II
5(j4 CHAPITRE XXV.
à savoir l'azimut du plan d'incidence, les choses analogues sont le 9 actuel et le <j/ — <p du § 277.
§ 981. — Comment los demi formules aboutissent aux mêmes
chiffres.
Qu'il soit évalué sur les rayons ou sur les ondes, le retard, dès qu'il est ramené à une certaine longueur d'air ou à un certain nombre d'ondes , doit être exprimé par un même chiffre. Pour s'en convaincre d'une manière générale, imai;i nons (Jig- 325), en dehors du plan d'incidence fffP^ le point de contact q conjugué de p. Je dis que p est la projection de q et qu'ainsi qp est une horizontale. Cela résulte de et* que le plan d'incidence, le plan tangent et le plan projetant du rayon vecteur jq sur le premier de ces plans sont trois plans rectangulaires deux à deux. Si donc le plan de sortie était le plan horizontal passant par qp, onde et rayon auraient fourni dans le cristal le même nombre d'ondulations, puisque les longueurs fp^fq sont leurs vitesses respectives. Reculer le plan de sortie en le laissant horizontal ne change rien à ce premier résultat. Il en sera de même pour l'autre rayon, et les différences dues au trajet intérieur se composeront pour les ondes comme pour les rayons d'un même nombre d'ondulations. Restent les quantités extérieures axg de layîg\ 3s6, et CDde la fig. Z17, on se convaincra qu'elles ne diffèrent pas l'une de l'autre.
Quand l'incidence est normale, le relard est tout intérieur. Pour lesondes, lesquanlitésy^=/;,y//=rj/nediffèreiu pi us des quantités V,V/7( §672), et puisqu'elles correspondent
à un chemin d'air égal à l'unité, le retard est ;, lafor-
P P mule (A) devenant 0X00 ne donne pas immédiatement et»
résultai, mais on le retrouve en s'en prenant à Tune des expressions «intérieures. Dans ce cas dei = o l'expression (B) devient
p cos r p' cos r* p, p' continuant de différer des W, W" du § 674.
TBÉOK4E DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5g5
§ 682. — Courbes isochromaticpios chez les biaxes.
Des deux formules (À), (B) qu'il s'agit d'appliquer, la première est de beaucoup la plus simple : aussi est-elle la seule qui ait été appliquée franchement à des cas un peu généraux. Quelle que soit l'orientation d'une lame parallèle, on obtient les lignes isochromatiques en égalant tour
à tour aux multiples successifs de - l'expression du retard.
Nous avons vu que chez les uni axes, pour y échanger les variables contre les coordonnées des points des courbes , il fallait choisir son terrain; on conçoit donc qu'ici, où il s'agit de surfaces bien moins maniables que celles qui servent chez les uni axes, il faille en général, pour arriver à quelque chose d'explicite, chercher àfortiori\es cas simples et y aider par des approximations.
Calcul des lemniscates. — Le calcul qui va suivre est moins une application des formules précédentes qu'un calcul évasif dans lequel on se rattache aux théorèmes des vitesses. Comme la superposition qui en résulte pour les rayons allonge visiblement le chemin intérieur décrit par l'un d'eux, on corrige partiellement cet accroissement en négligeant le retard extérieur. Si les incidences sont faibles, si les directions suivant lesquelles le cristal est traversé, ne s'éloignent pas trop des ombilics de la surface de l'onde, régions où les rayons diffèrent le moins de vitesse, la correspondance entre les résultats du calcul et les phénomènes n'en est pas sensiblement altérée.
Supposons la plaque perpendiculaire à l'axe principal et les axes de réfraction conique assez peu ouverts pour que le couple d'ondes extérieures, qui chacune n'engendrent exceptionnellement qu'une onde intérieure, puissent y entrer et en sortir. Dans ces directions, l'oeil ne recevra qu'une onde et il n'y aura pas d'interférence possible. Dans toute autre direction, il en recevra deux parallèles dont Tune aura un retard et qui, suivant ce retard, donneront, avec l'aide
5g6 CHAPITRE XXV.
d'un polarisa leur el d'un polariscope, lumière vive ou obscurité.
