ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE

Cristaux uniaxes et |>iaxés. — Ancienne construction de la loi de Descaries. — NoiiYelle construction plus féconde. — On l'étend à l'espace. ~ Que faut-il pour qu'on ait la première loi de Descartes? — Que faut-il en outre pour qu'on ait la deuxième? — Le rayon ordinaire d*un biréfringent uniaxe se construit à l'aide d'une sphère; — et l'extraordinaire par un ellipsoïde. — Vérification expérimentale de cette loi due à Huyghens. ^ Imperfections de la nouYcUe construction d'un rayon réfracté. — Construction plus parfaite et plus générale. — On démontre son exactitude. — < Obliquité des rayons sur l'onde. — Coup d'œil anticipé sur la réfraction biaxe. — Ce que devient la construction .générale pour une face perpendiculaire à Taxe. — Si Tincidence est normale, ou n'a qu'un rayon et ce rayon reste unique, même en sortant obliquement. — Avec d'au très faces d'entrée, le rayon qui ne se divise pas n'est plus le rayon normal. — Cas d'une face parallèle à l'axe. — L'indivision ne se maintient pl-us nécessairement à la sortie. — Cas des sections principales. — Face d'entrée qui . donne, sous l'incidence normale, l'écart maximum. — Deux angles limites pour le rayon extraordinaire. — Prismes auxiliaires. — Réflexion iptérieurè. — Double réfraction du quartz. — Double réfraction répulsive ou négative, attractive ou positive. — Problèmes divers. — Expérience de Monge. -* Projection des deux images d'un quartz parallèle.

§ 138. — But du chapitre.

Il existe entre la double réfraction et la polarisation des rapports tellement intimes , qu^une connaissance préalable de chacune de ces deux études est indispensable si on veut que l'autre ne soit pas trop incomplète. Cette dépendance mutuelle nous oblige a revenir à deux reprises sur la double

B0U3LE AlÉFAAGTIOltf UNIAXE. a4S

réfraction, >f à nous contenter d'abord d'une élude restreinte , sûbordoiinée pour ainsi dire aux besoins de là polarisation* A un autre pointée vue, une^ pareille division n'est pas moins nécessaire :* en effet, la double réfraction est si riche en détails et comprend des parties tellement délicates, que, malgré rexlrème simplicité relative que des travaux récents permettent d'introduire dans son exposition, il est bon cependant de n'en aborder que tardivement les parties les plus difficiles.

Au point de vue Bistorique, le phénomène fondamental de la double réfraction est la bifurcation qu'éprouve un rayon de lumière, transmis dans la chambre obscure, au travers d'une lame de spath ^Islande à faces parallèles; ou, ce qui revient au même, la double image dçs^ objets obtenue par l'interposition de ce cristal. Quelles sont les lois qui rattachent au rayon incident les directions des deux rayons réfractés qui en sont issus ? Telle est la question que nous allons résoudre dans. ce chapitre, en nous bornant cependant à *la considération d'un cas particulier.

Pour donner une idée exacte du but restreint que nous nous proposons d'atteindre, nous dirons que la réfraction est simple quand la substance est amorphe , ou que , cris=tallisée, elle appartient au système régulier. Quand les cristaux rentrent dans l'un des cinq autres systèmes cristallins, ou quand on détruit par des actions mécaniques , l'homogénéité des corps ujiiréfringents, il y a double réfraction. Mais s'il s'agit de cristaux de l'un des deux systèmes, prisme à base carrée et rhojiiboèdre (doués , on le sait, de la symétrie par rapport à une droite) , l'un des rayons, on l'appelle or^mûzre, suit les deux lois de I)escartes, l'autre seul &en écarte, et notre principale étude va consistera réchercher quelles lois, à défaut de celles de Descartes, président à la marche de ce rayon qu'on appelle extraordî" noire. De tels cristaux se nomment bir^ringents uniaxes, parce qu'on a reconnu que la double réfraction y acceptait.

a46 ç^AprrpB vi.

