B.:±:-XY

r^-(«n* — sinx)J

n ir X .... »

À n Leurs phaâes ^ formeront une progression arithmétique dont le premier terme sera

--(sm^—smx) et la raison

c'est-à-dire que les formules précédentes résolvent encore le cas de la composition de rayons discontinus égaux, alignés le long d'une même droite et équidistants. A ce point de vue qui rappelle un cas analogue traité § 77, nommons s la différence de phase de deux rayons consécutifs, ce qui donne

-X(sinil» — sinx) = ^€,

et exprimons B, que nous appellerons Bi,, en fonction de B| , alors la formule du précédent paragraphe s'écrira

sm n -

/zsm-

§ 118. — Discussion du rectangle.

L'expression de B' est périodique ; ses minima, faciles à trouyer et à construire, soat nuls et répondent aux valeurs déduites, pour la variable 4», des équations

it--(sin*' — sinx) = dbm7r ou sin^ — sinx = i'w-p7

qui ne diffère pas de celles du § 1 13, et dans lesquelles m est un' nombre entier quelconque. La fonction

TTyCsin^E» — sinx)|

'102 GltAPITAE V.

obtient un premier maximum égal à i pour 4> = ;(, mai3 elle donne, parla méthode des maxima, une équation trop cômphqiiée pour qu'on pui^e en déduire les directions dans lesquelles ont lieu les autres maxima; d'ailleurs ils sont, comme les minima, en nombre limité; enfin, à cause de la présence d'un arc croissant, au dénominateur, 'leurs valeurs sont changeantes et rapidement décroissantes.

Quand le faisceau. incident est normal au plan de la fente, x ^ ^' le facteur variable de B devient

TT — - sm 4> •

il s'annule pour les valeurs (|>r» ^2, ^3, • . ., qui donnent sin ^ = Zt w ==• >

on les a construites dans la y?^. 62. En y posant

TT -- sm * = 1 0° f= 1 5° = 20° = . . . ,

il serait facile d'obtenir les valeurs numériques de l'expression 6. Schwérd les a calculées de i5 en 1 5 degrés; en les élevant au carré, il obtient un tableau discontinu d'intensités dans lequel. la position des maxima est indiquée. On y voit , par exemple, que le maximum qui suit celui de la lumière directe tombe entre 255 et 270 degrés, et en calculant quelques valeurs intermédiaires, il s?eat assuré qu'il répond à 257** 3o' et qu'il vaut o,o4'}i9; les autres mâxioia sont, comme celui-ci, plus rapprochés de Hniagc directe que s'ils étaient équidistants des mtnima j. mais à mesure que leur ordre.s'élèvç, cette différence est de moins .l^n moins grande. Nous avons déjà i*encontré de pareils écarts, dansie cas, moins simple il est vrai , du § 106, et, pour les tnterprétBr, hoos avons invoqué l'inégalité des élémeats de Tonde. Une telle, causé ne doit pas agir seule, puisqu'icî ces éléments soii^ égaux, il convient donc de montrer l'autre cause qui, entièrement ici et partiellement au § i06, produit ce rapprochement.

DIFFRilGTiOBI.

-Ici , où nos éléments sont égaux , les rayons réalisent le cas de petites forces appliquées en un point, égales et anguiairement équidistantes. Quand, les retards partant de zéro vont jusqu'à X , 2X, . . . , les forces correspondantes garnissent un nombre exact de circonférences^ et alors, mais «seulement alors, leur résultante est nulle. C*est le cas des minima. Gomment se fait-il maintenant qu'elles ne donnent pas les plus grandes résultantes au moment précis oh elles garnissent un nombre exact de demi-circonférences, trois, par exemple? Cela tient à ce que si, qgand on les resserré un peu ^ ce qui . s'obtient en changeant légèrement la direction du faisceau , il en reste moins pour former la résultante , la position de celles qui restent est plus avantageuse ; mais quand le nombre des circonférences garnies devient grand , le resserrement s'é^endant à toutes , enlève de suite tant de forces à la dernière demi- circonférence, qu'alors le retard capable 'du maximum fesse d'être sensiblement abaissé.

