II

Quand le cristal esl uniaxe ,les deux axes optiques se confondent, suivant qu'on a b = c ou b = a, soit avec Taxe a, soit avec Taxe c. Choisissons la première hypothèse en vue de la notation du chapitre M ; alors les deux axes de réfraction conique font entre eux, comme les. axes optiques, un angle de 180 degrés , tett1 sont supplémentaires, et les expressions précédentes deviennent

V'+V"2 = (a2 -h £2) — (a* — £2)cos2 /=r<i2 sin2 /+ £2(i + cos2 /), V'2— V"2 = ( a2— b7) sin2 r,

V'2 V"2= *2 é2— £2 (a2— A») cos2 f,

y = *2— («2 — £2) cos2 f = £2+ (a2— b*) sin* r, V"2 = b\

Les valeurs générales de V'8, V"*, sous leur dernière forme, donnent approximativement, quand ou considère le dernier terme comme petit vis-à-vis du premier ,

(a2— *')sin2-(f — t')

(fl» c') sin2 !(/ + *') la

et par suite

y+V" = 2«-- (sin2- --f-sin2 — — 1,

expression qui varie peu chez les cristaux connus. Comme nous aurons occasion, par la suite, d'invoquer la quasiconstance de celte somme, ainsi que celle du produit V V, il convient ici de donner pour le spath, cristal excessif, et pour le quartz les valeurs numériques de cette partie variable. Chez les uniaxes , V-h V" devient

26 H $iQ*f.

ib

Pour le spath, le rapport de la partie variable au ternir con-

THÉORIE t)E LA DOUBLE RÉFRACTION. 5jg

Stant a pour valeur maximum 0,06 1 $ pour le quartz, 011 trouve 0,0039. Chez ces cristaux, le produit V'V" prend la forme également approximative

ab la*— b') cos2*;

et le terme variable y est limité à une Fraction du terme constant exprimée pour le spath par 0,0662 et pour le quartz par 0,00798.

§ 674. — Théorème sur les vitesses des rayons superposés.

Tandis que, sur chaque rayon vecteur de la surface d'élasticité, on trouve deux points qui déterminent les deux ondes planes parallèles excitées par une onde intérieure normale au rayon vecteur, de même, sur tout rayon vecteur déjà surface de Tonde, on trouve deux points détermina*teurs de deux rayons réfractés qui s'accompagnent intérieurement. Le premier de ces deux cas est lié , au premier ellipsoïde, à la surface d'élasticité et aux axes de réfraction conique, comme le second l'est, au deuxième ellipsoïde, a la surface de Tonde et aux axes optiques. Il en résulte la pos-~ sibilité d'accommoder sans calcul , et par un simple muta* tis mutandis , les théorèmes de Tun des cas à l'autre. Cette méthode, à laquelle nous devons déjà l'équation de la surface de Tonde, va nous donner les théorèmes suivants»

Soient L, M, N une direction intérieure commune à deux rayons, T, T les angles de cette direction avec les axes optiques*, au lieu de reprendre les précédents calculs avec la surface de Tonde

<i2 cos2 L b* cos2 M c2 cos» N

W2— a* + W*-é>2 + W2— c2 ~~ ° et la relation

A ,a Ib*—c* tangô^dz-y/^,

nous remplaçons dans les expressions finales de V/f , V71 et dans leurs relations diverses. «, c par -> -; V'% V7* par — f*

58o CHAPITRE XXV

r^', /, i par T, T*, ce qui donne

w7? = " —T~7 TT cos (T — T ) = —-\ — - sina ,

a>— c2 . T + T' sin' 1

w7^ "" vF = \7 ~~ ? ) sin T sin r = t71"""" *'*) sin T $in r'

c'est-à-dire que la différence des carrés des récipro ques des ^vitesses des deux rayons lumineux de même direction est proportionnelle au produit des sinus des angles que fait cette direction commune avec les axes optiques , et que le quotient de cette différence par ce produit est égal à la différence des carrés des indices de plus grande et de moindre réfraction.

Discussion. — En suivant la même marche qu'au § 673, on trouve que, dans le plan YZ, la vitesse West constante et vaut a, que, dans le plan XY, la constance est pour W, qui vaut c, et qu'enfin , dans le troisième plan , la vitesse constante est b et qu'elle appartient tour à tour à chaque rayon. A ce point de vue légèrement différent de celui créé par le précédent théorème, c'est aux ombilics que se fait le départ des deux nappes. Comme la surface des ondes est en relation plus in lime avec les rayons qu'avec les normales aux ondes, nous considérons cette démarcation comme la vraie.