En rigueur, ces ondes extérieurement parallèles ne le sont pas intérieurement ; mais, ainsi qu'on vient de le dire, dans nos cristaux si peu biréfringents, ce défaut de parallélisme peut se négliger el Ton peut remplacer l'expression du retard par une autre plus simple tirée du premier des deux théorèmes relatifs aux vitesses.
Ainsi, soit OR (fig* 3a8) cette direction commune, caractérisée, comme précédemment, par les angles /, tf. Le trajet
durera pour l'une -—7-, pour l'autre „ et le retard exprimé
eu longueur d'air vaudra
OR(r^-~, = OR
or si, conformément à la remarque du § 673, on introduit les deux facteurs sensiblement constants V -+- V* et V V*, celte expression prend là forme OR (V — \"*). Maison a
V'> \»* = (a2 — c3) sinf sinr'; donc le retard peut s'exprimer par
ÔR [rf—c*) sin t sinf'.
Autour du point R on trouvera des points pour lesquels la différence de route sera la même. Ces points traceront sur la surface supérieure du cristal une courbe isochromatique dont l'équation est
OR (a2 — c7) sin t sin t' = constante.
Nous nous proposons non-seulement d'y exprimer QR en f , i', mais encore d'y introduire les x et les y. Nos axes coordonnés ont pour origine le point où se croisent , sur la face inférieure , les rayons entrants et pour directions les trois axes d'élasticité.
Dans le triangle sphérique CBAO, nous connaissons les
THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5yj
trois faces f, t', z&. Le dièdre C, opposé à £,* vaudra
cos t! cos 7. 0' — cos t
cos C =
sin t1 sin a 0'
Dans le triangle sphérique CDAO, ou connaît le dièdre C, et les deux faces adjacentes l', ff, ce qui donne pour la face DOÀ = /*, opposée au dièdre C,
. # . -, cos t! cos 2 0' — cos /
cos r = cos r cos 0' — sin r sin 0 5 — j—, —.
sin t! sin 2 0'
acosf'cos*©' — cosf'cos20' -+-cosf__cosf-hcosf'
2cos0' ~~ 2cos0' '
et comme OR = > l'équation de la courbe, ramenée à
cos r *
ne plus contenir que £ et *', est
2tf (tf2 — C3)COS0' 7= A.
x ' cos/ -h cos t
Les équations de la droite OR sont
x = mz9 y = nz9 elles donnent pour les coordonnées du point R,
x = /W£, y •=. ne\
celles des deux axes OB, OC sont
x = tang 0' s, * = — tang 0'z ;
l'angle ROB donne
^ j;î 4- j2 séc2 0' — 2 #r tang 0' -h «2tanga-0 /*y
sin t = = " — w >-
ORséc0'
x tang 0' -H *
cos r = — = ;
OR sec 0'
(* ) On a pris la formule du sinus de l'angle de deux droites, et l'on y a mis les coefficients des deux droites actuelles ; seulement on a gardé au dénominateur, pour l'un des deux radicaux, la distance OR.
l'angle ROC donne de même
y7*' H- y2 séc3 Q' H- 2 ex lang 6' -+. g8 tapg* 0'
sin ^ =
OR séc ô*
e — x tang Ô' cos^=: -— , — ■ i OR sec 9'
on en tire
sinfsinr- ^{*+y****9 +****$*)* — j***D#ir
cos / -h cos f ie OR séc Ô'
En reportant cette valeur dans l'équation de la courbe, et
remplaçant OR par x% -+- y* -+- er% il vient
Avec une lumière simple, les courbes isochromatiques sont alternativement noires et éclairées. Leurs endroits les plus sombres ou les plus vifs correspondent aux valeurs successives entières impaires et paires de k.
L'équation précédente est de la forme
x*-h M^-hNary-hP**-*- QrJH-R=o.
