Théorème sur les vitesses des ondes. Dans l'équation

cos2 / COS2 /H COS2/? ■ ^ ,

de la surface d'élasticité à deux nappes, les deux valeurs V'% V"% obtenues pour chaque direction /, m, n, sont les carrés des vitesses de deux ondes planes parallèles excitées par Tonde i n térieure. La somme \T/1+ V/,f, égale au coefficient de — V* dans l'équation bicarrée, vaut

(b3 -r- c») cos2/ -+- {à1 -r- c2) cos2 m -+- (a5 H- b*) cos2 n\

on a de même , pour leur produit,

V" V'"= b*c* cos7/ -f- a7 c1 cos7 m -f- à1 b* cos2 n.

Si Ton ne garde que les deux angles /, /i, à l'aide de la relation

cos2 m = i — cos2 / — cos2 n,

ces équations deviennent

(i) V'2 -h V"2 = «* -f- c2 — (*2 b') cos2/-r- (b> - c2) cos2«, (a) V'2 V"2 = a ' r2 — c2 (a2— b>) cos2 / -f- a> ( b> — r2) cos2 n ,

Or il est visible qu'au lieu de caractériser la direction commune aux trois ondes par les trois angles /, ni, n (dont deux seuls arbitraires) que leur normale fait avec les trois axes d'élasticité, on peut avoir recours aux deux angles *, t' qu'elle fait avec les deux axes de réfraction conique intérieure, et obtenir les deux vitesses en fonction de t , t! .

Pour cela il suffit de trouver l'expression de /, n en t, t! et de les substituer dans l'équation bicarrée.

Les axes de réfraction conique font, avec les trois axes d'élasticité, les angles, a = &, S = 90 , y = 90 — ff pour l'un, eta = 180 — ff, c = 90, 7 = — (go — &) pour Vautre ; et l'on a

tin^'=\/^zi (§660)-

On en lire

V a2 — c2 La formule du cosinus de Tanglcde deux droites donne alors

cos 0'= l / ~- -> sin 0':

cost

= 1/ -r ~ , cos / H- 1/ , cos n ,

cos, = y/£^cos/+y/

— ■ cos «•

Ces deux équations résolues par rapport à cos /, cos /?, donnent

cos t — cos r

cos t -+- cos ?

cos n = ■ 1

remplaçant dans les équations (1), (2), il vient

V'*-|-VW2=/ia-*- c2— 7(<i2— c2) (cos* — cos*')2

-4- - ( «2 — c2) (cos / + cos t'y = «2 -+- c2 ■+- (a2— c2) cos r cos *',

et

V/*V"»= a* ca * ^ (at __ cî) (co$ f — COSf')2