Quand c =± i, on a

T'=i8o — T, et il vient

W'2=*'o — {n\ — */) sin1!", W*= n\

§ 675. — Théorèmes sur les plans de polarisation.

Soi tune section centrale quelconque du premier ellipsoïde. Les deux sections circulaires centrales la coupent suivant deux droites EF, E'F'qui sont égales et conséquemmentéquidistantes des deux axes AB, CD [fig. 3 24). Les deux plans

P, ly, menés parla normale à la section et par les normales aux sections circulaires (axes de réfraction conique) sont respectivement perpendiculaires aux intersections EF, ET' de chaque section circulaire avec la section quelconque. Les plans normaux à la section, menés par AB, CD, étant ceux de nos triangles, les plans de polarisation tt, t! des rayons se trouvent être (si on les définit comme Fresnel) normaux à ces droites. Bref, uu de ces derniers plans et les deux premiers P, P7 se trouvent former un système de trois plans perpendiculaires chacun à chacun aux trois droites, EF, E'F', AB, ou bien EF, E'F, CD, dont Tune, ABou CD,bissecteles deux autres. Il en résulte que la relation de bissection se retrouve dans les plans et que l'on a ce théorème : Dans le cas d'excitation intérieure, menez, par la normale commune aux trois on ries et par les axes de réfraction conique, deux plans, puis les deux plans qui les bissectent ; ces derniers (ils sont rectangulaires) seront les plans de polarisation des deux rayons réfractes. Ce théorème ne peut pas donner la loi de distribution des plans de polarisation dans le cône de la première réfraction conique, attendu que, pour Tonde plane engendrée par cette réfraction, il y a coïncidence de la normale avec un des axes de réfraction conique.

Pour avoir l'autre théorème, soit par une normale à une section du deuxième ellipsoïde, c'est-à-dire par le chemin commun à deux rayons intérieurs, et par les deux axes optiques, deux plans. Ces plans seront bissectés par deux autres plans qui sont ceux de la normale et des deux axes de la section.Ces derniers plans qui, normaux aux plansdes triangles, passent par les rayons et auraient pu être choisis pour plans de polarisation, aussi bien que ceux de Fresnel dont ils diffèrent très-peu, sont donc définis par la précédente bissection. Celle règle est également, et pour les mêmes motifs, incapable de fixer les plans de polarisation des rayons qui constituent le cône de deuxième réfraction conique.

§ 676. — Le rayon ordinaire chez les biaxes. — Biaxes positifs, négatifs et neutres.

Peut-on adapter aux deux rayons et aux deux ondes

58a CHAPITRE x\v

d'un biaxe une distinction analogue à celle qui s'exprime chez les uni axes par les qualifications d'ordinaire et d'extraordinaire ? Peut-on étendre aux biaxes la division en positifs et en négatifs? Ce sont là des questions que les formules précédentes vont nous permettre de traiter.

Chez un biaxe , les vitesses des deux rayons sont toutes deux variables; mais à part certains biaxes exceptionnels, ils y subissent des variations inégales. L'ordinaire d'un uniaxe gardant une vitesse constante, on conçoit qu'on lui assimile et qu'on appelle ordinaire celui des deux rayons dont les vitesses extrêmes différeront le moins. Cherchons donc les valeurs extrêmes de W et W".

On a

T — T T-hT

c7H-(<22— c*)sin2 c*-|-(û' — c^sin*

leurs maxima répondent aux directions qui donnent, soit ? soit > le plus près de zéro, et leurs minima à

celles qui rapprochent le plus ces demi-sommes de 90 de-

grés. est nul pour toutes les directions comprises

dans le plan desZY, il a sa plus grande valeur absolue 90 — 6 quand la direction commune aux deux rayons est située dans le plan ZOX , et est de plus comprise dans l'angle DOD, (Jig 3 12). Dans le premier cas,

dans le second,

a2 e* ^-h(a* — c*)cosV

ou bien égal à b* si l'on remplace cos*0 par sa valeur

,7( t jr« Les vitesses de ce rayon varient donc de a à b.

atteint son minimum 90 — 0 pour des directions

situées dans le même plan ZOX , mais comprises cette fois dans l'angle DOD', et son maximum, quand on a, soit