Si Ton définit Ivmniscate une courbe telle, que le produit des distances de ses points à deux points fixes distants de a a soit constante et égale à D*, on trouve sans peine pour. les nombreuses courbes de ce genre m
i<+/, + 2J1/1 — na2x7 -f- a a*y* -4- a* — D4 = o,
quand toutefois on prend pour axes coordonnés la ligne des deux points et la perpendiculaire élevée sur son milieu. Nos courbes ne sont donc pas des lemniscates ; mais elles le deviennent quand l'angle ï& des axes de réfraction conique est assez faible pour que séc 0' soit sensiblement égal à 1 . Car on trouve alors l'équation
x* -hr4-*- *x*y* — M*2 -h My*+ P = o. Herschel a trouvé en effet que cbez le nitre, où ff vaut 3° 5\
TIIÉORIK DE l*A DOUBLE RÉFRACTION. 599
le produit des distances des points d'une même courbe à deux certains points signalés par des particularités physiques, restait constant. Ce n'était pas sur les courbes telles quelles se dessinent sur la face supérieure du cristal qu'il opérait, mais sur .d'autres courbes bien plus grandes, peu déformées par la sortie et, par conséquent, semblables aux précédentes, courbes que la projection lui donnait sur un écran parallèle à cette face.
L'équation primitive devient avec cette supposition
2 ett! ( a7 — c») cos 0' = A-,
et elle est d'autant plus admissible qu'on l'applique à des courbes d'un numéro moins élevé, et qu'ainsi f, tf sont moins grands. Cette expression montre que le produit tt\
ou, ce qui revient au même, d'après les relations i = - 9
t'= —-) le produit RR' dea rayons vecteurs des lemniscates
correspondantes est, pour la même courbe isochromatique, en raison inverse de l'épaisseur e : c'est ce que Herschel a également vérifié.
Nous n'insisterons ni sur les diverses variétés que présente la lemuiscate ni sur la manifestation progressive de ces variétés au fur et à mesure que la valeur constante du produit grandit, ni sur les courbes limites qui séparent chaque grand groupe de lemniscates. Qu'il nous suffise de recommander cette étude.
§ 683.— Calcul des hyperboles.
Quand les tourmalines sont a l'extinction , il existe sur chaque courbe isochroma tique, ici comme chez les uniaxes, quatre points où la lumière n'est pas restituée, ou en d'autres termes n'est pas dépolarisée par le cristal , points dont l'ensemble formera des courbes noires. Ces courbes ne sont plus deux droites rectangulaires, niais les deux branches d'une hyperbole, ainsi qu'on va le démontrer.
Soit a d la distance des points H, G où les axes de réfrac-
tion conique coupent, dans le plan ZOX, la surface supérieure du cristal , c'est-à-dire la distance des pôles de nos courbes , et a l'azimut , compté avec ZOX , du plan de polarisation du rayon incident. Le rayon passera sans se diviser quand ce plan coïncidera avec celui de polarisation d'un des deux rayons réfractés. Or on sait que ces derniers plans sont les bissecteurs de deux plans auxiliaires qui coupent la face supérieure suivant les droites RG, RH. Mais quand un dièdre est bissecté par un troisième plan, leurs intersections par un plan quelconque donnent deux angles plans égaux, il en résulte que la trace d'un des deux plans de polarisation sur la face supérieure du cristal n'est autre que la bissectrice RI de l'angle GRH (fig. 329), et que pour qu'un point R fasse partie de la courbe noire, il faut que cette bissectrice fasse avec l'axe OX l'angle a. On a
GRH = RGX — RHX = 6 — 6', et
GRI = -(G — ff),
mais il faut que y égale a, l'équation est donc
Soit Xfyji les coordonnées du point R, les lignes RG, RH donnent
et
/» »r\ . tang 6 -f- tang 6'
tang (6 -h 6') = *- p ,
0 v ' 1 — tang S tang 6
d'où enfin
*î — rï — *
2 xxyx = {x\ — / ; — fr) tang 2 ou
équation d'une hyperbole équilalère. Si le plan de polarisation bissectait l'angle obtus fourni par les axes optiques, la dépolarisation n'aurait également pas lieu dans le cristal et les points de cette seconde bissection appartiendraient encore aux courbes noires. L'hyperbole trouvée donne ces deux espèces de points.
