DISCUSSION.— LES RÉFRACTIONS CONIQUES

Intersection de la surface de l'onde avec les axes et les plans coordonnés. — Détermination des élasticités principales par la méthode des prismes. — Cas des uniaxes. — Loi qui donne la direction de la vibration. — Exceptions.— Comment on s'en tire. — Plans de polarisation des deux rayons. — Les éléments des deux réfractions coniques déduits de la surface de Tonde. — Les deux réfractions coniques se rattachent aux sections circulaires des deux ellipsoïdes. — Le cône des rayons intérieurs pour la première et celui des normales aux ondes intérieures pour la deuxième, sont circulaires obliques. — Plans de polarisation.— Comment les réfractions coniques peuvent réaliser la transformation d'un rayon polarisé en une foule d'autres, polarisés dans tous les azimuts. — Expériences sur les deux réfractions coniques.

§ 650. — Orthogonalitè de la surface de Tonde sur les plans" coordonnés.

La surface de Tonde, F (jt,^, z) = o, n'ayant dans son équation

que des puissances paires des variables, a un centre, et ce centre

est l'origine des coordonnées. Vu cette symétrie, on prévoit qu'elle

coupera orthogonalement les trois plans coordonnés , et dans les

modèles de la surface de Tonde on pourra n'en construire qu'un

huitième. Mais on établit catégoriquement cette relation reroar-

dF <Œ d?

quable en formant les valeurs des dérivées — , --* ' — » et ^ dx djr dt

cherchant, pour les points compris dans ces plans, les cosinus des

rfF

angles >, p, v que la normale forme avec les axes. Or — > numé-

rateur de cos> , vaut

2 (x'-r-^-h z2)tf**-f- 2*-(<iï.i:2-r-627'-r-c221) -+ 2 (fr+tfa1*

et devient nul quand x=o, le dénominateur

\/(lHfHfV.

n'étant pas nul, il s'ensuit que les normales aux plans tangents, le long des points situés clans le plan des YZ, sont comprises dans ce plan. Il en est de même des deux autres plans.

§ è51. — Courbes et points suivant lesquels elle coupe ce* plans et les axes.

Les courbes d'intersection avec chacun des plans coordonnés s'obtiennent en posant successivement x = o, y = o , z = o. Les équations du quatrième degré qu'on en déduit se décomposent chacune en facteurs du second degré. Ainsi x = o donne l'équation

(ja-f-s'J^j1 + €»*?)— **(<*-r-ca),ra — c2(a*+b2)z*-+-a2b*c* = o,

qui, transformée, devient

On a de même sur le plan XZ

et dans le plan XY

(jpi+ji — c*) (a^+^Z- à1 6*) =6.

Supposons, pour préciser, a> b et £ > c; les courbes dans le plan des XY seront un cercle de rayon ç, intérieur a une ellipse dont les axes dirigés suivant les X et les Y sont b et a (fig. 3 1 o) . Dans le plan YZ le cercle de rayon a entoure l'ellipse dont les axes sont b et c [fig. 3i i ). Enfin , perpendiculairement à Taxe moyen, le rayon du cercle ayant la valeur moyenne i, et les axes de l'ellipse étant les deux valeurs extrêmes a, c, lesdeux courbes se coupent (fig. 3ia), ce qui est l'indice de phénomènes spéciaux très-remarquables.

Les intersections des axes coordonnés avec la surface (fis* 3i3) sont données, sur Taxe des X par zfc £, zfc: c, sur Taxe des Y par zt a , rfcc, et. par ± a, ± b sur Taxe des Z. On peut ne considérer que les signes + , parce que dans un phénomène de double réfraction il n'y a jamais en jeu qu'une moitié de la surface de Tonde; tantôt Tune, tantôt l'autre, suivant que le rayon suit une direction ou la direction contraire. La surface d'élasticité à deux nappes coupé les axes précisément aux mêmes points. Voici donc des nou- II. 35

vclles attributions pour les quantités a, &, c, déjà si remarquables. Elles nous ont apparu d'abord comme racines carrées des forces élastiques totales développées selon les trois axes d'élasticité, et bientôt après comme vitesses principales. Plus tard elles ont servi d'axes, soit par elles-mêmes, soit par leurs réciproques, à nos deux ellipsoïdes, et les voilà qui jouent également ce dernier rôle dans la surface de Tonde et dans la surface d'élasticité à deux nappes.

§ 652. — Détermination des trois élasticités principales.

Soit une plaque normale à l'un des axes, OX par exemple, un rayon incident normal cheminera dans son sein sans quitter cet axe d'élasticité; car les deux plans tangents aux points où un axe coupe la surface de Tonde sont normaux aux deux plans principaux dont cet axe est T intersection et conséquemment à l'axe; mais si le rayou poursuit sa route en ligne droite, il n'en est pas moins dédoublé , et ses deux portions, propagées avec les vitesses b et c, sont faciles à manifester : on en opère la séparation en se donnant une face de sortie oblique à l'axe, en d'autres termes, en usant d'un prisme. Mais on peut également laisser la face de sortie normale à l'axe et manifester leur existence individuelle par des déplacements de franges. Nous renvoyons à l'article V du chapitre actuel pour le détail des interférences produites ainsi entre ces deux rayons polarisés inversement.

Supposons le cristal taillé en prisme dont rareté soit parallèle à l'un des axes d'élasticité, celui des X par exemple: sa section principale se confondra avec le plan des YZ. Si donc on n'opère, suivant l'usage, que dans cette section principale , on obtiendra des rayons réfractés qui n'en sortiront pas. En effet, déjà par hypothèse le plan d'incidence coïncide avec un des plans coordonnés : mais puisque les plans tangents aux points de la surface de Tonde compris dans ce plan lui sont normaux, les points de contact des plans tangents menés par la droite TT' ne sortiront pas du plan; ils n'en sortiront pas davantage en traversant la face

de sortie. La première loi de Descartes sera donc satisfaite pour les deux rayons, et on pourra les mettre en place par des constructions planes. Il y a plus : puisque Tune des deux courbes utilisées dans ces constructions planes est un cercle,' l'un des rayons, et c'est là un privilège des plans coordonnés . suivra la loi des sinus ; enfin la réfraction de ces rayons exceptionnellement ordinaires , caractérisée par des

cercles de rayon a, i, c, se fera d'après les indices nm = -»

Ces phénomènes de double réfraction obtenus, soit le long des axes d'élasticité , soit dans les plans qui contiennent deux de ces axes, sont précieux parla facilité avec laquelle ils donnent des valeurs numériques proportionnelles aux paramètres a, è, c, valeurs qu'il faut avoir et qui suffisent pour faire servir la surface de Tonde à la mise en place effective des rayons réfractés. La méthode des lames normales à un axe a le triple avantage de se contenter de lames minces, de n'en exiger que deux , attendu que chacune peut donner deux indices, et de se prêter , quand leur orientation devient quelconque, à la détermination des vitesses non principales; Fresnei l'a souvent réalisée. Celle des prismes n'admet pas, il est vrai, une telle généralisation, mais elle est nette et expéditive. Mi\J. Biot, Rudberg, de