T = 90, T' = 90 , ce qui a lieu suivant la seule direction OY, soit plus généralement T -j- T' = 180, ce qui a lieu suivant toutes les directions comprises dans le plan XOY(*). Les deux valeurs extrêmes de W" sont b% et c*. Ainsi la vitesse de ce rayon varie de b à c. Nous en concluons

1W suivant qu'on aura

On pourrait tout aussi bien fonder la distinction des deux rayons sur les inégalités à* — b* ^b* — cf, car les carrés des vitesses expriment les forces élastiques dont le rôle, en double réfraction, est plus primordial que celui des vitesses •, mais ce qui rend les carrés préférables , c'est qu'avec eux la question admet un deuxième aspect trèsimportant. En effet, d'après la valeur de tango', ces nouvelles inégalités reviennent à ces autres 0' ^ 4^° ou 26'^ 900 qui rendent axe principal celui de ^ élasticité. La fusion de ces deux points de vue amène l'énoncé suivant : Le rayon

w„ suivant quel axe

, m ,, . . , l mi/iima m . . „

principal a 1 élasticité l . Mais quelle que soit

l'étendue relative des variations des deux rayons, c'est W'qui, compris entre a et b, est toujours le plus rapide; on peut donc dire encore : Suivant que Vaxe principal est

celui de plusl , élasticité, c est le rayon lel , rapide

' [grande ** \ moins r

qui est V ordinaire. La distinction des deux sortes de cristaux découle sans peine de ce dernier énoncé ; car si l'on se rappelle que dans les uniaxes! , ? c'est l'ordinaire qui va

( * ) Soit une quelconque de ces directions caractérisée par l'angle « qu'elle l'ait avec OX. T, T' seront les faces hypoténuses de deux triangles sphériques rectangles ayant pour autres faces, l'un a . 0, l'an Ire a . 180— 0. On aura donc

eus T = coi a cos 0, cos T' =. — cos a cos*#,

de sorte que 1 et T' sont bien réellement supplémentaires.

le ! " . vite, on devra considérer comme leurs analogues, ( moins °

et par conséquen l qualifier également de ] . ,f > les biaxes

chez lesquels F axe principal sera celui de J élas-

ticité. Au point de vue historique, on peut prendre comme types de ces deux catégories la topaze, qui donne

a» — b* = 0,0010, b2 — c3 = o,oo35, et l'arragonite, qui donne

a7 — b7== 0,0735, b2 — ^ = 0,0017; la theuardite, qui donne 20' sensiblement égala 90°,*ît partant à1 — b* = b* — c*, doit être considérée comme un corps limite, un biaxe neutre chez lequel il n'y a plus lieu de distinguer ni rayon ordinaire ni extraordinaire. Il est juste de remarquer que si, en rigueur, les inégalités sur les carrés diffèrent de celles exprimées d'abord entre <z, fe, c\ dans la pratique, elles diffèrent très-peu parce que nos cristaux donnent a-\-b peu différent de b H- c.

Au lieu de raisonner sur les rayons qui s'accompagnent, on peut tout aussi bien le faire sur les ondes qui sont parallèles. On arrive aux mêmes valeurs extrêmes, à savoir a* et 4* pour V'% 4* et c' pour V"*. La seule différence consiste en ce que c'est OC et non plus OD qui délimite dans le plan ZOX les directions que doit avoir la normale pour amener soit V1 à son minimum , soit V" à son maximum. H y a donc, avec les ondes seules, une parfaite correspondance entre cette délimitation et celle qui donne tour à tour à chacun des axes extrêmes d'élasticité la qualité de ligne moyenne. Avec les 0, la correspondance entre les conditions a% — b%^b% — c* et 6 ^ 45 ne serait plus rigoureuse. On peut donc voir là un nouveau motif de préférence pour les &'. Cependant, comme la surface de Tonde est plus maniable que celle d'élasticité, la considération des W, W" peut, dans certains cas, être préférable à celle des V, V".

§ 677. — Sur la distinction théorique et pratique des rayons.