Les variations de a répondent à la rotation de l'ensemble des deux tourmalines qu'on laisse rectangulaires, ou autrement à la rotation du cristal entre les tourmalines immobiles, a = o° = 900 donnent xy = o , c'est-àdire une croix noire. «==45 donne .rf — y* = J*. La rotation du cristal modifie donc les courbes. Les points G et H sont constamment sur la courbe, car l'équation est satis'faite par j=o x =:+:£, quel que soit a. La touchante en G fait avec la ligne des pôles, axe des x, un angle dont la tangente s'obtient en posant y = o , x = d dans
l'expression générale - — - — de la dérivée -£» et
* D jtang2 a-h.r dx
vaut tangua. Le trait le plus saillant du changement subi alors par l'hyperbole consiste donc en ce que la tangente au pôle tourne avec une vitesse angulaire double de celle du cristal.
§ 684. — Cas de la plaque oblique sur Taxe principal et de la plaque normale à l'un des axes de réfraction conique.
Quand les axes optiques sont inégalement inclinés sur la face, qu'en d'autres ternies Taxe principal diffère de la normale , le calcul des lemniscates ou des hyperboles se conduit de la même manière, la seule différence consistant en ce que, ayant pour les angles ZOB, ZOC (fig. 328) deux valeurs distinctes 0, et 02= 20' — 0,, certaines réductions n'ont plus lieu. Nous n'écrivons pas l'équation actuelle des courbes, car leur recherche n'offre aucune difficulté, et nous nous bornons à y poser 0, = o, ce qui réalise le cas intéressant d'une lame biaxe taillée perpendiculairement à l'un des axes de réfraction conique. On trouve
k3(x2 + r2 + e2) (a1— c'J'sin'aO'
= (.r2 -h y1) (jn3 -f- y7 séc3 2 0' -h 2 cjc lang 2 0' -h c1 tang2 % 0').
Suppose- 1- on ces axes rectangulaires, ou 2 0' = 900, il vient
/■' (*» ■+• r2 -h e») =r («> — c'Y (*» -H /') lr2 + e>).
Les courbes restent leraniscates, et il y a réalisation de la variété qui consiste en deux courbes isolées et analogues à des cercles, mais dont une seule est ici visible.
L'équation des courbes noires s'obtient en introduisant dans les précédents calculs pour les abscisses des points G, H, deux quantités inégales £,, — $2, ce qui donne toujours une hyperbole équilatère
tang a a[x2 — jr* -h x {S2 — W — *, *,] = ixy +r (*, — *,).
Si Ton veut atteindre le cas d'une lame normale à un des deux axes, on posera
*, = o, d'où
(.ra — y -h .r S3) tang 2a= 2*/ -+- y $s ,
équation dans laquelle £3 vaut <? tang 2 0'. Enfin , quand 28' =r 90 ou £a =^ ûo , on a une droite, x tang 2 a = /, variable avec a.
§ 685. — Expérience utilisée par H. Soleil.
Cette expérience consiste à placer sur le miroir étamé de l'ap pareil Norremberg, d'abord un mica quart d'onde, puis la lame, de manière que les angles de leurs sections principales avec la vibration incidente soient o ou 90 pour le mica, et ± 4^ pour le cristal ; et à se placer, par l'interposition de la loupe, dans les conditions de la lumière convergente. Avec les uniaxes, on obtient, si l'axe est oblique sur les faces, des frailges d'autant plus serrées que la coupe s'éloigne plus du parallélisme à Taxe, et au contraire, quand le parallélisme est parfait, une nuance uniforme très-sombre. De telle sorte qu'on a, dans cette expérience si facile à improviser, un moyen à la fois commode et précis de voir si une lame est ou non rigoureusement parallèle à son axe optique et de l'y amener par des retouches.