Voici la Table de Schwerd : . .

Coefficient de vitesse

Tt j sin ♦.

sînf ir Y sin *j ' TT - sin ♦

Intensité de la lumière =BV .

o,8io5

io5

o,Sooi

iSo

O,0tO0O

0 , oo58

sto4

GBAPITAE V.

Go«fficient de vitesse

sin ï ;r -j sin ♦ 1

Intensité de la lumièpe = BV-

3oo

o,oi65

La Table précédente qu'on doit prolonger jusqu^à un nombi^ fx

de degrés égal à tt — j sert pour toutes les ouvertures. Ayant la valeur

fx*» = TT — sin i,

qui donnç un maximum ou un minimum, on en déduit

smO =

de sorte que tes sinus des angles de déviation sont proportionr^els à \ et inverses de X. Ainsi Ton retrouve les lois que Fraunhofer avait découvertes, en attribuant toutefois aux angles les relations qui doivent porter sur les sinus. Enfin , nous remarquons que x çt ^ entrant symétriquement dans la formule (page 200), l'effet, dans \\né direction , reste le même quand on échange entre elles les inclinaisons des faisceaux incidents et diffractés. Remarque déjà faite au § 115, mais pour un cas particulier.

§ 119. — Ai^areil qui donne les diffractions parallèle et convergente.

Lés phénomènes de diffraction parallèle propres aux diverses directions, ne sont réalisables quesurla réliqe d'un œil infiniment presbyte. Quand on veut les recevoir sur

DIFFRACTION. 2o5

un écran, ou n'y réussit pas, et Ton obtient, au lieu d'eux, des phénomènes de diffraction ^otwergente. Quand Péten-due des faisceaux , limitée par celle des réseaux , est assez faible pour. -rendre, peu marqués les empiétements qu'engendrent inévitablement, sur un écran dçnt la distance est finie, des systèmes continus de faisceaux parallèles, les phénoniènes obtenus^ diffèrent peu, il est vrai, de ceux que nous étudions spécialement; mais il cesserait d'en être ainsi si, dans un intérêt quelconque,, par exemple pour avoir plus d'intensité, on étendait les traits du réseau à de grandes surfaces, fn pareil cas, l'étude, des phénomènes, tels que les verriiit un œil ordinaire, ou tels qu'ils apparaîtraient sur un écraîi, n'aurait plus de rapport avec les résultats du calcul, el l'on n'y pourrait plus chercher la vérification des formules : une disposition expérimentale qui , tout en faisant converger sur un même point d'un écran les rayons d'un faisceau incident parallèle, leur laisserait cependant les di& férencesde route caractéristiques de ladiâraction parallèle, aurait donc un gcand intérêt. Ony arrive comme il suit, eii utilisant les propriétés des lentilles étudiées à la findu § 31 ^ Mettons Fouyerture étroite ab contre l'objectif d'une lunette, perpendiculairement à son ^xe, et présentons-lui obliquement un faisceau incident parallèle [fig* 63). Si nous interrogeons, avec ou sans l'oculaire, le point F situé ' sur cet axe à la distance, focale principale, le faisceau con.vergent aêF envoyé par voie de diffraction en F, se conjugue, aiif point de vue de la i-éfraction , avec ui^ faisceau incident aèyd parallèle à l'axe OF, etjes chemins comptés depuis F jusqu'à une ligne quelconque, 7^, jliv ou a6,'normale à l'axe, sont équivalents pour tous les- rayoii's du fais- . ceau^ dfe sorte que les rayons <liffracté5 qui se sont rassem-^ blés en F, après avoir subi l'action de la lentille, n^ont que les retards contractés jusqu'en «6, retards compris entre l'onde arrivante a t. et la ligneaê, et sont comme si ,^ reçus normalement sur le réseau, ils s'en éloignaient dans la

lèo6 GHAl>ItllE V.

direction obliquer ri. En changeant la direction du faisceau arrivant abûta, on verrait se succéder au même poifitFles effets de diffraction parallèle qu'une lumière incidente normale produirait derrière la tente dans tôuteè' les directions.

