se projetaient d'abord sur les plans des triangles suivant les lignes PQ et qui, après rotation, se projettent suivant les lignes FQ', constitueront une surface enveloppe dont j'obtiendrai les éléments superficiels en supposant que dans cette rotation , j'entraîne, outre le triangle et le plan tangent PQ, l'élément de la surface du deuxième ellipsoïde qui entourait le point de contact Q. Car, vu la continuité, tous ces éléments se convertiront en surface continue qui sera l'une des nappes de la surface de l'onde engendrée ainsi à l'aide de certains éléments du deuxième ellipsoïde juxtaposés par transport.

Quant à la deuxième nappe, elle s'obtiendra de la môme manière avec le deuxième axe de l'ellipse d'intersection. Soit 0<7t cet axe, il faut mener au point qx un plan tangent déterminer à l'aide d'une perpendiculaire O/?, , abaissée de O sur ce plan tangent , le plan fondamental O/?, qt . Ce plan (puisque Oqt est un axe) est perpendiculaire au plan de l'ellipse, et, prolongé, il vient passer comme Opq par lanormale OFà ce plan. Quand donc une rotation, égale à 90 degrés du triangle 0^,p, et du triangle associé ôP,Qt , se fera dans leur plan commun et autour de Oq comme charnière la droite Oqx viendra coïncider avec OlJ', et la droiteOQ, », dépassant OF viendra avec l'élément de surface qu'elle arrache au point Qt du deuxième ellipsoïde, constituer au point Q\ un élément de la deuxième nappe de l'enveloppe* N. 34

5;io . chapitre xxv.

La surface d'élasticité à deux nappes nous donnait par couples lés plans tangents à la surface de l'onde, et nous venons de construire les deux points de contact correspondants à chaque couple. La solution est complète : car les deux rayons engendrés par la double réfraction seront OQ', OQ', , leur angle est la face hypoténuse Q'OQ', du trièdrc Q'OP'Q^ : car chacune des vibrations principales 0<7, Oqx se transportant parallèlement à elle-même dans le milieu , il en résulte que FQ;, F, Q, , rendues par la rotation parallèles à Oq et Ctyi , représentent sur la surface de Tonde, ou mieux sur ses plans tangents , les directions des vibrations des deux rayons : car on voit que les deux polarisés issus de notre onde plane polarisée ou naturelle ont des plans de vibrations rectangulaires représentés par les deux plans OFQ', ÔP'.Q',. Mais on ne doit pas oublier que, tandis que les deux axes d'une ellipse d'intersection sont dans un même plan, les deux vibrations qui leur sontparallèles , résident sur deux plans tangents parallèles , mais distincts, menés l'un à Tune des nappes et l'autre à la deuxième. On voit même : i° que les rayons OQ', OQ/ sont obliques sur leur vibration, puisque ce sontles angles Q'P'O, Q,P' O, et nullement P'Q,0,FlQ,(0, qui sont droits; a° que la direction de la vibration sur le plan tangent en un point de la surface de Tonde est celle de la projection sur ce plan du rayon vecteur, OQ'ouOQ1 , caractéristique du rayon lumineux. Qu'il nous suffise pour le moment d'indiquer ces résultats, sur lesquels nous devons revenir dans la discussion.

§ 642. — Équation de la surface de l'onde.

A la section du premier ellipsoïde, qui a pour axes Oy, O*/,, sont subordonnées dans le deuxième ellipsoïde deux sections qui ont Tune OQ pour axe et l'autre OQi. Los deux points Q?>Ql de la surface de Tonde qui s'en déduisent sont pris sur des perpendiculaires à ces dernières sections, précisément comme les points de la surface d'élasticité à deux nappes le sont sur les normales aux sections

THEORIE Dfi LA DOUBLE REFRACTION 53 £

du premier ellipsoïde. La seule différence consiste en ce que sur les normales aux plans d'intersection du second ellipsoïde, c'est la longueur des axes, et non plus leur réciproque qu'il faut prendre. On peut donc dire que la surface de Tonde est au deuxième ellipsoïde ce que la surface d'élasticité à deux nappes est au premier, et passer de cette dernière à la première sans aucun calcul et par un simple m utatis mutandis .