Senarmont , etc. , y ont eu recours. Les réciproques -p -^

-^des indices n\ /i", nm obtenus dans les trois prismes sont

c, i, a. Pour reconnaître le rayon ordinaire, il semble qu'il faille varier l'incidence de manière à obtenir plusieurs systèmes d'angles i* r, et à voir pour lequel des deux rayons

le rapport -r— est constant. S'il en était ainsi , la méthode

de Newton, qui repose sur la déviation minima, serait insuffisante, et Ton devrait recourir à l'une de celles qui donnent l'indice avec une incidence quelconque. Heureu-

sèment il n'en est rien , car la polarisation offre un autre moyen bien plus expéditif de distinguer celle des deux image» fournies par les prismes qui est l'ordinaire. Chaque indice est en effet au service d'un rayon de lumière dirigé et en même temps polarisé normalement à l'axe d'élasticité dont il contient la constante. Ainsi, dans le prisme dont l'arête est parallèle aux X, le rayon ordinaire, propagé dans le plan YZ avec la vitesse a, est celui dont la vibration est parallèle à l'arête. Un prisme de Nicol désignera donc l'image ordinaire et permettra même d'éliminer le spectre extraordinaire, s'il pouvaitgêner en se superposant à l'autre. Deux mots maintenant stir la taille des lames et des prismes. .

§ 653. — Relations de ces axes d'élasticité avec les paramètres cristallographiques.

On s'aide pour cela soit de ces phénomènes signalés déjà (§ 195) qui se manifestent autour de certaines directions intimement liées aux axes d'élasticité et désignées sous le nom d'axes optiques, soit plutôt d'indications cristallographiques. S'agit-il t par exemple, d'un cristal du quatrième système , on sait que les trois axes d'élasticité optique sont parallèles à la hauteur du prisme rhomboïdal droit et aux deux diagonales de sa base, ou, en d'autres termes, aux trois axes cristallographiques. Si le prisme est rhomboïdal oblique, on est beaucoup moins avancé ; cependant on a vu qu'un des axes d'élasticité était toujours parallèle à la diagonale horizontale de la base qui est, on le sait, Taxe cristallographique normal aux deux autres. On connaît donc ainsi un axe et le plan des deux autres. Dans le sixième système, il n'y a plus de relations constantes entre les deux sortes de lignes qui puisse désigner à un degré quelconque les axes d'élasticité.

§ 654.— Les résultats précédents chez les uniaxes.

Ces cristaux sont caractérisés théoriquement par l'égalité de deux des trois vitesses principales , de b et c ou de b et a. Il est inutile de considérer la troisième égalité a = r ,

car les deux précédentes reproduisent tous les phénomènes. b = c donne l'équation

— 2fl» ft»ar» — A» (fla H- b*){y* -+- a') -f- o* *« = o, réductible à la forme

(*> + jr» + *t À») [a' *' -f- £2 (/' -4- *>) — à1 b'] = o ,

c'est-à-dire qu'elle se décompose en deux surfaces du second degré, à savoir une sphère dont le rayon est l'axe commun /;, et un ellipsoïde qui est de révolution autour de l'axe inégal a, et qui a b pour axe de révolution et a pour rayon équalorial. Ces deux surfaces se touchent donc en deux points situés sur Taxe des X, et l'ellipsoïde enveloppe la sphère. L'autre hypothèse b = a donnerait, au contraire, un ellipsoïde allongé et enveloppé par la sphère, c'est-à-dire que nous retrouvons la construction d'Huyghens et ses deux cas. Le point de vue actuel nous permet d'ajouter ce trait distinctif que l'axe cristallographique principal coïncide, dans les positifs, avec l'axe c de plus petite élasticité et, dans les négatifs, avec celui a de plus grande élasticité. On sait que suivant l'axe d'un négatif, le rayon est réduit dans sa totalité au minimum de vitesse, et cependant cette direction est celle d'élasticité maxima. On ne s'étonnera pas de ce contraste si Ton songe que le rayon qui chemine suivant l'axe utilise, vu la transversalité, l'élasticité équatoriale qui est la moindre de toutes. Pour rester fidèle à la notation du chapitre VI, nous gardons a pour l'axe inégal et l'ellipsoïde est aplati ou allongé suivant qu'on a a^b.

En égalisant ainsi deux axes d'élasticité, les deux ellipsoïdes auxiliaires deviennent de révolution . Tous les rayons vecteurs situés dans le plan de l'équateur deviennent axes d'élasticité. La symétrie montre encore que le plan du triangle qOp passe constamment par l'axe de révolution.

On a donc en jeu pour les uniaxes trois ellipsoïdes qui sont tous trois de révolution autour d'un môme axe :

i°. Celui de Plucker

rtV + ^tr' + *') = u

. 3DO CHAPtTAE XXV.

2°. Celui de Fresoel 3°. Celui d'Huyghens

«'or' -h b* (y' -+- »*} = ** *>,

dont l 'équation emprunte un membre aux équations de chacun des deux autres.

§ €55. — Mrectian des vibrations.

>ous rappelons : i° que le cas d'excitation intérieure constitue un phénomène simple soumis à des lois moins compliquées, et un terrain avantageux sur lequel Fresnel se plaçait volontiers pour la vérification de sa théorie; a° qu'un second cas simple (on le réalise en armant les deux faces du cristal de plaques percées d'un très-petit trou et en onrant au trou d'entrée un cône convergent), est celui où les deux rayons intérieurs s'accompagnent. Nous savons trouver, à l'aide de la surface de Tonde et par des plans tangents, soit les rayons intérieurs subordonnés au premier cas , soit les extérieurs subordonnés au deuxième. 3ÎOUS avons appris également à obtenir par les ellipsoïdes , soit ces rayons intérieurs, soit les ondes correspondantes. Pour appliquer ce point de vue au deuxième cas, il suffit d'imaginer la section QOQ, {fig. 3i4) du deuxième ellipsoïde normale au rayon unique OQ', et ses deux triangles axiaux OQP, OQ, P,, de faire tourner de 90 degrés ces deux triangles dans leurs propres plans jusqu'à ce que leurs hypoténuses QO, QtO viennent coïncider avec la normale OQ'. Les deux cotés OP', OP", sont alors normaux à deux sections du premier ellipsoïde qui sont respectivement les positions des ondes excitatrices intérieures génératrices de nos deux rayons superposés. La direction de leurs vibrations est doutiée par un des axes de chacune de ces sections, à savoir ceux sur lesquels se projettent les hypoténuses OQ, OQi, ou, ce qui s^evient au même, ceux qui sont parallèles aux petits côtés Q'P', Q't P,. Qn voit donc que. déjà dans le deuxièuie cas simple, les vibrations des deui rayons associés ne sont plus rectangulaires. Que sera-ce

THÉORIE DE LA IKMJBIR UKFi\ ACTION. 55 I

donc dans le cas plus général d'une excitation extérieure quelconque?