Si le point F donne les effets de diffraction pour l'un * des deux cas simples équivalents , ^ = o, 4> =; o, un autre point quelconque E du champ de Tinstrument résumera ceux qui conviennent à une direction marquée par Taxe secoiKlaire£0. Traçons le faisceau parallèle extérieur aSpa qui engendrerait ëaE par voie dé réfraction, et menons par 6 ou par a, les droites 6p, oiq perpendiculaires à chacune des droites parallèles EO, a*, Sp. Les chemins compris entre p et la parallèle 6/;, seront (§31) équivalents pour tous les rayons, et les différences dues à la diffraction seront comprises entre les deuk droites S/rjOr, . comme s'il s'agissait d'un faisceau parallèle arrivant dans l'Mtie des deut directions a a, (ra. et se diffractant dans Vautre direction cca oa a a. Si nous laissoms de côté la supposition d'un changement de direction dans le faisceau aiaë, ce qui donnerait au point E leS cas de diffraction parallèle constitués par l'association de diverses valeurs de y^ avec une valeur constante de 4>, et si nous nous bornons à

' considérer l'ensemble des phénomènes engendrés à la fois aux divers points F, E, H,... par le seul faisceau àJaS, nous en conclurons que le dessin grossi par l'oculaire, sera rigoureusement le même pour tous les yéui, et correspondra au cas de j^ constant et de 4* quelcotique qui vient d'être traité. D'ailleurs il va -sans dire qu'en substituant, en avant

. de l'objectif, au disque armé de la fente, un autre disque porteur de l'un quelconque des réseaux qu'on peut imaginer, on réalisera pour ce réseau l'une des innoinbrables conditions propres à la diffractioii parallèle, à savoir la diffraction normale, si le faisceau admis sur l'instrument arrive suivant l'axe, et une diffraction parallèle plus du

moins oblique, si le faiscçau ^arrive de côté. C'est avec un appareil ainsi étaMi que Schwerd a observé les nombreux effets de diffraction parallèles qu'il a calculés.

Si Ton enfonce l'oculaire de manière à observer en F'E', on retombe sur la diffraction convergente étudiée- au §106, et pour laquelle les calcula njô peuvent aboutir exaètem^nt ; mais pour se retrouver dans des conditions vraiment analogues, il faut supposer le faisceau arrivant, normal au réseau. Le lecteur qui voudrait approfondir les diffractions obtenues dans l'appareil de Schwerd , au delà comme en deçà du foyer principal, fera bien de se reporter d'abord au § 32, qui traite la même question pour les deux rayobs de l'expérience de Young.

§. 1^. — Gas du trapèze. — Pren^ière intégration.

Soit(>?g'.64) -NPQR le plan qui contient rouverlure quadrangulaire ÂBCD^ NPQ'R.' le plan normal au faisceau parallèle incident , NPQ'^R" un plan normal à la direction dans laquelle on veut estimer la lumière diffractée ; NP, NF les intersections dès deux derniers plans kvec le premier, et N le point commun aux trois plans. Si lonabaisSCj des quatre somnaels A, B, C, D, des perpendiculaires/^i, pt'tPz'i fit q\^ qiy qit 94 sur les deux derniers plans, les différences 7, — />, , qi — p^, q^—p^, q* — Pi exprimeront -encore ce dont les chemins inégaux , décrits par les rayons des sommets, excéderont une partie a^mmune. En appelant toujours X et 4> les dièdres compris entre le plan de la fente et lés deux plans normaux; />i y /'s? • • • » ^i > ^3^ . • seront égaux aux produite de sin X ou sin <D par d'autres . perpendiculaires abaissées des quatre sommets sur les intersections NP et NP'.