Or l'équation polaire de la surface d'élasticité à deux nappes est *

cos1 1 cos8 m cos*/î A %

vw+vi=ïi + vï=P = 0(*657>;

remplaçons /, m, /i, caractéristiques d'une section quelconque du premier ellipsoïde, parL, M, N, caractéristique&d'une

section correspondante du deuxième, a*, b*9 c* par—» yj

-• Si W est la longueur d*un axe de 1 .1 section L , M , N ,

le rôle de V est dévolu à la quantité — et l'équation de la surface de l'onde est

cos8 L cos2 M cos2 N

ou bien

a2 cos2L à2cos2 M c2cos2N

ou, si Ton garde pour les quatre variables W, L, M, N les anciens symboles V, /, /?*, /i,

a2 cos2 / à2 cos2 m c2cos2/t

et l'on voit, puisque celte équation ne diffère de celle d'élasticité que par l'introduction, aux numérateurs, des facteurs a2, />% c% combien est vive l'analogie des deux surfaces.

Cette différence a toutefois un heureux résultat; on lui

doit de n'avoir plus une équation du sixième, mais seulement du quatrième degré, quand on remplace les coordonnées polaires V, cos1/, cos* m, cos* ^^, par leurs expressions

on obtient ainsi l'équation

fl»JT2 £2 j2 c2 z2

qui, les dénominateurs chassés, donne par un calcul simple

ou bien , délaissant le facteur étranger x* -+- y* + s%

§ 643. — Réflexions sur la méthode précédente. Les remarques suivantes dissiperont les doutes qui pourraient s'élever sur la méthode précédente. Sur la normale que donne une section du premier ellipsoïde, on compte deux longueurs égales aux réciproques des axes , et Ton a {fig- 3o8) deux points P', I* de la surface d'élasticité. Sur la normale que donne une section du deuxième ellipsoïde, on compte deux longueurs égales aux valeurs mêmes de ses axes , et Ton a deux points Q7, Q*, de la surface de Tonde. Or ces deux points ne sont pas un système correspondant des premiers. Pour avoir les deux points Q', Q', correspondants aux deux F, P',, il faut recourir à deux sections distinctes du deuxième ellipsoïde ; tout comme pour avoir les ondes planes correspondantes aux deux rayons superposés OQ7, OQ'a [fig» 3i4)i il faut recourir à deux sections distinctes du premier ellipsoïde. Ces sections subordonnées se trouvent dans les deux cas à l'aide des triangles OQP, OQ,Pt et sont normales aux deux côtés qui n'ont pas été amenés en superposition , c'est-à-dire aux hypoténuses OQ, OQi

dans l'un des cas , et aux côtés OP, OP, dans l'autre. Dans l'un des cas, les ondes ont une normale commune et les rayons différent; dans l'autre, au contraire, ce sont les rayons qui se confondent. Bref ce sont là précisément, au point de vue des ellipsoïdes , les deux premiers des quatre cas que nous avons distingués (§ 163). Mais ce défaut de correspondance, qui, dans le troisième cas, est encore plus formel , puisqu' alors le premier ellipsoïde aussi bien que le second fournit deux sections distinctes , ne saurait influer sur le calcul de l'onde qui sera exact si, n'importe dans quel ordre, elle résume tous les points qui lui appartiennent. Au surplus la puissance qu'a la surface de l'onde pour résoudre les divers cas de double réfraction, lui vient précisément de ce que les rayons cessant en quelque sorte d'avoir une association désignée à l'avance, se prêtent par la nature de cette surface à recevoir celle qui dépend de la règle énoncée (§ 148) et justifiée dans les paragraphes suivants. Nous supposions alors, il est vrai, les ondes longitudinales, mais on comprend sans peine que cette règle n'ayant d'autre origine que l'accord et le désaccord dus à la diversité des chemins soit indépendante de l'espèce de mouvement vibratoire qui anime les particules et convienne parfaitement aux vibrations transversales. Quant au nombre et à l'importance des attributions de cette surface , on en jugera par le résumé suivant. Elle donne :

i°. Par ses plans tangents les ondes réfractées;

2°. Par ses points de contact les directions des deux rayon s;

3°. Par les rayons vecteurs aboutissant aux points de contact les vitesses des rayons;

4°. Par les normales abaissées du centre sur les plans tangents les vitesses des deux ondes ;

5°. Par les projections des rayons vecteurs sur les plans tangents les directions intérieures des vibrations;

6°. Par le plan de ces normales et des rayons le plan de la vibration.