Soit, en effet, une onde extérieure aboutissant, nous le savons , à deux rayons intérieurs distincts et à deux ondes intérieures non parallèles. Le plan normal à chaque rayon intérieur donne la section du deuxième ellipsoïde dont ce rayon utilise un axe. Cet axe est désigné par la longueur du rayon qui est la sienne. L'axe connu, on a le triangle QOP, et, partant, la section correspondante du premier ellipsoïde. Entre les deux opérations, il n'y a plus de sections communes, et nous avons eu raison d'avancer (§ 643) que le premier ellipsoïde aussi bien que le second intervenaient alors chacun par deux sections distinctes. Dans des conditions aussi compliquées, le point de vue des ellipsoïdes est bien inférieur à celui de la surface de l'onde et des plans tangents. Mais comme les ondes intérieures restent parallèles à ces plans tangents, on voit que la direction des vibrations non rectangulaires reste soumise à cette loi générale, d'être donnée par la projection sur les plans tangents, du ou des rayons vecteurs qui expriment les routes des rayons.

§ 666. — Exceptions à la règle qui donne la direction de la vibration.

La règle est en défaut toutes les fois que l'angle qOp est nul, et que le triangle ou le rayon vecteur se projettent sur un point. Comme le triangle QOP s'annihile en même temps que l'autre, on peut dire encore que les exceptions se produisent quand les deux points correspondants de la surface d'élasticité et de celle de l'onde se confondent. Cela arrive dans les biaxes , i° pour l'un des rayons, tout le long d'une des courbes d'intersection fournies par les plans coordonnés ; 2° pour les deux rayons le long des axes $ 3° comme nous le verrons plus loin, pour l'un des rayons de chacun des deux cônes de réfraction conique. Cela arrive dans les uniaxes , 1 ° au sommet de l'axe de révolution; i° tout le long de l'équateur; 3° tout le long de la nappe sphérique, c'està-dire constamment pour le rayon ordinaire. On se tire de.

55a CHAPITRE XXV

ces cas exceptionnels , en en appelant aux sections du premier ellipsoïde dont les axes restent, dans tous les cas, parallèles aux vibrations polarisées.

Considérons les sections du premier ellipsoïde qui passent par l'un des axes, OY par exemple. Elles ont pour axe le rayon vecteur de l'ellipse ZOX suivant lequel elles coupent le plan CQordonné ZX; le second axe leur est commun en direction et en grandeur, car sa direction est OT et sa

grandeur ? ; ce qui explique, en passant, ce cercle de rayon b

suivant lequel le plan des XZ coupe la surface de l'onde. Comme l'angle qQp, subordonné à l'axe inégal de ces sections, n'est pas nul, la vibration correspondante, c'est celle du rayon non ordinaire, se trouve donnée par projection , elle est contenue dans le plan ZX. L'autre est donc connue, puisque dirigée constamment suivant OY, qu'il s'agisse des cas simples ou du cas général, elle est perpendiculaire à la première. Aux sommets de la surface de l'onde, on se tire d'affaire de la même manière en considérant l'ellipse principale normale à l'axe d'élasticité correspondant, car elle assigne aux vibrations, pour directions, ses propres axes, qui ne sont autres que les deux autres axes d'élasticité.

Puisque 5 dans un cristal uniaxe, le premier ellipsoïde est de révolution, une section quelconque a pour axes l'intersection de son plan avec l'équateur et la projection sur son plan de l'axe de révolution. On se tirera de l'indétermination qui atteint constamment la vibration ordinaire, en s'appuyant, comme on vient de le faire, sur la vibration extraordinaire que la règle générale de projection met •dans le méridien, et lui rattachant l'ordinaire par la relation de perpendicularité. Les deux rayons sont-ils indéterminés et compris dans le plan de l'équateur, l'onde sera une des sections méridiennes toutes égales du premier ellipsoïde, elle donne, ainsi qu'on l'a annoncé (§ 432) , une vibration E normale au plan de l'équateur qui est alors plan ^'incidence, et une vibration O comprise dans ce plan.

Enfin sont-ils superposés le long de Taxe du cristal , la section subordonnée de l'ellipsoïde devenant son cercle équatorial , la vibration excitatrice n'est plus échangée contre deux vibrations orientées, et le rayon transmis reste naturel.

§ 657. — Plans de polarisation.

Comme le rayon OQ' est en général oblique sur la vibration P7 Q' (fig. 3o8et3i4)> il est impossible d'avoir un plan de polarisation à la fois perpendiculaire à la vibration et passant par le rayon. Si les rayons intérieurs étaient directement accessibles, peut-être trouverait-on préférable de définir plan de polarisation le plan mené par le rayon perpendiculairement au plan du triangle OP'Q'. Mais Fresnel remarquant que , dans nos expériences , nous ne jugeons de ces plans que par ceux de polarisation des rayons rendus h l'air, a choisi , même à l'intérieur des cristaux , un plan normal à la vibration , c'est-à-dire le plan mené par OP' normalement au triangle. Il remarque d'ailleurs que , dans les cristaux connus, ce plan diffère très-peu du précédent.

§ 658.— Relation des plans de polarisation des deux rayons associés par la double réfraction.

Avec la première définition , même pour le cas simple de l'onde excitatrice intérieure, les deux plans de polarisation des rayons congénères ne seraientpas rectangulaires , et leur angle, donné par une pyramide quadrangulaire OP'Q'rc Q', tri rectangulaire [fig- 3 15), surpasserait 90 degrés. La définition de Fresnel rend au contraire ces plans rectangulaires , mais ils ne le sont plus dans le deuxième cas simple, tandis qu'ils le seraient alors avec la première définition. Ces avantages partagés, qui se retrouveront dans d'autres circonstances , nous paraissent rendre difficile le choix entre les deux définitions, et nous font proposer de considérer indifféremment les deux sortes de plans. On conçoit d'ailleurs que, dans le cas général, et les uns et les autres perdent la rectangularité ; car ce cas utilise deux sections

du premier ellipsoïde distinctes, el faisant entre elles le même angle que les deux plans tangents à la surface de l'onde. La première section donnera deux triangles OP'Q', OP^Q',, dont un seul OP'Q', par exemple, servira. La deuxième donnera de même deux triangles Orc'K', Oit\ K'f dont un seul Ok\ K', servira. Pour que les vibrations P'Q', Tt\ rv, fussent rectangulaires, il faudrait que les deux vibrations homologues P'Q', ti'K' données par deux sections voisines, c'est-à-dire les axes de ces sections, fussent dans \u\ plan perpendiculaire à rc\ K't. Or si cela peut arriver pour certaines sections voisines, ce ne sera pas en général pour celles que nous amènent les plans tangents d'Huyghens. Que deviennent ces résultats chez les uniaxes? ISous venons de voir que , pour uue section quelconque du premier ellipsoïde, l'un des axes était dans l'équateur, et se trouvait perpendiculaire au plan formé par le second axe do la section et par Taxe de révolution de l'ellipsoïde. S'il s'agit du premier cas simple, le plan de ces deux dernières droites n'est autre que celui du triangle OPQ dont les deux côtés représentent, en pareil cas, les deux rayons réfractés. C'est ce plan qui, d'ailleurs, en qualité de sec lion principale du cristal, est le plan de polarisation du rayon ordinaire. Celui du rayon extraordinaire lui sera visiblement normal, quelle que soit celle des deux défini lions que l'on adopte. Le lecteur verra qu'il en est encore de même dans le deuxième cas simple. Il nous semble enfin que, dans le cas général, la rectangularité appartienne encore aux plans de polarisation de Fresnel, de sorte que la loi de Malus serait rigoureuse chez les uniaxes.