Soient a , ^ , c, ^ les quatre côtés du trapèze ; d, V, y , y', ?, l^ lés angles que font ces côtés avec les droites NP, NP' ; soit de plus AL =s € , »AL' 2= t'f on aura

. /7,=rAA' sin;^ = êsinffsin:^,

/î2 = (6 H- fl ) sin (j sin ^, Pi ::^ CC' sin X = (BB' — B7) sin x = [(6 H- ^.) sïntr— b sin «p] sin Xv />4 = Dp' siti X =F ( A A' — A(î)sinx = (Ssino- — rfsinÇ)sinx?

2o8 CHAPITRE V.

9 , =:A A" sin <I> = 6' sin ff' sin 4» ,

^, =: (6' 4- il ) sîny sin ^ ,

^3 = [(6' 4- a) sin ff'— b sin f '] siti O,

^4 = (6' »n </ — d sin Ç') sinO.

Pour rintelligence de ce qui va suivre, noas signalons au lecteur les deux séries de trapèzes birectangulakes que forment, avec certaines lignes, communes aux deux séries, situées dans le plan du trapèze, et avec d^autres lignes situées dans les plans NPQ^R', NP' Q" R'% les perpendiculaires Pt9 ptf* ^9 ÇtyÇ^y * -y et nous le prévenons que c*est par eux qu'il établira sans peine les diverses proportionnalités dont il va être question.

Prenons AD pour axe des a: et AB pour axe des /> et soient.or^ les coordonnées d'un élément quelconque g du trapèze; il s'agit d'avoir sa phase et son coefficient de vitesse.

Pour A le retard est ^i — /?, , pour D il vaut g^ — />y Pour un point e pris sur AD à la distance Ae:=x, les deux couples de triangles rectangles semblables, situés dans le plsui des trapèzes ADjjpxy ADqqi et ayant pour hypoténuses AD, Ae, montrent

qu'il faut ajouter à ^, — /?, une partie aliquote marquée par - de

la variation totale

c'est-à dire

Si nous multiplions par —, nous aurons, pour la phase du rayon diffracté qui passe en é?,

La ligne ef, menée par le points parallèlement aux côtés /i

C* ) Nouft convenons des notations suivantes :

DIFFRACTIOn. 209

et c, vaut

Le i^tard 4u point /qui la termine^ obtenu comme celui du ppinttf^est ^

Le point g quelconque, pris sui^ cette ligne à une distance

aura pour retard celui de e^ ^lu« une fraction -, — de

l'accroissement

que subit le retard de e en/. Bref, si nous prenons l'excès de sa

ait ■>• ' ~

phase sur celle — (^ — P)* ^" rayon qui est dîffrarté au sommet Ay nous aurons pour son anomalie

Le coefficient de vitesse est proportionnel à l'élément de la surface, lequel, avec nos coordonnées obliques, a la forme d'un parallélogramme eX vaut

dxdjr sin DAB = tlxdx sin a ,

en désignant par a l'augle A du trapèze. L'intensité et k phase de la résultante de tous les ra3rons transiuis par le trapèae dépendent donc des deux intégrales doubles

j djcdfcosffiy I dxdy sinf^y qu'il faut prendre d'abord entre les limites.

2IO GHAPiTIIB.V.

puis de .

X = o à ;r = rf.

En posant ,

les intégrales sont

jdx / //jr cos f E + - j j ,

et Ton a

J^r sin (e -f. |r) = C - ? ces (e + 1 r)j' = o donne

donne

C4-^sînE et C — ^cosE,

C4-- sin(E-hG) et C — - cos{E -f- G);

de sorte que les intégrales définies sont Tune une différence de sinus, et l'autre une différence de comdus. Si l'oA transforme ce» différences en produits, il vient pour ta première '

et pour la deuxième

(2) 2- sin^E-f- - jsin

sm —

§ 121. —, Deuxième intégration.