Elle est surtout précieuse quand les deux triangles uti-

lises , toui en tournant de 90 degrés, cessent d'avoir, comme dans les deux cas simples, un de leurs côtés superposés. En effet , tandis que dans le cas général le point de vue des ellipsoïdes perd sa fécondité, elle, au contraire, ne cesse pas d'offrir sa construction graphique des plans tangents.

Fresnel savait construire la surface de Tonde par les plans tangents à l'aide de la surface d'élasticité à une nappe, en la traitant comme nous avons traité l'ellipsoïde inverse (§ 638) : il savait la construire par points à l'aide du second ellipsoïde , comme nous venons de le faire , mais il supposait que ces deux constructions distinctes ne pourraient se relier que par des calculs compliqués. Plucker, en substituant, à la surface d'élasticité, l'ellipsoïde inverse et en saisissant les rapports de réciprocité qui unissent les deux ellipsoïdes et les deux surfaces à deux nappes , a franchi de la manière la plus simple ce pas difficile.

§ 644. — Théorème de Magnus.

Comme autre preuve des relations intimes qui existent entre les surfaces d'élasticité, celle de l'onde et les deux ellipsoïdes, démontrons avec Magnus que, si, du centre commun à toutes ces surfaces l'on abaisse des perpendiculaires sur les plans tangents au deuxième ellipsoïde , le lieu géométrique des pieds de ces perpendiculaires reproduit la surface d'élasticité à une nappe.

Deuxième ellipsoïde

xJ y* z2 1- ' 1 == 1

a7 ' b2 c2 plan tangent au point [xy'z')

(5> ^if"*-^''

perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent

X, = — — Z(> Y, = — — Zt;

coordonnées du pied de cette perpendiculaire obtenues en supposant que les coordonnées X , Y , Z du plan et celles X, , Y, , Z, de la normale ne diffèrent pas :

On en déduit

Xi =

c'est-à-dire

7" "^ ¥ + ^ "" zf ^Yf+x ; *

et Ton a pour les valeurs de a/, y\ z1 en X,, Y „ Z,

z -z'+yj + x;'

, *'Y, r -Z'-hYÎ-hXî'

*— ZÏ-f-YJ + Xï'

En mettant ces valeurs dans l'équation ( 2 ) , on obtient pour relation générale entre les coordonnées X, , Y, , Z„ ou, ce qui revient au même , pour le lieu géométrique cherché, l'équation

a>X] -h b*Y] + c»Z? = (X* + YJ -+-ZJ)2,

c'est-à-dire la surface d'élasticité de Fresnel (§653).

§ 645. — Coup d'œil rétrospectif. — Pourquoi n'y a-t-il pas réfraction triple?

Avant d'aborder la discussion des formules, jetons un coup d'œil rétrospectif sur le problème délicat que la surface d'élasticité ne résolvait qu'à un point de vue très-étroit et dont la surface de Tonde donne la vraie solution. Répondons à quelques objections ; signalons quelques imperfections.

II semblait naturel de décomposer chaque vibration suivant les trois axes d'élasticité qui • transporteraient les composantes ainsi obtenues sans les dénaturer. On le ferait ainsi si ce n'était l'inanité des mouvements longitudinaux , et au lieu d'une double, les cristaux offriraient une triple réfraction. Mais ici il faudrait finalement débarrasser ces trois rayons de ce qui n'est pas transversal. Y réussirait-on comme par la méthode suivie qui élimine dès le début les mouvements étrangers?

La solution qui précède repose sur le calcul des forces totales d'élasticité développées par le déplacement d'une seule molécule. Bientôt après, pour éliminer à coup sûr le longitudinal et se mettre d'ailleurs sur le véritable terrain de l'optique où l'on a sans cesse affaire à des faisceaux de rayons, on déplace simultanément et parallèlement toutes les particules d'un plan. Il est évident que les forces moléculaires développées ne sont plus celles calculées d'abord. Chaque particule est débarrassée des forces qui naissaient des particules situées, comme elle, dans le plan de l'onde, puisqu'il n'y a plus entre elles de mouvements relatifs. Les actions venant des particules sous-jacentes qui éprouvent, comme celles du plan de l'onde, des mouvements simultanés, sont autres que si ces particules étaient restées à leur place. Nous admettons, et Fresnel s'est ingénié à le prouver , que les nouvelles forces développées sont proportionnelles aux anciennes.