comme la cristallisatioii, la symétrie, par rapport ii une droite^ cette droite est encore l'axe minëralc^^e, mais, au'poiat dç vue de ces nouVdW fonctions , on Tappelle ojùe optique», Est*on au contraire dans le cas général de trois axes minéralogiques inégaux y il n'y a plus de rayon ordinaire^t 1^^^ .deux lois de Descartes sont aussi bien violées par Vuu (jue par l'autre. l\ y a plus : la routa de chacun d'eux est en^èrement distincte de celle du rayon extraordinaire d'un uniaxe. Ce sont ces substances fôumies.par les trois darniçis systèmes cristallins dont nous réservons Tëtude^ pour un deuxième chapitre. On les appelle biréfringents biojçesj parce que les phénomèiaes ont une certaine symér trie par rapport à dei^x droites qui dépendent sans doute des axes minéralogiques , mais qui ne s'y rattachent pas d'une manière con&lante et se nomment encore axesop^ tiques^

§ 199. — Gonstmctlons de la loi des sinus.

Pour mettre en place un rayon soumis aux deux lois de Descartes, on sait, qu'il faut.décrirè du point d'incidence a comme centre, avec un rayon quelconque et dans le plan d^incidence, une circonférence {fig- 6$), mener par le point A où elle esit rencontrée par le rayon incident, la ligne AP perpendiculaire à la normale rtlî, chercher ^ur PA un point R qui donne PRiPA :: i :n, mener RM parallèle à «N,- et enfin joindre a M; le prolongement aB de cette droite sera le rayon réfracté. Or ce diagramme Constitue un point de vue infécond qui n'achemine auc5unement vers les constructions qui conviendront à la double réfraction.

Il n'en est pas de même de cette autre construction , qui consiste à décrire encore une circonférence, d*un rayon quelconque R, puis à prendre, att delà du poînl d'încidiente, sur la ligne de séparation des deux milieux, une

distance ad==z -r—.% et et;i£in à mener par le point r2, à. la

DOUBLE RÉPHACTION tJNIAXE . 247

demi^irconfiârence' comprise dans le second milieu, ki tan* gente db. JLe point de oontact est lur Je rayon rëfracié', qui se trouve dès lors déierminé, et satisfait, comme on s'en

convaincra sans- peine, à la loi sîn r = • Ordinairement,

et nous nous en tiendrons à cette épure simplifiée, au lieu^

de prendre R quelconque, on pose R = -» ce qui rend la

distance ad éeale à -r^« *

^ sini

L'avantage de cette deuxième construction lui \ient de

ce qu'elle ne fait que reproduire la figure de la dén^nstra-

tion ondulatoire des lois de la réfraction (§ 28). Associons

en effet à notre rayon A a une foule de rayons parallèles

dont le dernier soit D^, et détacHons , par Tonde plane ad,

les retards que les divers rayons contractent, vis-à-vis du

premier, avant d'atteindre la surface ST. On aura.

«2jI = â^/ sin i = 1^ le rayonU qui vaut - se trouve donc être le chemin que le

premier rayon décrit dans le deuicième milieu, pendant que Je dernier rayon arrive à la surface, c'est-à-dire que nous retrouvons l^Jig» t5, avec cette seule particularité^ qu'au lieu de laisser au faisceau une. épaisseur quelconque , les conventiona admises L'astreignent à donner la différence

On voit de suite comment cette construction pourra se prêter à tous les cas. On prévoit que les réfractions extraordinaires offertes par les milieux hétérogènes viendront de ce que les ébranlements ne se propageront plus avec la même vitesse dans toutes les directions, et cesseront de donner des ondes sphériques. Mais quelle que soit la forme de ces ondes , la réfraction consistera toujourè^ en ce que , hormis pour des directions privilégiées , les mouvements dérivés, simultanément reçus par Toeil, s'enire-détruiront

^48 GHAPITRB VI

par voie d'inicrfcrence. Le» mouvenkenls épargnés ne cesseront pas d'être désignés et choisis, snr chaque onde élémentaire, par leur enveloppe qui sera encore l'onde réfractée 5 toujours ils devront de survivre, à ce qu'ils sont mouvements de première arrivée, et partant, mouvements contemporains. Or, quand l'onde incidente est plane, nous avons vu que le mode, de décroissance des ondes élémentaires réfractées était tel, que leur enveloppe était un plan qui pouvait s'obtenir en ne gardant qu'un certain nombre de ces ondes et en se dispensant de considérer les autres. Nous sommes ainsi conduit à rendre a la construction qui nous occupe, son vrai caractère de construction dans Fespace, .et à ire plus la restreindre i une figui*e plane.