.F et G coptiennent .r et semblent rendre impossible l'Autre

F intégration ; mais il n'en est rien , car p, est le quotient de la lon-

goeilr d'une transversale ef du trapèze par la différence des phases aux 'deux bouts. Or on s'assurern sans peine que, dans toute rétendue du trapèze, un pareil quotient est constant, et qu'il possède ainsi la valeur

2lr

que lui accorde la transversale particulière AB. Après cette substitution , rintégrale en x réussit aisément , mais l'une des intégrales définies se trouve ayoir quatre termes^ et l'autre trois; il en résulte que la formation de leurs carrés, et surtout les réduc> tiens que comporte la somme de ces carrés^ sont un peu longues et délicates. Pour échapper à cette complication^ nous allons interpréter ces premières intégrales qui donnent l'anomalie et l'io*. tensité de la résultante d'une bande transversale dont les dimensions sont i!f et dxj et profiter de cette interprétation pour simplifier les deuxièmes intégrales.

On obtient tang^|; en divisant (2) par (i). + est donc égal à,

c* Eh 9 c'est-à-dire, d'après la signification des quantités E, G,

à l'anomalie du point milieu de là bande. On obtient fi en éle^ vaut (i) et [7) au carré, ajoutant ces carrés, rétablissant les fi^cteurs omis; cela donne un carré parfait, à savoir celui de

2 dlr sm a — sm -— G 2

Cette quantité, qui vaut

2d^sm0c ' sm— >

est donc le coefficient de vitesse de la résultanteà

Or Eh — se réduit et vaut

maisr- (q — /')a-i est Tanomalie du milieu du côté AB. On peut

donc convenir de soustraire cette quantité, des anomalies de toutes ks bandes transversales, ce qui revient à prendre pour premier rayon celui qui part du milieu de ce côté. On a alors à chercher la résultante de rayons échelonnés le long de la ligne qui joint les milieux des deiix bases du trapèze, rayons qui ont pour anomalies

et dont les coefficients de vite$se, également dépendants de .t, sont

, . F . G 2 r^ sin a - sm - ; .

'F sin « etp étant constants, Tanomalie 4>, et l'intensité B] de cette

nouvelle résultante dépendent des deux intégrales

/dx sin - cosKx , l dx sin - sin R Xr

que nous écrirons ainsi

I dx^n (L 4- Mot) cosKx, I dxsm{L -h M.r) sinKo^, en po&int dans G

' ^intégration par parties donne sans peine I dx sin (L + M jr) cosKjc

= — — -- K sin Kx sin (L -+- Mx) -f- M cosRjr ces (L 4- Mx) U

i iùrsin(L + Mx)sinK^

= ■■ j — KcosK^sin(L-|-M:r)+MsinKjE'cos(L-f-M-r) j«

DiFFRAGTtoN. 2l3

Pour jc z= àf la première devient

et la seconde .

—KsinL K»— M'*

Pour j: =;= <i il suffit de remplacer x par d , dans les expression^ générales.

Les deux intégrales défiiiiés ont donc chacune trois termes; on évite^ comme îl suit, la complication qu'amènera leur élévation au carré. K et M sont l'un là somme et l'autre la différence des deux quantités

en les dédoublant, on obtient, après des réductions évidentes, pour la parenthèse dé la première intégrale définie,

et pour la parenthèse de hi sëconrde,

/ « Vr M~K A . /M — K \ l — 2RCOS ILh </] sm( d\

^^^ ï ' r^^ L M + K \ . /M-f-K A r-. awr cos f L H d\ smf — d\ -

Laissons dé côté leiir quotient qui donnerait l'anomalie \|;» , et occupoBs-nous seulement de Tintensité. Si i^ous négligeons d'abord

le facteuî' commun — — —'i la somme des carrés, simplifiée par

des réductions évidentes , sera

R»sin'(— : d\ + T'sin' ( .■■■ d\

I + aTftsin {^^Z^À sin(?î^^ Acos(2L + My/) ;

ai4 CHAPIi:R£y.

or on a.