§ 646. — Distinction des élasticités statique et dynamique.

L'inégale vitesse de la lumière dans les divers milieux a été attribuée (§38) plutôt à une différence de densité qu'à une différence d'élasticité. 11 nous répugnait d'admettre que deux éthers contigus, malgré l'action incontestablement inégale qu'exerce sur eux la matière des corps qui les coercent, ne fussent pas en

équilibre d'élasticité, Il semble qu'ici nous- nous contredisions en admettant dans un même milieu une foule d'énergies élastiques. Nullement ; car il faut distinguer l'élasticité statique , passive et permanente, d'un éther ou d'un gaz en repos, de l'élasticité dynamique, active et passagère qui se développe dans un milieu troublé. Cette dernière peut et doit être variable non-seulement dans les divers milieux , mais encore dans les diverses directions d'un même milieu, s'il est hétérogène. Il est seulement juste de remarquer que cette élasticité , mise en jeu par un déplacement , nous l'avons calculée sans tenir compte de l'état de mouvement qui accompagne le déplacement. Nous avons d'ailleurs insisté (§ 440) sur la nécessité de revoir ce point qui est le côté faible de la théorie de Fresnel.

§ 647. — Révision des principes de cette théorie. — Autres preuves de l'inégale élasticité.

Les principes fondamentaux sur lesquels repose la théorie de la double réfraction sont :

i°. L'admission d'une constitution du milieu, variable autour d'un point , mais semblablement variable autour des divers points. C'est à lui qu'est due la propagation , sans désorienta don , des vibrations, quand elles sont excitées suivant les directions singulières.

2°. Des excursions des particules assez faibles pour que les résultantes d'élasticité soient dans chaque direction proportionnelles au déplacement; ce qui implique que les distances des particules sont très-grandes par rapport à leurs déplacements. Fresnel ne voyait dans cette manière de conduire le calcul qu'une première approximation , insuffisante à l'égard de certains phénomènes tels que, par exemple, le défaut de coïncidence dans une même substance des axes d'élasticité pour les diverses couleurs.

3°. Le principe de la superposition ou de la coexistence des divers mouvements, principe qu'on pourrait appeler celui du remplacement d'un mouvement vibratoire par d'autres équivalents.

4°. L'inanité en optique des composantes longitudinales.

5°. La corrélation des forces totales avec certaines vitesses et

l'identité de cette corrélation avec celle V = \/-} (]u*-' le son présente dans des conditions analogues.

6°. Le principe des interférences qui éteint le mouvement partout ailleurs que sur certaines surfaces qui sont bien , comme le voulait Fermât, les lieux des mouvements de première arrivée.

De ces principes auxquels les questions soulevées (§ 645) permettront sans doute d'en ajouter d'autres (*), le premier et le quatrième seuls, par suite des développements qu'ont reçus les autres, demandent quelques explications.

L'inégale élasticité dans les divers sens résulte surabondamment de l'ensemble de la cristallographie et plus particulièrement des expériences de Savart sur les figures nodales des plaques cristallisées, et de celles de Mitscherlich, de Senarmont, Wiedemann sur la conductibilité de la chaleur ou de l'électricité dans les cristaux. L'importance capitale en double réfraction de cette inégalité ressort vivement des expériences sur le verre comprimé ou trempé chez lequel on voit apparaître, au fur et à mesure que leur constitution homogène est troublée, des phénomènes de double réfraction de plus en plus tranchés. La méthode de M. de Senarmont, appliquée aux bois , montre qu'ils sont doués d'une hétérogénéité très-intense et fait regretter que par défaut de transparence leur double réfraction reste latente. Toute substance organisée est hétérogène et consequemment biréfringente ; on le voit très-bien sur la corne , qui est uniaxe, sur la nacre de perle, "qui se comporte comme un cristal biaxe très-régulier. Il suffit d'en noyer une lame mince entre deux verres dans la térébenthine et de la regarder au microscope d'Amici.