La vibration incidente OX {fig. 33o) donne dans le cristal (nous le supposerons positif) deux vibrations égales OX', OY' séparées par une certaine anomalie p et forment, si p est compris entre 2«ir, et (2/1 -+- i)tt un dextrorsum dont les constituante princi-
THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 6o3
paux sont dès lors dirigés suivant OX, OY. La lame de mica, traversée par eux deux foisel traversée suivant ses azimuts principaux, retarde OX de 2- = 7r, et transforme l'elliptique EF en
l'elliptique symétrique inverse E'F', lequel a ses constituants égaux dirigés suivant OY', OX', et séparés par la même anomalie p. Mais cette anomalie appartient maintenant à la vibration OX', si bien que, dans le second trajet à travers le cristal, le nouveau retard p' atteignant O Y', il s'agit de voir quelles sont les circonstances qui rendent p' égal à p, reconstituent dès lors une vibration finale dirigée, comme au début, suivant OX, et rétablissent ainsi pour le polariscope qu'on suppose à l'extinction, l'obscurité primitive. p' est égal à p , i° quand Taxe optique ayant une direction quelconque, on ne considère que les rayons normaux à la plaque ; 2° quand les rayons étant obliques, Taxe est dans le plan des faces. Mais si l'incidence est oblique en même temps que l'axe, l'anomalie p' essuyée au retour n'est plus égale à p. La fig. 33 1, qui justifiera en même temps les assertions î et 2, montre en effet le rayon d'allée IA coupant l'ellipsoïde d'Huyghens à une distance de l'équateur moindre que l'angle de réfraction r, de l'angle a qui sépare cet équateur de la normale, tandis que le rayon de retour l'A' le coupe à une distance angulaire visiblement égale à r ■+- 2 a; et comme l'inégalité de ces deux retards imposés consécutivement aux deux composantes, dépend de l'incidence /, on conçoit que l'interférence varie périodiquement et produise des franges. II s'agit d'en trouver la forme.
§ 686. — Application de la formule (A) au calcul de cette expérience.
L'anomalie contractée dans le premier trajet est donnée par la formule (A), et vaut
— - sin/(cot<r — cot<r).
Quoique les rayons rentrants arrivent sous la même incidence, lu manière distincte dont ils se présentent à la surface de l'onde amène deux nouveaux angles; <x,, </,, et par suite assigne au rayon
6o4 CHAPITRE XXV.
qui n'a pas subi le retard du premier trajet l'anomalie
-r— sin #(cot a, — cot<T,J,
de sorte que l'anomalie totale sera
sin / (cot (Tt — cot o -f- cot v — cot ts ,),
il reste à évaluer les angles <r, </, *„ <t\ . On a
\/i — Aasin*#
sin a = b sin i et cot o- ^= -
£ sin i
Les longueurs /? des normales obtenues avec la surface de Tonde étant correspondantes à l'unité, on a
(E) sin(r' = />sin /,
et la formule
( F ) /* = b> -+- (a2 — 62) sinJ 6',
du § 179. Comme on peut avoir 0' en <r', /? n'est lui-même qu'une fonction de ?', et en l'introduisant dans la formule ( E), il restera une équation où </ seul sera inconnu; elle pourra donner cote'. Voyons comment ces calculs aboutissent.
On obtient sin 0' parla considération de deux triangles successifs. Soit [fig. 332), comme dans l'article II du chapitre VI, OS la trace sur les XY, du plan d'incidence, y son azimut, ON la normale à Tonde extraordinaire, contenue, ainsi que l'incident 01, dans le plan ZOS. Dans le triangle sphérique OXRS, le dièdre OX est droit, on a les faces adjacentes a, <p. Donc on aura Thypotéuuse ROS = h et le dièdre OS = A par les formules
tam* a cos /* = cos a cos e et tang A =s — r-1 — » T D sin ?
qui donnent
sin a
sin A= -.—.'
sin A
Dans le triangle sphérique quelconque ORSN, on a le dièdre OS = oo — A,'la face ROS = h et l'autre face adjacente SON =i 90 -h (/, on en déduit pour la troisième face NOR, qui
THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 6o5
n'est autre que 8',
cos 8' = cos (96 -h or7) cos h 4- sin ( 90 -f- </) sin /# cos (90 — A ) = — sin a' cos h -f- cos a' sin h sin A = — sin a' cos a cos <p -H cos a7 sin a.