K' - M'= (K - M) (K + M) = (2 i ^y (^ -;.),«, (^ -../>),^,. Il suffit maintenant de rétablir les facteurs

' 2^(gr — /?),^.

omis à deux reprises, et de remplacer par leurs valeurs les lettres R, Ty M , K; mais avant d'écrire la valeur qui en résulte pour B,». nous ferons subir une transformation au facteur qui multiplie le trinôme (5). Ce facteur, quand on aura réparti convenablement, au-dessous des sinus du trinôme, les arcs correspondants, se trouvera avoir pour expression

fl'rf'sin'a

La surface S du trapèze est

a sm a ;

or on a

d'où componendo

a -h c (7 — p)7-i-hi-k '

Donc on a

tf rfsin a (7 — 7?)a,+3-4

DIFFRACTION. ai 5

et , par suite, le facteur extérieur vaut

ïr-^ T

Remplaçons enfin , comme au § ttB, S par Scos/» pour tenir compte de l'obliquité des rayons, nous aurons

«n ^ (?--- P)*-^ MOy (^ ^/^X-.

' — 2 -^ — COS - (q — />)3+,,., I

Four introduire dans cette expression les paramètres primor diaux, il suffirait de remplacer les quantités Pf Pu»", q, qt,--- par leurs expressions données au précédent paragraphe. C'est ce que nous ferons bientôt pour quelques cas particuliers. Nous donnerons aussi, dans quelques-uns de ces cas, la phase du rayon résul« tant, dont la tangente s^obtiendra en divisant l'un par l'autre les polynémes (4 ) et ( 3 ) .

Un dernier mot sur le caractère analytique du cas de composi* lion des mouvements vibratoires qui vient d^étre traité. En recourant, comme nous venons de le faire , au calcul intégral , on a , dans lesexpressîons.y&cosy, y^siny du § ilK, des phases y linéaires en or, et pour les coefficients 6, des sinus d'arcs également linéaires en j; ; mais aVec les rayons discontinus de Schwerd , et les phases ei les arcs dont les sinus forment les coefficients &, varieraient en progression arithmétique.

§ 122. — Cts du parallélagraiiune..

En en appelant, comme nous l'avons déjà fait, aux trapèzes projetants et aux triangles qu'ils donnent; on voit sans calcul que

2l6 .CHAPITRE V.

pour cette figure on a . -•

il en résulte que l'intensité devient ^ en écrivant B au lieu de B,,

[sin^(y— /?)3, I rsin^(y— /»),^, \

B^= (Scosx)

Le parallélogramme donne

on trouve alors

{q — r p)i^i == è (sin ç sin X — «n <j>' sin *) ,

(^ — /'ja-i = û (sin (t' sin * — sin er sin X ) , et eMn

Isin I -r û (sin a' sin ♦ — sïn a sin x)\\

B'= (3CÎ>SX>' [— ^^^ ; J

isin 1

^ A i(«in f sinx *-' sin i^' sin 0)

Si Ton forme le quotient des polynômes (4) et. (3) du § i«l, on a

R.=='T.M - K .= -- (M 4- Ki/

DIFFRACTION. 21 7

et enfin

si Ton se rappelle que la phase est rapportée au milieia du côté n, on en conclara que la phase résultante est celle du rayon qui pa$se. au' point de croisement des iliagonales.

§ 123. — Disciassion.

Quand les rayons incidents sont normaux à l'ouverture, on a

[sin ( Y ^ si" cr' sin <l> j 1 1 sin f •- ^ sin 7' stn O | 1 - a sin cr' sin <Iv 1 1 -^-h sin f^' sin <l> 1

Cette expression y que nous allons discuter, est doublement périodique et est annulée pour toutes les directions <I> qui satisfont à Tune des deux conditions

sin c' sin «^ =i: ± /yi - ) " sin cp' sin «^ = ± /» t*

On peut aisément construire ces produits de sinus et arri^ver ainsi, comme au § 1 10, à une représentation géométrique du phénomène. Comme il ne s*agit îd que de directions, le point autour duquel on établit cette construction peut être quelconque. Noiïs choisirons le point N, intersection de iios trois plans.