Mais s'il est bien prouvé que toute hétérogénéité entraîne double réfraction , on doit distinguer les corps dont la constitution reste pareille aux divers points et ceux qui ont une hétérogénéité variante, soit par organisation, soit simplement par orientation. La théorie de Fresnel ne s'applique pas à ces derniers , ou plutôt ne s'y applique que rudimentairement, puisque si , en chaque point, il reste trois axes d'élasticité , leur direction varie de point à point, et qu'ainsi s'évanouit l'avantage capital d'une orientation inva-

(*) C'est ainsi que Fresnel signale cet autre principe qui joue un rôle manifeste dans sa théorie : « L'élasticité mise en jeu par les déplacements relatifs des molécules reste toujours la même dans le même milieu tant que la dircctioii de ces déplacements ne chance pas, et quelle que soit d'ailleurs celle du plan de Tonde. » Il s'est mémo attaché à en montrer l'exactitude chez la topaze.

riable. Quant aux cristaux, tous, ce me semble, même ceux du dernier système , doivent accepter cette théorie. On se demandera, il est vrai, comment peuvent être disposés dans ces derniers cristaux si dissymétriques les trois axes rectangulaires d'élasticité ; maïs l'impossibilité de répondre dans tous les cas à cette question tient à l'ignorance où nous sommes des relations générales qui unissent pour les cristaux biaxes les constantes cristallographiques e t les constan tes optiques .

§ 648.— Inanité du longitudinal.

Quant à l'inanité des vibrations longitudinales sur laquelle nous avons déjà eu l'occasion d'insister, Fresnel en a fait l'objet d'une démonstration fondamentale que nous allons reproduire en lui enlevant toutefois l'incorrection qui y a été signalée par M. Verdet.

On sait que le mouvement vibratoire d'un point lumineux donne -

V = a sin 2 7T - 1

et que , gardant son caractère dans les points du milieu homogène où il se propage , il devient

V = at sin 2 tt

Ce qu'on ignore , c'est la direction de la vibration par rapport au rayon. Comme la direction de cette vibration dans la particule lumineuse doit être quelconque , il est naturel d'admettre qu'il en est de même de la vibration du milieu propagateur. Nous pouvons donc remplacer cette vibration par trois autres rectangulaires : la première OX dans le sens du rayon et les deux autres transversales, situées dans deux plans rectangulaires dont l'un sera le plan de polarisation. Fresnel admet même pour plus de généralité que chacun de ces trois mouvements élémentaires peut posséder une perte de phase spéciale ; ce qui, nous le savons par la polarisation elliptique, prévoit le cas où la vibration serait curviligne, de sorte que, si ces pertes sont u, p, w et les trois amplitudes a, 6, 7, notre rayon polarisé a pour expression

a sin 2 7r

7 Sin 2 7T

Un deuxième rayon , né de la même source , polarisé dans un plan perpendiculaire au premier et qui aura pu parcourir un chemin x distinct de x', aura de même pour ses trois composantes

a sm 2 n

IL f!±îL'\

7 smatr

Chaque système de vibrations contenues dans le même plan coordonné donne un rayon résultant dont l'intensité sera

aî-f-a'2 + 2a a! cos 2 n I 1 1 ,

6» -I- g'* + 2 6 6' cos 2 * ( î-pf 4- ^pT \ ,

La résultante des trois systèmes, ou, ce qui revient au même, celle de nos deux polarisés, vaudra la somme des trois intensités, c'est-à-dire

a2-ha'2-|-6*-4-6':-i-72-r-7'J

-+- 2act COS2 7T r H 2 66 COS2JT %

. x1 — .r -f- «»' — w -h 2 7 7 cos 2 w •

Or, quand les deux rayons sont polarisés à angle droit, l'expérience nous donne une intensité constante K , quelle que soit la différence x' — x. II faut donc qu'alors on ait

x' — x-^v' — u *'* + ,/ |. = 2 a a COS 2 ff , h^6 6 COS27T

x' — x -f- tv' — w

-+- 2 yf 7 cos 2 xr

Fresnel en concluait qu'il fallait que les trois termes qui contenaient la différence x' — x fussent individuellement nuls, ce qui lui donnait les trois équations

aa'=o, 66'= o, 77'= o,.

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. $4t

mais celte conclusion n'est pas justifiée, car si on développe les cosinus, le deuxième membre devient

M* V V* Vy

, . 2 «a' COS 2 it — ; h 2 66' COS 2 7T —

x' — ri \ A