Les réfractions coniques.

§ 659. - Les deux réfractions coniques, l'interne et l'externe.

Il y a dans le plan des ZX perpendiculaire à Taxe moyen deux directions OC, OD (fig. 3 12), ou mieux deux couples de directions dont Frvsnel n'a pas connu toute l' importance.

L'une, caractéristique de la tangente C y commune anx

deux courbes , est celle de la normale OC déterminée par le point de contact du cercle. L'autre est celle du rayon vecteur OD déterminé par le point commun au cercle et à l'ellipse.

Fresnel vit bien que le plan tangent qui se projette suivant Cy, ne donnait qu'une .onde pour les deux rayons réfractés OC, Oy, mais il ne soupçonna pas que ce plan langent pût avoir, en dehors du plan des ZX, d'autres points de contact. Or, aujourd'hui , on sait que ce plan touche la surface suivant un cercle, et que le rayon incident se résout intérieurement en une infinité de rayons qui forment un cône oblique à base circulaire auquel succède , à la sortie du cristal , un cylindre creux d'autant plus large que le cristal est plus épais.

Faute d'avoir envisagé les choses dans l'espace, Fresnel se méprit également sur les phénomènes relatifs aux rayons vecteurs ombilicaux qui constituent pour lui res axes optiques du cristal. Il remarqua bien que les deux rayons qui suivent ces directions , issus il est vrai de rayons incidents différents, avaient la même vitesse et offraient ainsi t quoiqu'ils redevinssent distincts à la sortie, une incontestable analogie avec Taxe optique des uni axes. Mais il ne vit pas qu'au lieu de deux rayons, c'était une infinité de rayons , empruntés à autant d'incidents distincts dont deux seulement se trouvaient dans le plan des XZ, qui se résumaient ainsi dans la direction unique OD. Il ne vit pas qu'il y avait au point D une infinité de plans tangents dont les intersections TT', T,T,, T,T', ,..., avec la surface du cristal, conduisaient à autant d'incidents doués de la propriété de lancer un de leurs deux réfractés dans cette direction commune : qu'ainsi cette direction était telle, qu'un certain cône de rayons incidents se résumait dans le cristal en un seul rayon, lequel, à sa sortie, s'épanouissait de nouveau en cône.

Fresnel a donc ignoré, ou mieux n'a que très-imparfaitement connu les deux phénomènes aujourd'hui connus

sous les noms de réfraction conique interne et de réfraelion conique externe. La première décompose un rayon en une foule de rayons et ne leur accorde qu'une onde, normale aux droites OC , QCj dites axes de réfraction conique. La deuxième offre à une foule de rayons réfractés issus de divers incidents, pour direction commune, chacune des deux autres droites OD, OD4 dites axes optiques. Calculons ces directions ainsi que celle de la ligne Oy qui forme avec OC l'angle COy du cône oblique de réfraction conique interne.

§ 660. — Calcul de certains angles, situés dans le plan XOZ, à l'aide de la surface de Tonde.

jingle 9 des a,ces optiques avec Vaxe de plus grande élasticité. — On a : le cercle

.r2 -f- z1 = h\ l'ellipse

le rayon vecteur

on a pour les abscisses des points où il coupe les deux

courbes

pour l'équation qui exprimera que sa rencontre avec les deux courbes a lieu au même point

^2(û24-c,A2) = fl2c2(i -t- A2),

de sorte que la valeur de h propre au rayon vecteur < ommuu est

cingle 6' des axes de réfraction conique avec Vaxe de plus grande élasticité. — Tangente au cercle

\x'TL+-z'Z = b\

* l ' } x'7 -h zn == 6',

tangente à l'ellipse

équations qui expriment l'idefitité des deux tangentes

c'est-à-dire

Les équations

(3), (4) donnent

puis

d'où enfin

x' — Va>-*a

tang 0

Angle fff des lignes Oy avec Vaxe de plus grande élasticité. — Ayant j! z' , les équations (3), (4) donnent

£a„*ca ' « — £» a' — c>*

tangô=-=7Y^-^.

Soit 0 — ff=pt S"— 0 = p', et *> l'angle ff'—ff^p-hp', qui est l'angle maximum des génératrices du cône de la première réfraction conique, on a

__ tang ô — tang 0' __ sja* — b* <Jb7—c* ^ i -h tang 0 tang 0' ~~ ira -+- A2

,__ ao/bî—c2 sla%—b* tangp — tf,^,c,) + ja<r(aH f)'

tang» = tang(0" - 0') = j2 \Ja* - &> ifb^?.

Nous verrons plus loin (§663) une deuxième manière d'obtenir cet angle ta avec l'ellipse ZOX (PA XlF^fig. 3i6) du premier ellipsoïde.

On prévoit que les deux tangentes menées au point D ont

de l'importance. Nous verrons, en effet, qu'elles sont normales aux génératrices extrêmes du cône caractéristique de la réfraction conique externe (ce cône sera celui des normales aux ondes) et que leur angle sera l'analogue de celui des droites OC, Oy en réfraction conique interne. On calcule sans peine et les angles 0M Q\ qu'elles font avec OXet leur angle ù)4.

Coordonnées du point D,

*? = Px

angle 0t , caractéristique de la tangente au cercle,

xx c /a*—b7

angle Q\ , caractéristique de la tangente à l'ellipse ,

. a? x{ a là1 — b*

angle o>t = 0j — b\ ,

Ja2 — b% db* — c* ° ac

Cet angle tùx s'obtient encore en abaissant du centre O, sur la tangente DN à l'ellipse, une perpendiculaire ON. Car les angles DON et w, ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun.

§ 661. — L'axe de réfraction conique et l'axe optique sont les normales aux sections circulaires du premier et du deuxième ellipsoïde.

Pour établir l'existence de ces cônes et justifier le rôle que nous venons d'assigner aux droites précédentes , nous allons recourir à la considération des sections circulaires de nos deux ellipsoïdes.

Nous rappelons qu'un ellipsoïde

rt2.r2-f-£2j2-+- c2*2 = i

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 55g

admet en général deux séries de sections circulaires; que les deux cercles diamétraux passent , ainsi qu'on pouvait le

deviner, par Taxe moyen -r et sont inclinés symétriquement

sur le plan des XY, l'un à droite et l'autre à gauche, sous des angles supplémentaires qui ont pour tangentes (on peut le voir immédiatement (*) en cherchant dans le plan desZX

un rayon vecteur égal à Taxe moyen r ) =t \/jl

Les normales à ces sections circulaires, situées également dans le plan des ZX, ont donc pour tangentes caractéris-

tiques ± \/ TZTT*9 c'est"à-dire qu'elles coïncident avec

les axes de réfraction conique.

Mutatis mu tan dis, les normales aux sections circulaires du deuxième ellipsoïde se trouvent caractérisées par des angles ayant pour tangentes

et par conséquent se confondent avec les axes optiques.

Cette relation d'orthogonalité entre les sections circulaires des deux ellipsoïdes et les axes, soit optiques, soit de

( * ) Équation d'un rayon vecteur quelconque, g=zkx; coordonnées du point 011 il coupe la courbe ,

* = kx; longueur du rayon vecteur,

équation qui donne A , valeur de k ,

56d CHAPITRE XXV.

réfraction conique, nous fait -pressentir toute la clarté que va répandre sur ces deux phénomènes la considération dé ces sections.