Ce sont les formules W, W" qui individualisent analytiquement les rayons. Nous venons de voir que W était constamment supérieur à W", puisque le minimum de l'un coïncide avec le maximum de l'autre -, nous savons en outre que W', W"ne sont autres que les rayons vecteurs de ia surface de l'onde. Il en résulte que le rayon W' aura l'usage exclusif des points extérieurs de cette surface, et W" celui des points intérieurs. L'une des deux nappes est donc enveloppante et l'autre enveloppée comme chez les uniaxes, ce qui confirme la remarque déjà faite sur la scission des deux courbes comprises dans le plan . des ZX , laquelle consiste en ce que les arcs d'ellipse ZD, DX ont pour continuation physique les arcs de cercle DX, DZ (*). L'étude des V, V" conduirait à des renseignements analogues sur les deux nappes de la surface d'élasticité.

Si les formules V, W, si la nappe touchée par le plan tangent distinguent algébriquement ou géométriquement rayons et ondes, il faut à ces deux modes de désignation en ajouter un troisième purement expérimental. Occupons-nous donc de là réalisation de leurs vitesses extrê • mes et des moyens pratiques de reconnaître celui qui se rattache à Tune des formules ou à l'une des nappes.

Admettons qu'on veuille opérer avec des lames parallèles * et qu'on leur présente les rayons normalement. On réalisera la vitesse maxima a commune à l'onde Vet au rayon W à l'aide d'une quelconque des lames qui ont leurs faces parallèles auxX, et la vitesse minima c commune à l'onde \7// et au rayon W" par des lames parallèles aux Z. La vitesse A, minima de V, W et maxima de V", W", réclame des lames

( * ) Les développements précédents nous permettent d'ajouter aux différences qui séparent les deux rayons, la particularité géométrique que voici : Le rayon ordinaire est, dans tous les cas , celui qui, dans le plan des XZ, est subordonné au plus grand des deux arcs de cercle et est ainsi, le plus longtemps, ordinaire.

parallèles aux Y, mais ici il faut distinguer. Pour les ondes,

il faudra que leurs normales tombent dans l'un des angles

( COC, ,., , . , ( minimum de V n ,

\ „^„i suivant qu il s agira du < , „„• Four les

\ COC H b | maximum de V"

rayons, les deux angles auxquels sera dévolu un rôle analogue par rapport à la direction intérieure du rayon seront! nmJ- Comme on est maître, dans ces réalisations,

de s'attacher aux cas les plus simples, on peut se borner à prendre, pour obtenir àï9 une lame parallèle aux XY ou aux XZ; pour obtenir c', une lame parallèle aux XZ ou aux YZ; pour obtenir b vitesse minima, une lame parallèle aux YZ, et pour l'obtenir vitesse maxinia, une lame parallèle aux XY. Pour un biaxe positif, le rayon ordinaire est donc réalisé, suivant qu'on a a — b£b — c, par un

des deux systèmes de deux lames | ou ■ ; le der-

nier donne au rayon pour directions OY, OX, c'est-àdire les axes tertiaires et secondaires. Pour un négatif,

( XZ ( YZ

les deux solutions simples sont ! et J • La première donne au rayon les deux directions OY, OZ. Or, avec uu négatif, OZ est devenu Taxe secondaire. Dans sa polémique sur l'absence d'un rayon à vitesse constante chez les biaxes, Frcsnel trouvait donc juste quand il posait cette règle générale. Le rayon ordinaire prend ses vitesses cxtrémes quand sa direction intérieure est tour à tour bissectrice de l'angle obtus des axes optiques et normale à leur plan .

Chez les uniaxes, on distingue les rayons par leur position relative et par leurs plans de polarisation. Le premier moyen y comporte de telles exceptions, qu'on ne peut songer à l'employer ici. Le deuxième , au contraire , y est un guide sur. En sera-t-il de même eiî biaxie?

Pour un biaxe positif, dans le plan des YZ, le rayon ordinaire suit les deux lois de Descartes et est polarisé dans leplanZOY, et tout va pour le mieux. Mais les choses vont