Portons maintenant la valeur déduite de là pour sin3 8' dans l'équation (F), puis la valeur issue de là pour/? dans l'équation (E\
remplaçons sin <r' et cos <r' par leurs expressions ,- =*
■ T yi H- cot*<r
coto-' „ , , . •
= en fonction de cot <r , et nous arriverons sans peine a
une équation du deuxième degré qui donnera, pour cot <j', la valeur
COtff'ss-
sin/ (ff2cos2 ot-f- 62sin2a)
— (a2 — b2) sin a cos a cos f sin 1 , \ T ( fl* — £'/ sin2 a cos2 a cos2 ? sin2 / T j •
— L — [«'sin2/ — 1 — (a2— 62)cos2acos2fsin2/] (*2cos2a-f- £2sin2a) J ;
Pour le but que nous nous proposons, il est inutile de pratiquer sur le radical les réductions dont il est susceptible. En effet, pour déduire de la différence actuellement connue col a' — cot a celle, cota — cot*,, qui exprimera le retard contracté au retour, il suffit visiblement ( fig. 33 1) de changer le signe de a Or ce changement n'altère ni cot a ni le radical de cot *', d'où il résulte que la différence des deux retards est le double du terme qui, seul, a changé de signe, et qu'on a pour l'anomalie totale
2 7r 2 (a2 — b2) sin a cos a cos ?
). «2cos2a-f- 62sin2«
les courbes isochromatiques obscures s'obtiendront en égalant cetto anomalie à (2 * -h 1 ) tt ; or on a
cos y = ■»
sjx2 + y2
Si Ton se restreint à de petites incidences, et si Ton appelle D la distance du cristal au tableau, on a
. i^-hr*
Enfin si l'on admet que a est petit, on obtient pour l'équation de ces courbes
c'est-à-dire un système de franges rectilignes, normales à la vibration primitive. Leur largeur égale à 2 x étant inverse de a, devient infinie quand a est nul. La première, qui, donnée par n = o, est noire, envahit donc toute la plaque, qui serait en effet noire si la dispersion du mica n'épargnait quelques rayons auxquels est due la teinte sombre qu'on observe.
M. de Senarmont, auquel on doit ce calcul, a pu mener à bonne fin, au moins dans quelques cas particuliers, des calculs analogues sur les biaxes. On va en juger. On a toujours
sin / 1 1
sine/"- p~~yr
Si donc on pouvait exprimer en tf le cos (/ — t') de la formule du § 674 , comme on y a réussi pour sin2 0', l'équation
sin ff'= V'sin*
'n'aurait plus que cette inconnue. En l'amenant à ne plus contenir que cot <r', elle donnerait cette valeur, et, partant, le retard. Or quand on donne une lame, ses axes de réfraction conique sont connus. Il est donc possible, par des triangles sphériques analogues à ceux déjà considérés, d'avoir les angles f, f\ Il est même des cas où ce calcul ne diffère pas de celui déjà fait , à savoir quand la face comprenant un des deux axes d'élasticité qui hissée tent les axes optiques, on prend cet axe d'élasticité pour axe des X. Alors, en effet, les deux axes de réfraction conique compris dans le plan ZOX font avec OX, l'un l'angle a, l'autre l'angle — a, et l'on a
cos t = — sin </ cos a cos ? -f- cos a' sin a , cos^ - — sin o' cos a cos ? — cos cr' sin a ,
de là cos(f — t') et une équation bicarrée en cot o*' '.
En employant de la même manière V", on amènerait l'équation
sin (7a=: V""sin i à ne plus contenir que cot <r3 d'inconnu, et l'on aurait l'expression
THÉORIE DE LA DOUBLE HKFRACTION. Goj
dit retard m prenant la différence des deux cotangentes et réduisant. Les calculs ne sont que longs et minutieux. Nous engageons le lecteur à les faire, ou tout au moins à voir, dans le Mémoire de M. de Senarmont, les résultats auxquels il est parvenu.
ARTICLE V