Réfraction conique intérieure ou de première espèce.

§ 662. — Le cône des rayons de la première réfraction conique est à base circulaire oblique.

Soit une onde excitatrice intérieure coïncidente avec le plan Bq yB' d'une des sections circulaires du premier ellipsoïde (fig* 3 16), nous remarquons d'abord que chaque mouvement vibratoire, quelle que soit*a direction dans ce plan, se propagera sans déviation, ou, ce qui revient au même, sans dédoublement, parce que, par symétrie, la force consécutive à un déplacement quelconque se projette sur le déplacement, parce que, en d'autres termes, chaque diamètre est pour les sections circulaires une direction singulière. De plus, ces vibrations se propageront avec la même vitesse, car la vitesse est proportionnelle à la

réciproque t de ces diamètres tous égaux à Taxe moyen.

Mais si Tonde excitatrice n'engendre qu'une seule onde, les vibrations diversement orientées qui exceptionnellement la constituent, engendreront autant de rayons distincts. Menons, en effet, en un point q du cercle B</ B' le plan tangent, abaissons la perpendiculaire Op et formons les triangles Oqp, OPQ. Nous savons (§641) que la position du rayon réfracté, engendré par la vibration O^, s'obtient en faisant tourner le triangle OPQ dans son plan jusqu'à ce que OP coïncide avec la normale OCt à la section, et qu'alors la direction OQ' est celle du rayon. Or il est visible que les points Q', ainsi obtenus pour les diverses orientations de O*/, formeront une certaine courbe et que le rayon excitateur ( nous le supposons ici naturel (§ 669) ) se sera transformé en un certain cône réfracté.

Tous les Oq étant dans un même plan, et l'angle OPQ étant droit, cette courbe est plane et située dans un plan

parallèle à la section circulaire et distant d'elle de

OC, = — = b. Sa nature dépend de la loi de variation

des longueurs qp et de leur mode d'association angulaire. Prouvons qu'elle est un cercle.

Tous les plans tangents aux points q étant parallèles au diamètre conjugué de la section, leurs normales Op forment un plan perpendiculaire à ce diamètre conjugué. Soient/?,, p\ , . . « , les points où prolongées elles coupent la sphère de

rayon -r Au point B, sur Taxe moyen , la quantité variable

qp est nulle, et le rayon réfracté OQ0 correspondant n'est autre que la normale OC, (on se rappelle en effet qu'aux extrémités des axes , les normales aux plans tangents coïncident avec les rayons vecteurs). À partir de là qp grandit avec l'angle BOy, atteint son maximum quand BOç= go°, et redevient nul à 180 degrés. Soit ol cet angle BO^; le triangle sphérique OBqpt rectangle en O7, dans lequel, outre la face B oq = a , on connaît le dièdre ptOBq = P4OQi (nous allons voir qu'il n'est autre que l'angle a> du§ 660),

donnera

tang/?, Oq = tang &> sin at .

Dans le triangle rectiligne QOP, on connaît alors, outre l'angle POQ, le côté OP = i; on a donc

PQ= b tang usina,

quantité dont le maximum Pt Qt vaut b tang w.

La rotation par laquelle les lignes PQ,..., sont amenées dans un plan parallèle à celui de la section circulaire, les laisse assemblées sous les mêmes angles que les diamètres correspondants de la section circulaire. Il en résulte que le problème est le suivant. Ayant (fig. 317) la ligne

P,Q, = 6 tangto,

si du point Pj on mène une foule de lignes divergentes Pt Q' qui, pour P angle a! = 90 — a, aient la longueur b tang <ù cos a, quel est le lieu de leurs extrémités P C'est II. 36

562 CUAPITM XKV

évidemment une circonférence <le cercle dont Pt Qt est le diamètre, et comme les points Q' sont, et sur la surface de Tonde et sur le plan P4 Qi Q' qui lui est tangent, il s'ensuit que le contact a lieu suivant un cercle.

§ 663. — On trouve l'angle de ses deux génératrices principales et sa deuxième base circulaire.

Le cône des rayons réfractés engendrés par Tonde plane excitatrice OByB'est donc un cône oblique à base circulaire tel, que la génératrice OCi , issue de tous les triangles OPtQt, OPQ,..., et égale àOP„ OP,..., soit perpendiculaire au plan de la base. Le diamètre Ci C, = P, Q4 de cette base, et par suite Touverture w du cône, s'obtiennent aisément au point de vue actuel , car on trouve Tangle w dans le plan des ZX, entre le rayon vecteur Oy égal à Taxe moyen i du premier ellipsoïde et la normale O7' à la tangente du point y. Or on a (§ 661 , note) pour Tangle de ce rayon vecteur,

La normale aura pour coefficient angulaire

et Ton trouve

tang w = ^ s/a'X b* \/£2— c\

valeur qui ne diffère pas de celle que nous avaient donnée les deux intersections de la surface de l'onde par le plan des ZX (§ 660). Nous renvoyons au tableau V du § 695 pour les résultats numériques.

Deux remarques. 1*. Ayant pris la section circulaire qui fait avec OX un angle aigu , nous nous trouvons avoir construit le cône subordonné k Taxe de réfraction conique OC' (fig. 3 12) qui est situé dans le plan des ZX. Nous avons rétabli sur là fig» 3 16 les deux courbes d'intersection de la

surface de Toude, que P, Q, relevé touche en Cj,C', . 2°. Le cônequeferment, au point de vue précédent, les lignes PQ, est également fermé, mais plus loin du sommet, par les lignes qp\ on pourrait donc vouloir le caractériser par la courbe que les points p forment après la rotation dans l'espace. Cette courbe, on le verra sans peine, est plane, parallèle au plan By?/ des normales et par conséquent perpendiculaire à l'autre génératrice extrême OC', , ce qui permet de conclure qu'elle est aussi circulaire, et qu'elle forme la seconde des deux sections circulaires de notre cône oblique. Ce dernier résultat se tire encore de ce que les points p, qui sont déjà dans un plan normal à 0/ relevé, sont aussi, à cause des angles en p droits, sur une sphère ayant pour

diamètre Oy = -•

§ 664. — Flans de polarisation des divers rayons du cône.

Pendant que la vibration parcourt la section circulaire, les rayons réfractés couvrent deux fois la surface du cône. Deux vibrations rectangulaires Oq\ Oq" restent rectangulaires sur le plan de Fonde réfractée unique. Mais comme ces vibrations 9 au lieu de se couper au centre de la base du cône, passent par un point de sa circonférence , les deux rayons correspondants sont diamétralement opposés dans le cône. Ainsi les plans de polarisation, définis à la manière de Fresnel , de chaque couplé de rayons opposés dans le cône, sont rectangulaires. Ainsi encore, l'angle compris entre les plans de polarisation de deux rayons quelconques OQ', OQwest moitié de celui que comprennent les deux lignes SQ', SQ'"qui joignent au centre S les points de contact Q', Qw, caractéristiques de ces rayons. C'est au reste ce qu'indique la règle qui consiste à projeter sur le plan de Tonde la direction du rayon ; car cette règle ne laissant indéterminée que la vibration du rayon 0Ct normal au plan de Tonde, est applicable à deux rayons quelconques. Quant au rayon 0Ct , l'exception a la même cause qu'au § 656, et Ton s'en tire de même.