Dans l'espace, la construction consisterait à décrire,' autour <de Ny une sphère d'un rayon quelconque, égal à i par exemple ( on peut y voir la sur£ace de la rétine de Fœil infiniment presbyte), puis à déterminer sur elle les intersections des rayons vecteurs pour lequels les relations précédentes sont satisfaites; mais il est visible qu'on peut échanger ces lieux géométriques dans l'espace contre d'autres lieux situés sur un plan, en les projetant orthogonalement sur un grand cercle de la sphère. Si le plan de ce grand cercle est celui de l'ouverture, nous allons voir que ces deniiers lieux consistent en deux réseaux de droites parallèles dont les directions sont normales aux côtés du parallélogramme. Imaginons, en effet, le rayon vecteur NT = 1 normal au plan NP' Q" R", il se projette sur le plan de l'ouverture, suivant NT' perpendiculaire

3l8 CfiAPITM V.

à NP', et fait avec sa projectioa i'angle 90 7- <t>, donnante. dès*' lors

NT'rrsino.

Paisqu'elle est perpeadicakire à NP', cette projection fait avec une parallèle NA. au côté AB, l'angle a' — 90. Si donc on la projette maintenant sur lïAi on aura pour Na„ longueur de cette deuxième projection ,

Na, = sin4> sincr';

or il est visible que tous les rayons vecteurs dont la première pro. jection se terminera sur la droite ^iT' auront la même deuxième projection N a, ; si donc on prend

on aura une première série de lieux plans i&bscurs, correspondants dans Tespace à d'autres lieux qui seraient les intersections de la sphère par les plan> orthogonaux correspondants. Ne seront à considérer parmi ces parallèles, que celles qui tombent dans Tintérieur du grand cercle. Le second facteur donne de même sur la sphère une série de cercles obscurs qui se projettent sur le plan de l'ouverture, suivant un nombre limité de droites parallèles et équidistantes, normales aux deux autres côtés b eï d àw parallélo* gramme. Comme, entre deux minima, il y a nécessairement |iu maximum , il suit que les spectres seront contenus dans des paralléibgrammes semblables à Touverture, mais orientés rectangulaire-

liient, et Ton peut ajouter inversement, puis(|ue les.fiacteurs -> y

rendent moindres les intervalles qui répondent au plus grand côté.

On peut échanger les distances N^ii =:->NA,=3:-7» caractéristiques des deux systèmes de parallèles , contre d'autres distances obliques N«2, N"^,, comptées le long des droites NB,, NA2 respectivement perpendiculaires aux côtés; on aura

Na, =r N«a cosAiNB, = Na, sin BAD.

Soit h' la dislance des deux côtés 6, /i, on a (fig, 66)

DIFFRACTION. 219

de sorte <\ue a^Hoi, ou bieû asiner^^n^ vaut A'N/7,. On peut de même échanger à sin tf' sin <I> contre AN ^,; de sorte que, pour obtenir le réseau délimit^teur des spectres, il sufdt de porter, à partir du point N, sur les droites NA2, NB, , des quantités respectivement égales à ±77 ± 2 — • • • pour Tune, et à rfc- ± 2 t* • •.

pour l'autre, et de mener, par ces -points, des parallèles, les unes à NAa, les autres à NB,. La fig.^ donne le réseau des projections des lignes obscures pour un parallélogramme ABGO dans lequel

les hauteurs A', h sont comme 2 et i , et pour les cas où -77 est environ — Les parallélogrammes qui sont près de la circonférence,

correspondant à des rayons très- déviés, la lumière qui éclaire leur

intérieur sera très-affaiblie et les spectres qu'ils contiennent pourront n*étre pa$ visibles. Pour obtenir, dans une direction quelconque correspondante à Tintérieur d'un parallélogramme, l'intensité et la couleur, il faudrait calculer pour chaque rayon , dans cette direction, la valeur numérique des deux facteurs variables. Comme ils sont tous deux formés par le rapport d'un sinus à son arc, on recourra à la Tablé du § 118.

