c3) (a'H-c3) cos/cos
d'où, pour V'*, V", deux valeurs affectées d'un radical qui, par des réductions considérables et des transformations évidentes, s'extrait et devient
- (*2— c2) sin/ sin r';
on a donc
V'2— \"2 = (*2— c2) sin f sin f\
V'2 = i (a2 4 c2) -h - (a2— c2)cos (i — O»
V"2= I (a2 + c2 ) -h - ( û2- c2 ) cos ( t -f- f ) *
ou encore
V'2= û2— fa2— c2) sin2 ,
V"2= a2— (a2— c2) sin2 ^ti. .
La première de ces formules constitue une loi remarquable facile à énoncer.
§ 673. — Discussion. — Cas des uniaxes.
Quand le rayon est compris dans le plan des YZ , on a
tz=t'9 V'2=a2, V"2=*2— (a2 — c*)sin2f.
Est-il dans le plan XY, t, tf font chacun partie d'un triangle sphérique , où Ton connaît un angle et deux faces, à savoir (en appelant a l'angle que fait le rayon avec OX) : pour t les faces ff, a avec l'angle compris 90 degrés, et pour f7 le même dièdre 90 degrés, et les faces 180 — ffy a 5 il en ré-
suite par la trigonométrie sphérique
cos t = cos 0' cos a , cos f= — cos 0' cos a , d'où
1 f = sin f* = ^1 — cos1
sin t = sin r = y 1 — cos* w cos2 a
et
cos (t — ? ) = 1 — 2 COS2 0' cos2 a ,
cos(f-+-t') = — I, et enfin
V"2== c2, V'2= û2— (a2— c2) cos2 9' cos2 a = a2— (a2— £2) cos2 a ;
Enfin , quand le rayon est contenu dans le plan ZX, caractérisons sa position par l'angle ë, que fait la normale à Tonde avec Taxe OX, on aura, suivant que S est £ que 0', tantôt
et )par conséquent
V'2 = a2— ( ri2— c2 ) cos2 0'= b\
V"2 = û2— (a2— c2)cos26,
tantôt
*= 6—0', r' = i8o — 0'— €, et par conséquent .
V'2 = a2— (a2 — c2) cos2 6 ,
V"2 = à1 — (a2 — c2) cos2 0' = b2 ;
de sorte que les deux ondes, après avoir eu exclusivement et tour à tour, dans chacun des deux premiers plans , Tune le cercle et l'autre l'ellipse , se partagent ces deux courbes dans le troisième. Ce qu'il était facile de prévoir d'après cette simple remarque, que les deux rayons ayant les mêmes droits, ils devaient jouir également de la loi des sinus, toute leur différence consistant à en jouir plus ou moins longtemps dans ce troisième plan, suivant les valeurs dé a^ b, c. Cette discussion prépare l'importante question de la séparation des deux nappes et nous indique déjà qu'ici, comme chez les uniaxes, Tune sera enveloppante et l'autre enveloppée, circonstance géométrique dont nous tirerons plus loin parti (§ 677).