5<>4 CI1AIMTRB XXV.

Réfraction conique extérieure ou de deuxième espèce.

§ 665. — Le cône des normales de la deuxième réfraction conique est à base circulaire oblique.

Nous avons vu qu'en menant une perpendiculaire a une section du deuxième ellipsoïde, et en prenant sur elle deux points à deux distances marquées par les longueurs mêmes des axes , on obtenait les deux points de la surface de Tonde caractéristiques des deux rayons qui suivent cette normale. Les ondes de ces deux rayons ne sont point parallèles; on peut les obtenir de deux manières : i° si la surface de Tondeest construite, il suffit de lui mener par ces deux points des plans tangents; 2° aux extrémités des axes de la section du deuxième ellipsoïde menez des plans tangents, du centre abaissez les normales, ces normales déterminent avec les axes deux triangles OQP, OQjPt (fig. 3i4) rectangles en P, Pi; faites-les tourner dans leur plan jusqu'à ce que les hypoténuses soient normales à la section, alors les deux côtés OP, OPj devenus OP', OP, sont les normales aux deux ondes polarisées intérieures. P'Q', F, Q, devenus, par la rotation, parallèles à OP, OPM en sont les vibrations.

Que la section de ce deuxième ellipsoïde en soit une section circulaire B^^B» (fig- 3i8), on portera sur la normale tous les rayons égaux de la section , et chacun deux introduira un triangle OQP, car, pour chacun, ou mènera au sommet un plan tangent, et sur chaque plan tangent une perpendiculaire. Après la rotation, ces perpendiculaires aux ondes excitatrices formeront un cône dont il faut étudier la nature. Il semblerait qu'un autre cône dût être formé par les vibrations PQ, mais nous allons prouver que toutes ces lignes sont dans un même plan , et que dans ce plan le lieu géométrique des extrémités P est un cercle.

En effet, pour des motifs déjà donnés de parallélisme à une certaine droite diamètre conjugué , tous les points P sont dans un même plan normal à tous nos plans tangents.

THÉORIE DE LX DOUBLE KCl'R ACTION. 565

Mais les angles en P, Pt ,.••? étant droits et la rotation des triangles étant de 90 degrés , les côtés PQ , P4 Qt v . . , sont , ainsi qu'on vient de l'annoncer, devenus parallèles aux lignes OP, OP] , . . . : donc ils forment dans l'espace un plan parallèle au plan des points P, P, ,... , c'est-à-dire au plan BiPcî' de la» 3i8.

Les deux rayons OB,, OB', de la section circulaire donnent des triangles nuls; pour eux , OP coïncide avec OQ, et la normale à la section circulaire se trouve être une des génératrices du cône de nos normales. A partir de ces positions, le côté PQdu triangle grandit, il atteint son maximum avec le rayon Od situé dans le plan des XZ. Pour avoir la courbe formée par leurs extrémités, calculons d'abord ce maximum.

Comme, ici, l'ellipse d'intersection du deuxième ellipsoïde avec le plan des ZX est la même ( l'orientation seule diffère) que celle fournie dans ce plan par la surface de l'onde, il est tout prouvé que l'angle d'O d de la section circulaire et du plan BtPJ' n'est autre que l'angle w, du § 660. Soit de plus 90 — a. l'angle de position Bj OQ du rayon quelconque OQ, et enfin Bj^ le grand cercle suivant lequel la sphère de rayon b est coupée par le plan des normales OP, le triangle sphérique 7rO Bi Q donne

tang ir OQ = tang «,cosa^ mais ou n'a plus

PQ = b tang w( cos a ,

attendu que c'est en P et non en Q que le triangle POQ est rectangle. Sans insister sur la démonstration analytique moins facile de celte circularité, et sans recourir à d'autres triangles OQ^ rectangles en Q, nous établirons la circularité de la base du cène, formée par les droites PQ et parallèle à la section circulaire du deuxième ellipsoïde, par cette* considération géométrique déjà invoquée, que les points P appartiennent à une sphère construite sur OQ (devenu ODt) comme diamètre.

Nous obtenons ainsi le cône des normales aux ondes in-

térieures, tandis que l'expérience nous donnera le cène des rayons extérieurs générateurs de ces ondes intérieures. Comme nous savons passer graphiquement des onde» intérieures aux rayons extérieurs , comme d'ailleurs l'ouverture de ce cône extérieur, qui n'est plus du deuxième, mais du quatrième degré , dépend de l'obliquité de la face de démarcation du. cristal, on conçoit que nous nous bornions au cône des normales intérieures. Voir plus loin les valeurs numériques.

§ 666. —Études à faire sur la surface d'élasticité à deux nappes. — Résultats probables.

Le point de vue des ellipsoïdes nous révèle donc, entre les deux réfractions coniques, un parallélisme remarquable. Ce qu'est la réfraction conique interne par rapport au premier ellipsoïde, la réfraction conique externe Test par rapport au second. Les deux sections circulaires de chaque cône oblique sont respectivement parallèles à Tune des sections circulaires de l'ellipsoïde correspondant et au plan normal à son diamètre conjugué. Si la surface de Tonde , au lieu de cette vive analogie des deux phénomènes, n'a manifesté, pour ainsi dire, entre eux que des relations de voisinage, cela tient à ce que nous avions le tort de la considérer isolément et de laisser de côté la surface d'élasticité à deux nappes. Construites à l'instar l'une de l'autre et par le même procédé, il semble que ces deux surfaces doivent offrir les mêmes accidents. Ainsi la surface d'élasticité posséderait, comme celle de Tonde, des ombilics (*), et ses rayons ombilicaux, situés dans le plan desZX, ne seraient autres que les normales aux sections circulaires du premier ellipsoïde. Si la deuxième réfraction conique se fait suivant

(*) Nous engageons le lecteur à tenter par la discussion de l'équation (§ 658) la vérification de cette assertion. En effet, pour cette surface, les normales sont prises réciproques et non égales aux axes de la section. De celle différence qui amène et le sixième degré au lieu du quatrième, ci de» intersections avec les plans coordonnés non résolubles en courbes du deuxième degré, pourraient bien découler d'autres divergences imprévues.