au rebours chez un biaxe négatif, puisque dans le même plan ZOY, c'est le rayon extraordinaire qui présente ces deux particularités. On ne trouve pas plus de fixité en s'en référant, avec M. Biot, à la bissection des dièdres formés par les plans que déterminent la direction commune Or des rayons et les axes optiques, et faisant du rayon ordinaire celui dont le plan de polarisation bissecte le dièdre aigu. Car en prenant, chez un biaxe négatif, des rayons compris dans le plan ZOY, et rapprochant ces rayons superposés de l'axe OZ, le dièdre DOrD' finit par devenir obtus, quoique son bissecteur ZOY ne cesse pas d'être le plan de polarisation du rayon ordinaire. Ainsi, en dehors des expressions W, W" et des deux nappes de la surface de Tonde , il n'y a plus rien dégénérai sur la distinction xles rayons. Deux mots encore. , Nous avons vu que les micas et le quartz parallèles à l'axe produisaient des retards de même sens quand leurs sections principales avaient la même orientation , et cependant le mica est un biaxe négatif. Cette similitude d'effets entre un uniaxe et un biaxe de signes contraires s'interprète très* bien. Elle tient à ce que les micas sont normaux à leur axe principal. Les deux axes compris dans le plan de ses4ames sont ceux de moyenne et de plus faible élasticité , et c'est ce dernier qui est aligné dans le plan des axes optiques , et par conséquent dans la section principale. Il est donc bien l'analogue de l'axe du quartz qui , lui aussi , est de plus petite élasticité. Si la lame d'un négatif était parallèle à l'axe principal, ou lui trouverait, pour une même orientation, une action retardatrice contraire à celle du quartz, tout comme on trouve en pareil cas , aux lames positives de gypse, une action de même espèce. Retenons donc bien que quand on conjugue un biaxe avec un uniaxe parallèle ou normal à l'axe, il y aura interversion de leurs rapports, suivant que ce dernier sera parallèle ou normal à son axe principal. On doit à M. Delezen ne d'intéressants travaux sur cette matière.

§ 677 bis. — Expérience de MM. Moigno et Soleil. De ce que le verre, comprimé dans un sens, devient un uniaxe négatif qui a son axe dans la direction de la compression ( § 206) , on en conclut que la compression a pour effet d'agrandir l'élasticité optique dans le sens où elle s'exerce. Cela posé, soit un uniaxe négatif pris sous la forme d'un parai lélipipède rectangle [PI. XIV > fig. 34 1 ) ayant un de ses systèmes de faces, les horizontales par exemple, normales à Taxe optique. Si je le comprime normalement à deux de ses autres faces, les verticales latérales je suppose, l'élasticité, accrue dans ce sens transversal, cessera d être égale à celle antéro-postérieure, et le cristal dea iendra un biaxe. Comme les élasticités principales extrêmes seront : i° l'axiale qui , maxima au début, garde en général sa supériorité; 2° l'an téro-postérieure qui, n'étant pas accrue par la compression, devient la moindre; on voit que les axes optiques écloronl dans le plan normal au sens de la compression. Avec un positif, au contraire, les axes s'ouvrent dans le plan de compression , parce que c'est dans ce sens qu'on a l'élasticité maxima. Celte transformation d'un uniaxe en biaxe par compression , et les deux manières d'être des axes optiques constituent une belle expérience d'optique qu'on improvise sans peine au microscope d'Amici, avec la presse à comprimer du § 296, et qui se laisse très-bien projeter avec le dispositif du §347. Elle est due à la collaboration de MM. Moigno et Soleil. On voit avec quelle facilité la théorie l'interprète.

Si Tuniaxe négatif était assez peu biréfringent pour que l'élasticité transversale, accrue par la compression , y devînt la plus grande des trois, ce serait alors dans le plan vertical décompression que se trouveraient les deux élasticités principales extrêmes, et par suite les deux axes optiques. II est visible que pour obtenir, chez les positifs faibles, cette dénaluration du résultat ordinaire, il faudrait recourir, non plus à une compression, mais à un tiraillement.

Un négatif comprimé donnera a — b grand et b — c très-

petit* et par conséquent a — b^> b — c. L'axe principal y sera donc celui de plus grande élasticité, de sorte que Funi axe négatif sera devenu par la compression un biaxe de même signe.

Nous avons eu jusqu'à présent plusieurs occasions de remarquer la parfaite conformité de la théorie de la double réfraction avec les faits. Mais faute de nous être occupé de ces rapprochements d'une manière spéciale, nous sommes loin d'avoir passé en revue l'ensemble imposant de ces vérifications. Les unes, par la nature même du phénomène sur lequel elles reposent, empruntent à leur seule existence une telle force , qu'elles peuvent se passer d'une comparaison numérique minutieuse et rester en quelque sorte qualitatives. Telles sont les réfractions coniques étudiées dans l'article précédent, et les lemniscates dont l'étude va terminer celui-ci. Les autres, au contraire, ont élé formellement instituées pour avoir au plus haut degré ce caractère quantitatif 'qui est le nec plus ultra des épreuves que peut subir une théorie. Le dernier article de ce chapitre leur sera consacré.