§ 140. — Ce qu'elle devient dans l'espace.

Soit {fig» 70) un faisceau de rayons parallèles que nous délimitons par quatre plans, dont deux latéraux Ao^D, Gg'eE seront parallèles, et les deux autres perpendiculaires, au plan d'incidence. Us forment dans le premier milieu une onde plane ait g qui heurtera la surface de démarcation du deuxième milieu suivant les divers points du rectangle adeg. A Tinstant où la dernière tranche Hd'Ee des rayons incidents atteint la surface, le long de la ligne de^ le mouvement que les autres rayons ont successivement excité dans le deuxième milieu réside sur certaines sphères décroissantes dont les plus grandes appartiennent à la tranche

A a G g; et ont pour rayon ^ J — » ou bien - si l'on suppose

que le relard dd vaille i, et si Fon se rappelle que -7 = n.

Comme les mouvements des derniers rayons, confinés dans les divers points de la ligne de , ne se sont pas encore épanouis en sphères, cette ligne fait partie de l'enveloppe. Si nous menons par cette ligne un plan tangent à l'une des

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXG. 249

sphères engendrées par les premiers rayons, «t si nous adr mettonS (on s'en convaincra sans peiné) que ce plan sera également tangent, non-seijement aux autres sphères de la tranche Aag^G, mais encore a ut sphères intermédiaires suscitées par les autres tranches de rayons, notre enveloppe se trouvera complètement déterminée par celte double' cop^ dition : i^de passer par une ligne de^ située dans le plan

de démarcation des deux milieux y à la distance f^, — ; rfa

point d'incidence , et normale au plan d'incidence^ a** de toucher une sphère décrite du point d'incidence ai^ec le

rayon — Ainsi , au lieu d'une tangente à une courbe , la

vraie solution consiste à mener , par une droite , un plan tangent «n une surface.

^ § 141. — Son extension à tous les cas.

Quand les ondes élémentaires sont symétriques adroite et à. gauche du plan d'incidence, qu'en d'autres termes ce plan est pour elles un plan diamétraly le point de contact caractéristique d'un quelconque des rayons réfractés, reste dans le plan d'incidence propre au rayon incident correspondant, et Ton peut déduire cç rayon réfracté de son rayon incident, par une construction plane, opérée dans le plan d'incidence qui coïncide alors avec celui de réfraction .

Tout revient en effet à mener par le point distant de -: — :

^ ^ . smi

une tangente à la courbe diamétrale. Mais en dehors de ce

cas , le plan de réfraction se sépare du plan d incidence , et

il n'y a plus de première loi de Descartes. Quant .à la

deuxième loi, elle ne s'isole (*) qu'autant que la première

(*) L'angle de réfraction extraordinaire r« ou r', est en général dans une dépendance connexe de Pangle d'incidence i et de l'angle 9? compris entre le plan d'incidence et celui de réfraction extraordinaire. Pour qu'il ne dépende que de i , il faut que ^ soit nul ou droit.

a5o GHAPiTAB VI.

eu satiftfaile, cl alors elle dépend de la nature de la courbe diamétrale. Cette courbe est^elle un cM*cle^ on a la loi des sinus. Cette circonstance a constamment lieu avec des ondes spfaériques, et n'arrive plus qu accidentellement avec des ondes d'une autre forme. Est-ce une ellipse y la loi se complique beaucoup, mais nous verrons (§ 144) que pour certaines orientations de Tellipse, elle devient comme une loi de tangentes. Pour montrer dès à présent la fécondité du point de vue que nous ouvre celte construction, nous remarquerons qu'en dehors des ondes sphériques, la perpendicularlté des rayons réfractés sur Tonde n'a plus lieu (]u'acciden tellement.

Mais tout ceci suppose qu'en effet Tenveloppe résume les portions seules actives des ondes élémentaires. Ceci a ^té déjà établi (S%) pour des ondes circulaires, et, tant que les ondes sont sphériques, on peut s'en référer à cette démonstration. Mais avec des ondes quelconques, cette démonstration est à reprendre, c'est ce que nous ferons plus loin ($$150, i51). Nous prévenons également que la construction sur laquelle nous venons d'insister tant , quoique constituant par rapport au diagramme primitif ($ 139) un immense progrès , n'est pas à Tabri de reproches fondés , et qu'il nous faudra la modifier : ce remaniement sera égale* ment opéré très-incessamment ($ 148).