le rayon ombilical de la surface de Fonde , la première aurait Heu suivant le rayon ombilical de la surface d'élasticité. Si, d'un côté, le premier est U route commune aux rayons innombrables qui, superposés, parcourent exceptionnellement le cristal arec une vitesse indépendante du sens de la vibration, le deuxième serait à son tour la normale commune à ces ondes planes innombrables qui , douées exceptionnellement d'une vitesse indépendante de leur plan de polarisation, ne se séparent pas au sein du cristal. A ce point de vue, ces surfaces rendraient aussi flagrant que les ellipsoïdes, le parallélisme des deux réfractions coniques. L'angle p (§ 660) de ces rayons ombilicaux qui sont, l'un Taxe optique et l'autre Taxe de réfraction conique, est ici celui des sections circulaires. En partant des valeurs données pour les sections , on retrouve

lang o = -î 1-

Ou obtient ainsi pour quelques cristaux

Ârragonite 0.53.29 0.69.0

Topaze o. 8.a5 o.i5.36

Baryte sulfatée 0.7.11 o. 8. 3

Pour que le langage reflétât ces analogies, on devrait abandonner le nom d'axes optiques et le remplacer par celui d'axes de réfraction conique externe. Cela serait d'autant plus opportun , que les auteurs ne sont pas d'accord sur celle des deux lignes OD , OC qui doit être nommée axe optique. Ainsi tandis que Fresnel , après hésitation , adopte OD, Lloyd , a inspirant sans doute de ce que les lignes OC, OC, sont, plutôt que OD , ODt, le centre de phénomènes réalisables* et répondent au cas si simple de Tonde excita* trice intérieure, préfère OC. H y a plus: il conviendrait même de répudier le mot d'axe, puisque ces prétendus axes, au lieu d'être à l'intérieur des cônes . en sont une certaine.

génératrice, à savoir la génératrice normale au plan de celle des deux bases circulaires obliques qui est parallèle à la section circulaire de l'ellipsoïde correspondant, puisque enfin , à ce point de vue , il est une autre génératrice principale perpendiculaire à l'autre base circulaire et dune égale importance.

§ 667.— Axes principal, — secondaire, — tertiaire.

Les axes de réfraction conique, aussi bien que les axes optiques, ont pour bissectrices les deux axes extrêmes d'élasticité. L'axe d'élasticité le plus rapproché des axes de réfraction conique est dit ligne moyenne ou intermédiaire, ou encore axe principal, le plus éloigné s'appelle axe secondaire ou ligne supplémentaire; à ce point de vue le troisième, c'est-à-dire l'axe moyen, s'appelle quelquefois axe tertiaire. La ligne moyenne est surtout importante, parce que , si le cristal est taillé perpendiculairement à sa direction, et si les axes ne sont pas trop écartés, il donne ces phénomènes signalés (§ 195) qui servent de guide pour découvrir les directions des axes d'élasticité. Suivant que

c* < •> . i? j i (grande., ... — — ti^ i , c est 1 axe de plus \ ° . élasticité qui est a7— £*> 7 r /petite ^

ligne moyenne. On pourrait tout aussi bien asseoir la définition de la ligne moyenne sur la considération des axes optiques, mais on arriverait ainsi aux inégalités moins

simples - i/i — lî^1, C'est donc là un motif de préférence pour les axes de réfractipn conique, mais ce n'est pas le seul. En effet, ce que l'œil, et surtout notre œil type infiniment presbyte , associe dans les phénomènes , ce sont les rayons parallèles de la première et nullement les rayons divergents de la deuxième réfraction conique. En matière d'interférences, les directions de retard nul autour desquelles se groupent les lignes isochromatiques, seront celles où la double réfraction ne donne qu'une onde. On doit donc s'attendre à ce que les lignes OC et non les lignes OD soient

THÉORIE DR LA DOUBLE RÉFRACTION. 56g

le centre des phénomènes les plus accessibles, et Ton ne sera pas surpris de voir figurer dans les tableaux du § 695 , au lieu des angles 2- 0 , les a 0'.

§ 668. — Plans de polarisation des diverses ondes du cône.

Chacun des rayons confondus dans la direction commune OD (fig'5 1 2) étant l'un des deux rayons engendrés par une certaine onde plane, sera polarisé, et sa vibration aura pour direction celle du petit côté du triangle devenu corde de la base circulaire du cône. On retrouve donc ici les mêmes particularités que précédemment : ainsi les vibrations de deux rayons opposés sur le cône sont à angle droit, et F angle des deux vibrations ou des deux plans de polarisation d'un couple quelconque des rayons du cône est moitié de l'angle que comprennent les deux plans déterminés par ces rayons et par Taxe oblique du cône. Ici enfin la direction des vibrations caractéristiques des rayons (hormis pour un seul) s'obtiendrait en projetant sur les divers plans tangents le rayon ombilical.

§ 669.— Théorème de M. Béer.

Il semble au premier abord que l'emploi d'une lumière naturelle soit indispensable. Cependant M. Béer a obtenu la première réfraction conique avec un rayon polarisé. Comment une vibration orientée peut-elle se résoudre en une foule de vibrations douées de toutes les orientations? Rien de plus simple.

Soit n vibrations polarisées successives ayant ÀB pour direction (fig. 3 19) •, prenons, d'un côté de AB, n — 1 directions 0 1 , O2, 03,. . . , angulairement équidistantes et faisant entre elles des angles égaux à > et, de l'autre côté,

v ni

n — 1 directions rectangulaires aux précédentes, etfaisanldès

lors avec AB les angles ■» 9 • • *\ lais*

sons une vibration intacte sur AB, et décomposons les

autres en n — 1 couples de vibrations rectangulaires qui

it 1^

auront pour amplitude, celles de gauche cos — , cos — »•• • *

(n — i)ir lf . , . n — .1 n — 1

cos- — 9 et celles de droite cos tc, cos rc,...,

m m in

cos — > n pouvant être aussi grand que Ton veut : il s'ensuit

qu'une vibration polarisée dans un certain azimut équivaut à une foule de vibrations polarisées avec continuité dans tous les azimuts, et se dégradant depuis un maximum situé dans le plan de polarisation jusqu'à nne valeur nulle située à 90 degrés.

Si cette singulière équivalence ne peut en général se produire, il n'en est plus de même quand, au lieu de se résoudre en deux rayons, le rayon incident donne une foule de rayons groupés coniquement. Mais comme les vibrations inégales qui émanent du centre de la section circulaire font deux fois le tour de la base du cène, il en résulte qu'au lieu d'avoir deux rayons d'éclat nul dans les azimuts 90 degrés, on n'a qu'un rayon nul à 180 degrés du diamètre du cône parallèle à la vibration. Avec une lumière naturelle, le cône est uniformément éclairé; mais comme les rayons qui sont opposés dans le cône ont une polarisation rectangulaire , si Ton regarde ce cône a travers une tourmaline dont Taxe soit parallèle à la direction AB, il prend, comme le remarque à bon droit M. Béer, le même aspect que le cône fourni par un rayon polarisé.

Quoique la seconde réfraction conique soit engendrée , non plus par un seul rayon extérieur, mais par le concours de plusieurs; quoique les diverses vibrations qu'elle met en jeu proviennent d'ondes planes innombrables, soit intérieures, soit extérieures; cependant, comme ces diverses vibrations sont après tout comprises dans un seul et même plan oblique sur le rayon ombilical, on conçoit que les phénomènes obtenus avec la lumière et naturelle et polarisée, aient entre eux les mêmes ressemblances cl les mêmes dissemblances que dans le eas précédent.

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. f)?!

§ 670. — Expériences sur la réfraction conique extérieure.