§ 678. — L'interférence considérée entre les rayons ou entre les ondes. — Loi générale des sinus.

Les phénomènes dont nous avons à traiter se rattachant aux interférences, la pensée se reporte naturellement sur les théorèmes des §§ 672, 674 relatifs aux différences des V et des W. Cependant, si Ton considère que ce que l'œil associe dans la vision à travers les biréfringents, ce ne sont ni deux rayons superposés intérieurement, ni deux ondes parallèles , on prévoit qu'on ne pourra y recourir qu'exceptionnellement. Avec des lames parallèles, cela n'aura lieu pour les ondes que sous l'incidence normale» ; pour les rayons il faut de plus que la lame soit une des trois lames principales normales aux trois axes d'élasticité. La face de sortie cesse-t-elle d'être parallèle à celle d'entrée , ces théorèmes deviennent insuffisants pour l'évaluation du retard total, attendu qu'il cesse de s'engendrer tout entier à l'intérieur

du cristal. Les incidences deviennent-elles obliques, ce n'est plus d'insuffisance, mais d'incompétence qui 1s sont frappés, puisque, d'une part, les conditions fondamentales qu'ils supposent, cessent d'être réalisées, et que, de l'autre, il y a également cette complication d'un retard extérieur surajouté au retard intérieur. Nous allons procéder à l'évaluation de ce retard total en nous restreignant toutefois au cas principalement utile d'une lame à faces parallèles. Nous étendrons ainsi aux biaxes le calcul déjà donné pour les uniaxes (chapitre X). Mais comme on pourrait se croire obligé d'établir entre les phénomènes engendrés par les. retards une division fondamentale , séparant ceux où l'interférence paraît s'accomplir entre les rayons (franges de Young par exemple), de ceux où elle semble s'exercer entre les ondes (phénomènes de la polarisation colorée par exemple) , il nous faut d'abord montrer qu'il n'y a là que deux manières équivalentes de considérer un seul et même ordre de phénomènes, Futilité de ce double point de vue consistant à nous permettre d'introduire à notre gré dans les formules, soit les paramètres empruntés aux ondes, soit ceux des rayons.

Loin d'avoir une existence indépendante des rayons, les ondes ne sont, on le sait , qu'une pure association de rayons contemporains dont le trajet commun s'estime d'une manière spéciale, à savoir sur leurs normales, produisant ainsi de nouveaux angles de réfraction a, a* et de nouvelles longueurs d'ondes 7!l X*, qui ne se confondent avec les éléments de même nom fournis par les rayons, que si le milieu est homogène. Mais ces normales font toujours, avec les ondes, des angles droits et il en résulte pour elles un théorème considérable qui se conserve dans le cas général des biaxes, quoique, quand on veut l'appliquer aux rayons, il se trouve déjà en défaut chez les uniaxes.

Loi générale des sinus. — Quand le milieu qui délimite un biréfringent est monoréfringent, la droite par laquelle sont menés les plans tangents détermina leurs des rayons et

des ondes est normale au plan d'incidence. Il en résulte que les trois normales caractéristiques de Tonde incidente et des deux réfractées sont toutes situées dans ce plan et que déjà les figures construites pour l'évaluation du retard contracté par les deux dernières ondes, seront planes. Riais il y a plus. Soient en effet (PI. XIV, fig. 3a5) JP, dp, dp' les traces des trois plans tangents ou ondes ] fP, fp, fp' les trois normales, on a, vu la rectangularité des trois triangles, et en songeant que la normale/P n'est autre que la continuation du rayon incident,

. . /P ■ fp • , fp'

sin 1 = --yi sin <r = —^ sm a' = -^ ? df df df

d'où l'on tire

sin/ __/P siri/ /P

sin c ~~ fp sin <x' fp1

Or ,fP,fp,fp' sont des proportionnelles aux trois longueurs d'onde A, X't, i';ona donc

sin 1 \ sin 1 X

sin c /', sin <r' \\

c'est-à-dire une proportionnalité incessante des sinus d'incidence et de réfraction avec les longueurs d'onde correspondantes. C'est là la loi des sinus prise dans son acception la plus générale. Elle ne donne un rapport constant pouf

— — que quand les longueurs d'ondes restent les mêmes dans

toutes les directions.

