RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE

Distinction des vibrations longitudinales et des vibrations transversales; — des ondes longitudinales et des ondes transversales. ^- Coexistence des deux sortes d'ondes. — Leur inégale rapidité de transmission. — L*œil n*est sensible-qu'aux dernières. — Lumière naturelle. — Lumière polarisée. — LaTibration, normale aii plan de polarisation. — Réflexion de la lumière. — Principe des couples inséparables» — Adaptation de ce principe auK deux cas simples où la lumière est polarisée dans le premier et dans le secoAd agimut. — La loi de Brewster retrouvée. — Composition et décomposition des mouvements vibratoires qui, placés dans des azimuts diffcrents, ont les mêmes nœuds. — Rotation du plan de polarisation par réflexion, — par réfraction. — Cas des réflexions multiples. — Vérification indirecte des formules de réflexion. ~ Comment les deux rayons, l'un réfléchi , Tautce réfracté , issus d'un même rayon polarisé , peuvent se trouver polarisés à angle droit.

§ 231.— Transversalité des vibrations laminenses.

On connait deux modes de propagation des mouvements vibratoires. Dans l'un les excursions des particules, autour de leurs positions d'équilibre, sont dirigées dans le sens des rayons et, par conséquent, transversalement à l'onde 5 dans Tautre^ les vibrations s'exécutent dans le plan de Tonde et sont dès lors inclinées, (généralement à angle' droit) sur la direction des rayons. Le premier cas est celui des vibra-

38a CHAPITRE IX.

lions longitudinales et des ondes longitudinales : la propagation du mouvement dans les billes , et surtout les phénomènes du son en offrent des exemples. Le deuxième cas est celui des vibrations transi^ersales qui a pour types populaires les rides circulaires de l'eau et les serpentements de la corde tendue que Ton frappe transversalement.

Auquel de ces deux modes se rattache la lumière? Nous ne pouvons aller plus loin sans répondre à cette question capitale* Les travaux de Fresnel ne laissent aucun doute à cet égard. La lumière se propage par ondes transversales. Si la vibration a successivement, dans le plan de Tonde, toutes les orientations possibles, la lumière' est naturelle; elle est polarisée, quand les vibrations régularisées restent comprises avec le rayon dans un même plan.

Dans le chapitre consacré à la double réfraction théorique, nous aurons occasion de déduire de certains faits, une démonstration en règle de la transversalité des ondes lumineuses. Bornons-nous pour le moment à appuyer cette vérité par l'expérience suivante.

§ 232. — L'expérience de Toung avec la lumière polarisée.

L'expérience de Young (§ 20) peut se répéter avec de la lumière polarisée ; il suffit, pour cela, de placer sur les deux trous une tourmaline, ou encore d'incliner les miroirs de Fresnel sous Fangle Brewstérien. On obtient les franges, tout comme si la lumière était naturelle; mais, si au lieu d'être polarisés dans le même plan , les deux faisceaux le sont inversement ; si, par exemple, on a coupé en deux une tourmaline d'une épaisseur bien constante, et recouvert chaque trou d'une de ces deux moitiés en croisant leurs axes, alors on n'a plus de franges. Si, tournant une des moitiés, on revient graduellement au parallélisme des axes, les franges renaissent et reprennent graduellement leur intensité. Cette expérience, dont oh peut varier beau-

coup la forme, prouve (*) que les rayons polarisés à angle droit n'interfèrent pas. Quand de tels rayons issus d'un même point se superposent, au lieu des alternatives con* n.uc5 de lumière et d'ombre, ils donnent un éclairement constant. Or une telle déchéance est inexplicable avec des ondes longitudinales. Avec des vibrations transversales, au contraire, on comprend que Tantagonisme dispar9isse, dès que les vibrations sont rectangulaires , et l'on verra , en effet, que l'intensité de leur résultante est alors dans une indépendance absolue des retards qui peuvent affecter l'une d'elles. Donc, si l'on attribue la lumière à dés vibrations, il faut admettre qu'elles sont transversales.

§ 233. — Inanité des ondea longitudinales en optiqne.

Les vibrations longitudinales, portant toutes les particules de l'onde en avant ou en arrièredeleur position, occasionnent dans le milieu des condensation^ et des dilatations ; dans une onde transversale, au contraire, chaque particule se porte vers les autres particules de l'onde, emportées comme elle par un mouvement commim. Il en résulte qu'il n'y a dans le milieu ni condensation, ni dilatation. On pourra, suivant la constitution du milieu et le mode d'excitation, n'obtenir que l'une ou l'autre de ces deux ondes; mais on comprend qu'en général elles coexistent.