Revenant à notre sujet, nous voyons que le rayon ordinaire d'un biréfringent unia^e se construira par une sphère. Mais par quelle surface construire l'extraordinaire? Huyghens a fait voir il y a longtemps que c'était par un ellipsoïde de résfolution. Comment est-il arrivé à celte dérouverte difficile? A défaut de renseignements sûrs à cet égard, nous supposerons qu'il y est arrivé comme il suit, en tirant habilement parti de quelques expériences peu nombreuses mais choisies, et en fécondant par une induelion adroite, les lois partielles qu'elles révèlent. Pour ne pas nous distraire, nous énoncerons d'abord les résultats

DOUBLE. RBFHACnOH inUAXE. aiSi

sans notts CKXuper des mesures qu'elles supposent; -nous ne ferons connaître qu'ensuite (§ iHSj la méthode espérimentale qui a été. suivie , dans les meilleures vérifications en-* treprises sur la loi d'Huyghens. .

§ 142. — Première expérience.

Prenons un spath. avec les six faoes naturelles durhom* boïde, en le plaçant sur une ligne très-fine et le faisant tourner, nous aurons en général deux images parallèles placées Tune à côt^ de l'autre et à des niveaux différents. JVf ais pour chaque face nous trouverons une situation dû plan d'incidence qui met les images l'uue au-klessus de l'autre et réalise, par consequoit, la première loi de Des« cartes • II en sera de même avec des faces artificielles quelconques. Eh bien, on reconnaît qujC le plan d'incidence passe alors par l'axe crisiallographique et se confond avec ce qu'on appelle la section principale. {*) de la face.

§ 14^. — Deuxième expérience.

Cette expérience accordant à l'axe, un rôle important, abattons les deux sommets principaux du rhomboïde par deux plans perpendiculaires à l'axe, et regardons à travers ces faces un point très-fin. Si l'on vise normalement, on ne voit qu'une image; en visant dans des directions d'une obliquité croissante, on voit le point se dédoubler et fournir deux images dont l'écart et le dénivellement croissent. Mais si , sans déplacer l'œil , on £ait tourner le cristal dans son plan, les images restent aux mêmes lieux, c'est-à-dire que. si les rayons incidents sont groupés en cône droit autour de la normale , il en sera de même de chacune dea

( * ) Go appelle section principale d*ufie face le plan déterminé par Taxe da cristal et la normale à la faice. Chaque face a donc nne section principale et rien qu'une, hormis cependant la face perpendiculaire à Taxe; car, pour elle, la normale et Taxe se conroadanl, la section principale est indéterminée, et il jf en a autant que de plans normaux à la face , c'est-àdire une infinité.

deux sortes de rayons réfractés fournis par le cône incident. Cette indifféi^ence de la double réfraction , pour Voh rientation du plan d'incidence, n'avait pas lieu dans le cas précédent ; elle appartient exclasivement à ce système de faces -terminales. Si Ton mesure les angles z et r, on trouvera que l'un des rayons , celui de l'image la plus relevée donne un rapport constant de sinus, a savoir i,65. Quant à l'autre rayon , il n'accepte que la J)remière loi de Descartes.

§ 144. — Troisième expérience. — Indicé extraordinaire.

Taillons un spath sous la forme d'un parallélipipède rectangle (fig* 71), dont une .arête AA' soit parallèle à l'axe. Si le rayon incident û A est reçu dans le plan AF perpendiculaire à Taxe, on ne trouve plus de rayon extraordinaire^ tous deux sont soumis aux deux lois de Descartes, l'un avec l'indice x,65 déjà trouvé et l'autre avec l'indice i,48. Ce dernier indice, qui préside ainsi occasionnellement à là réfraction du deuxième rayon, s'appelle indice extraordinaire. Comme une connaissance exacte des indices importe^ on a taillé un prisme dont Tarète était parallèle à l'axe et, usant des méthodes connues, on a trouvé

Dans ce plan , les deux rayons se construisent donc par

( ^) Ces déterminations, étendues par Rudberg aux principales raies do spectre, (fni donné pour le spath et pour le quartz :