On conçoit qu'il y ait de grandes différences dans l'intensité des spectres, même pour des parallélogrammes équidistants de celui A'B'C'D' que remplit la lumière directe. Si , par exemple, l'ouver" ture est un rectangle^ pour le milieu des spectres compris entre les

côtés prolongés, Tun des facteurs, sous la forme -9 prend sa valeur

maximum i (*), et ces spectres sont beaucoup plus vifs que ceux qui sont dans les angles de la croix. Si le rectangle est très-allôngé et dégénère en fente (§ li8), les spectres situés entre les grands côtés prolongés se rapprochent jusqu'à devenir inappréciables. Quand l'incidence est quelconque, on peut, d'une manière aiia-

(*) En effet, les rayons incidents étant toujours normaux, on a, pour ]*nn de ces azimuts

sin a*' = 0 , et pour r«Hlrc

sin »'= o.

a20 «UAPITAÊ V,

logué, trouver sur le plan de. rouvêr^ure,. des ligues qui représen; tent les binômes

sinff'sint^ — sin^rsin^^ (sinysin^ — sin/ sin*),

mais nous laisserons au lecteur le soin de cette généralisation que Schwerd a développée. . ^ ,

§ 124. — Cas da trapèze isocèle.

Coïkime Tétude de ce cas n'a d autre intérêt que de conduire à l'ouverture circulaire , nous supposerons l'intersection NP' perpendiculaire aux deux côtés parallèles; nous supposerons de plus ^ = o , il en résulte

b = dy /?,=/?, =/?3=/?4= o, <y' = -» 5'==? — 'P-,

Si l'on supprime les accents devenus inutiles et si on opère les substitutions dans les formules des §§ 180 et 181, on a

73-j=== — 6sinfsin<I>y ^4-1 = ^ sinysia^, > ^a+j-^-i = 2 (a — 6 sin (p) sin <t> ;

il en resuite que dansB' les deux carrés deviennent égaux, et que, si Ton remplace le cosinus par le sinus de Tare moitié,^ on a

/l sin-^^sin^sinO IV /lsin-^(a — isinf)sin<fr j\

- ^ sin y sin * / \ t- (a — «^ ^ sin^) sin <ç

Si l on accommode pour ce cas le quotient *v t ■ • -^ on trouve

jbcosy

sans peine

1 n , tang ^ = tang - - q'^2^y^^ ,

iVoii

DIFFRACTION. 221

mais

donc

i|; = - (rt 4- 2 6) sin *.

Cette expression , comme celle de B, montre que le cas du cercle ne rentre pas dans les cas des §§ 180, 181 pour lesquels les calculs réussissent, et quUi faudra se contenter d'approximation.

§ 125. — Cas du cercle {fg, 67).

Supposons notre trapèze isocèle inscrit dans une circonférence de diamèure D , de sorte que les deux côtés égaux puissent être supposés appartenir à un polynôme régulier, d'un nombre n de côtés. On a, entre les côtés 6, a et le diamètre D, les relations

^ =r D sin - » a = D cos (9 K

on a aussi

il -en résulte •

sinl -X)sin«psin-sin* ) sin ( -Dcosçcos-sin* 1

b = s-AL__Jî L v^ " /.

rDtinosin-sm^ -Dcosçcos-sm*

-ij; ±r 2 - L' O sin *.

La surface S du trapèze, exprimée à l'aide de ces nouveaux paramètres, est

S = - Dcos U— - Wdcos (f +^ j Dsin-costp.

cos' 9 cos - sm -

TT . TT . , n n

en désignant par (5) la surface du cercle vers laquelle doit con-

2(22 ■ - CHAWTBE.V.

verger le polynôme formé par les trapèzes. Remplaçons S dans B, par cette nouvelle valeur ef nous aurons