Ayez une arragonite terminée par deux faces polies qui soient, par exemple, perpendiculaires à l'axe principal. Couvrez sa face antérieure d'une plaque percée d'un trou très-fin auquel vous offrirez, à Paide d'une lentille, un cône plein de lumière incidente ( fig. 3ao). Pour pouvoir amener Taxe horizontal Je ce cône dans les parages d'un des axes optiques, le cristal aura deux mouvements de rotation, l'un dans son propre plan pour amener cet axe optique dans un plan horizontal, et l'autre autour d'un axe vertical pour changer l'incidence dans le plan XZ. Quand on sera ainsi arrivé à ce que le cône extérieur creux e.Of qui se résume dans le rayon ombilical OD. fasse partie du cône plein, sa réfraction conique intérieure sera réalisée, et Ton aura, à la sortie, l'ensemble d'un cône plein ayant son sommet en un certain point S (*) intérieur au cristal et d'un cône creux qui l'aura sur la surface de sortie.

Il est utile de les remanier par une lentille d'un court foyer qui rassemble les rayons étrangers en <7 et ceux du cône creux en 3. Les premiers en reçoivent une grande divergence , et deviennent insensibles sur un écran un peu éloigné. Pour les derniers, l'éparpillement n'a lieu que dans un sens sur un contour circulaire de plus en plus grand, et est bien moins actif.

Avec une arragonite de 1 1 millimètres sensiblement nor-

I m ni

maie à F un des axes optiques, armée d'un trou de — » et

sertie dans un liège de manière à mettre sur le trajet intérieur une de ses rares directions pure et préservée de macles , j'obtiens un beau cercle, polarisé comme il convient.

( * ) La distance SD dépend de l'épaisseur s, de l'incidence i , et Tarie dès lors pour les divers rayons du cône. Comme ici le cône, quoique surabondamment ouvert, ne Test pas extrêmement, on peut admettre que tous les rayons étrangers ont le même foyer virtuel S, et que sa distance à la face de

sortie ^'éloigne peu du maximum -= £.o,5q que donnent les faibles inci-

d onces.

L'épaisseur notable de ce cercle tient en partie à ce que le phénomène est l'association d'autant de phénomènes élémentaires îdenliques qu'il y a de points dans le trou.

L'œil peut intervenir directement : sans la lentille L' sa place serait contre la face de sortie, de manière à faire se rencontrer virtuellement dans l'œil les rayons le plus tôt possible, et à obtenir sur la rétine la courbe la plus grande possible. On accroît cette courbe à l'aide d'une lentille, car i° (fi g- 32 1) si elle est plus loin du sommet D que le double de son foyer, le cône qu'elle donne est plus ouvert, car 20 l'œil a plus de facilité pour se mettre au nouveau sommet 3 et empiéter au besoin sur lui. En recevant sur la lentille antérieure L tour à tour les cônes dus aux diverses portions d'un spectre, on voit les divers cônes diversicolores. Ceux des couleurs les moius vives sont très-beaux.

On peut, avec M. Lissa jous, obtenir une élimination radicale des rayons étrangers , fondée sur la diversité des positions focales conjuguées <j et d que fournit la lentille L'. Il suffit en effet de mettre en 3 une plaque percée d'un petit trou. Le cône creux passera seul, sou angle si faible aura bien pu être amoindri, on y remédiera par une autre lentille placée assez loin de d.

L'expérience serait assurément pi us piquante si la seconde face était également armée d'une plaque percée d'un trou pareil à celui d'entrée. L'élimination de rayons obliques qui, cheminant à côté du rayon ombilical, donnent leurs rayons sensiblement sur le cercle, y serait plus parfaite et d'autant plus parfaite, que la pierre serait plus épaisse. Mais la place à donner à ce second trou réclamerait quelques tâtonnements. Lloyd, qui , sur les indications d'Hamilton, a le premier réalisé les réfractions coniques, alignait sur la face de sortie et dans le plan des axes optiques une fente étroite-, le cône incident donne à travers elle une ligne droite, formée par la superposition des deux sortes de rayons qui suivent, on le sait, dans ce plan principal, la première loi de Descartes. Cette ligne (fig- 322) s'ou\reen cercle dans la direction privilégiée.

THÉORIE DE I.A DOUBLE RÉFRACTION. 5j$

§ 671. — Expériences sur la réfraction conique intérieure.

Il faut n'offrir au cristal de rayons que dans une seule direction. Je place au porte-lumière une plaque percée d'un petit trou, ou bien, car cela réussit également, une lentille d'un court foyer. A une distance de plusieurs mètres, vient le cristal ayant toujours sa face antérieure munie de la plaque au trou fin. A moins de cristaux très-épais, le cylindre est si étroit (e tang i0,5a = orara,4a pour le cristal de 12 millimètres), qu'il faut, pour l'apercevoir, le convertir en cône. C'est ce que fera la lentille L' qui doit rester. Si Ton voulait l'agrandir sans lui enlever la forme cylindrique, il suffirait de disposer une seconde lentille comme on le voit (,ftg- 3a3). La lentille L'est indispensable quand on veut recevoir le phénomène sur la rétine. Car un œil infiniment presbyte condenserait tout le cylindre en un point.

La proximité des deux réfractions coniques est cause que quand les choses sont disposées pour l'autre, celle-ci se produit en même temps parce que le cône incident se trouve comprendre le rayon qui lui suffit. On séparerait le cylindre du cône en éloignant simplement la lentille L', car bientôt elle sera trop étroite pour le cône agrandi , et elle ne sera accessible qu'au cylindre. Ayez un carton annexé à cette lentille el emporté par elle de manière à maintenir constante leur distance- la réfraction conique interne se reconnaîtra à ce que, pour elle seule, les dimensions du cercle projeté restent invariables quand la lentille s'éloigne plus ou moins du cristal .

Nous nous proposons maintenant de chercher les relations qui, dans certains cas , existent entre les vitesses des ondes ou des rayons , les directions des vibrations ou des plans de polarisation, et les axes soit optiques, soit de réfraction conique. La facilité avec laquelle on trouve ces directions, les liens iutimes qui les rattachent aux axes d'élasticité, justifient ces nouvelles études, qui ont d'ailleurs l'avantage d'aboutir à des lois très-simples.

ARTICLE IV

LES THÉORÈMES SUR LES VITESSES ET LEUR APPLICATION AU CALCUL APPROXIMATIF DES COURBES ISOCHROMATIQUES.

Théorèmes sur les vitesses des ondes parallèles et des rayons superposés intérieurement.— Expressions des vitesses , de leurs sommes, et de leurs produits. — Théorème sur les plans de polarisation. — Le rayon ordinaire chez les biaxes. — Biaxea positifs, négatifs et neutres — Rapports des deux rayons avec les deux nappes de la surface de Tonde. — Comment le plan de polarisation d'un même rayon bissecte, tantôt le dièdre aigu et tantôt le dièdre obtus de Biot. — Comment les phénomènes d'interférence sont en général en dehors des théorèmes sur les vitesses. — Calcul du retard sur les ondes ; — sur les rayons. — Équation générale des lignes isochromatiques pour un cristal à faces parallèles. — Équations des lemniscates , obtenues par une méthode évasire et approximative. — Calcul des hyperboles.— Cas où la lame est oblique sur Taxe principal.— Caaov elle est normale à l'un des axes de réfraction conique. — Expérience de M. H. Soleil.— Equations des franges qu'elle donne.— Elles sont sensiblement rectilignes.— Cas où elles s'évanouissent.