§ 679. — Calcul du retard introduit entre les deux ondes dans la traversée d'une lame biréfringente.

Dès que l'incidence est oblique, le passage d'une onde à travers un milieu réfringent est accompagné de dislocations. Mais si les divers éléments de Tonde n'y entrent ainsi et n'en sortent que successivement, les chemins qu'ils parcourent le long des normales, entre les deux positions extrêmes de Tonde, à savoir celle abc (Jîg. 3 26) qui précède la dislocation d'entrée et celle a1 V cf qui termine la dislocation

5g2 dtAPITRE XXV.

de sorTie, chemins représentés en général par trois termes bS -f- hSe -h efe', sont tous équivalents. On peut donc s'en référer , dans l'évaluation de ce retard commun ? aux chemins, formés de deux termes seulement, qui appartiennent à l'un des éléments extrêmes de la portion d'onde considérée. Le cristal dédouble-t-il Tonde et fournit-il deux ondes distinctes ayant pour normales intérieures fa\/ai9 traçons, et les normales extérieures de , atg de cet élément extrême seul considéré, et les positions a'iV, ûj&iC, des ondes reconstituées. Comme elles sont sur des plans différents, il faudra ajouter at g au retard intérieur, et le retard total aura pour expression

«i/ûi H- <*\g— nfa'.

Soit c l'épaisseur du cristal, on aura

/<*. = ~>5 /fl' = -,

cos <r cos <r

axg= a' a y sin i = e ( tang c — tang <r' ) sin /'.

Nous venons de trouver pour les équivalents optiques, n, n,, les valeurs

f? sin i /P sin i

fp "~ sin <r fp' sin <r' '

il en résulte donc pour l'anomalie contractée entre les deux ondes,

/ 2lf . / i , i \

l — e sin i ( - -, -, -h tang <r — tang cr' : )

1 \ \sin <r' cos rf sin acosvj

I = -7- ? sin ? (cot o- — cot <x).

§ 680. — Calcul du retard introduit entre les deux rayons dans la traversée d'une lame biréfringente.

La fig. 3a5 devient insufGsante. C'est en dehors du plan d'incidence et des deux traces dp, dp* que tombent les deux points de contact q, cf déterminateurs des deux rayons. Nous la remplaçons par la fig. 327, dans laquelle AMN figure le plan d'incidence supposé vertical, ÀCNj ABN, les

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5ç;3

deux plans de réfraction caractérisés par les angles arimutaux 9, y', NCB le plan de sortie horizontal. Le retard contracté commence en A et se termine sur la droite BD menée par B perpendiculairement à CR;, direction extérieure de celui des deux rayons qui est sorti le premier du cristal. Son expression est

vAB — v'AC — CD.

Soient p, p' les rayons vecteurs de la surface de Fonde qui, aboutissant aux points de contact </, (f, mesurent les vitesses

des rayons -, les équivalents optiques v, v' vaudront -» -,?

et 1 on aura

vAB = - AB = — — , v'AC =

p p cos r pf eos i*

Pour avoir CD, j'abaisse du point B sur la droite CF (menée par le point C, et dans le plan de sortie, parallèlement au plan d'incidence) une perpendiculaire, et je prouve qu'en joignant DF, le triangle DFC est rectangle en D (*). J'en conclus, car FCD = 90 — 1 ,

CD = CF sin /.

Projetons BN et CN sur le plan d'incidence, il viendra

FC = BN cos f — CN cos y' = e tang r cos y — e tang / cos y'.

Le retard R, exprimé à l'aide des caractéristiques des rayons, sera donc

(B) R = -. -r — estai (tang /cos» — tang /cos/).

v ' p cos r p' cos t* T. ° T '

Le cas particulier traité (§ 277) se déduit de cette formule générale en y posant yl = o : mais on n'oubliera pas que (f y désignant un angle que nous avons fait ici égal à zéro,

(*) Le plan vertical mené par FC contient CD, la droite BF perpendiculaire à CF étant dans un plan horizontal est perpendiculaire au plan vertical. Du point B, extérieur au plan vertical, nous avons donc abaissé deux perpendiculaires, l'une HF au plan, l'autre BD à une droite CD située dans le plan. Or on sait qu'en pareil cas, la droite CD est perpendiculaire à DF, ligne des pieds.