Cette coexistence a été signalée d'abord par les géomètres, qui ont montré de plus que leur vitesse de propagation était différente , . l'onde longitudinale allant deux fois plus vite; et tout récemment, M. Wertheim l'a. rendue trèsprobable, soit dans les tremblements déterre, soit dans diverses expériences d'acoustique, par exemple celles qui ont donné la vitesse du. son dans l'eau. On conçoit donc

{* ) Ainsi organisée Texpérience de Yoimg est complexe; nous verrons en effet qu'elle manque pour deux motifs. Si on voulait n'y laisser que Vobstacle de la rectangularité et la rendre concluante, il faudrait employer de la lumière préalablement polarisée.

que les physiciens se soient préoccupes île cette question : Que défient en optique Fonde longitudinale? Quelques-* uns accordent k l'éther une sorte d'incompressibilité qui l'empêche d'épouser les vibrations qui tendraient à rapprocher ses tranches , ou qui du moins amène une prompte extinction de pareils mouvements. Pour d'autres, au contraire , l'onde longitudinale existe ; mais la rétine n'est sensible. (^) qu'aux agitations transversales. Ce qu'il y a de clair, c'est que les vibrations longitudinales sont comme non avenues en optique, et qu'on peut les négliger sans erreur. Ce droit nous sera très-utile, quand nous fonderons la théorie de la double réfraction.

§ 234. ■— Le plan de polarisation normal à la vibration.

Si la définition du plan de polarisation avait été faite au point de vue théorique, on aurait sans doute pris le plan qui passe par le rayon et par la vibration; mais la théorie étant venue après coup, on a dû se contenter de rechercher la relation qui, de fait, existe entre la vibration et le plan de polarisation. La double réfraction va nous renseigner à cet égard. La propagation du rayon ordinaire ayant lieu avec une vitesse constante , il faut que sa vibration ait une relation constante avec Taxe du cristal. Comme elle doit déjà avoir avec le rayon, dont la direction peut être quelconque, la relation de perpendicularité, on en conclut qu'elle sera perpendiculaire au plan de ces. deux droites. Ainsi la vibration du rayon ordinaire est perpendiculaire à la section principale; donc le plan de polarisation est normal à la vibration. Ainsi dans une lame de tourmaline, par exemple, c'est la vibration parallèle à l'axe qui échappe à l'extinction.

(*) C'est ainsi qu*à la grande surprise des opérateurs on a reconnu que la rétine , si délicate pour la lumière, jouissait d'une autce espèce d'insensibilité. Elle peut subir sans douleur des tiraillements et des déchirements.

POLARISATION RfiCTILIGNE 385

O]^ peut arrivera la même coqclusion, eu partant du dichroïsme (§203). Supposons le cristal taillé en parallé-^ lipipède rectangle [fig- 1 20), dont deux faces ABCD, EFGH soifent perpendiculaires à l^axè. On admettra que la diversité des deux teintes obtenues avec la loupe dichrosoopique* à travers les faces latérales tient à la diversité de direction des deux vibrations propres aux deux rayons , et qu'une même teinte doit, quelles que soient les faces à travers les^ <]uelles on Tobserve , répondre à un même sens de vibration* Cela posé, la vibration qui donne, à travers deux faces latérales, le rayon ordinaire, ne peut être dans le plan de polarisation , car elle serait parallèle à l'axe et devrait res*ter telle dans le rayon indivisé qu'on obtient dans le. sens . de l'axe, puisque ce rayon ne donne, même après l'action dédoublante de la loupe dichroscopique , que la teinte ordinaire; mais alors elle serait longitudinale, et nous venons^ d'établir la transversalité des. vibrations lumineuses* Si, au contraire, la vibration est perpendiculaire au plan de polarisation, c'est la vibration extraordinaire qui devient longitudinale dans Taxe, et il n'en résulte aucun embarras, puisque le i^ayon extraordinaire n'existe plus dans cette direction.

On peut donner un troisième tour à cette argumentation en se fondant sur l'extinction du rayon ordinaire dansles tourmalines parallèles à l'axe, et sur l'opacité bien connue que présentent ces toiirmalines absorbantes quand elleà sont perpendiculaires à l'axe. Si l'on admet la transversalité, l'extinction complète du rayon naturel^ transmis dans le sens de l'axe, indique que les vibrations normales à l'axe ne peuvent se propager dans ce cristal, et quand la lumière n'est plus cfu'à demi éteinte à travers une lame parallèle, il faut que la vibration éteinte soit encore perpendiculaire à l'axe et, par conséquent, au plan de polarisa lion. Or ce rayon éteint est l'ordinaire ; donc la vibration de ce rayon, et par I. 25

conséquent celle d'un rayon polarisé, est à angle droit sur le plan de polarisation.

§ 23S. — Comment se prppagent les vibrations transversales?

La propagation d'un mouvement vibratoire détermine dans les particules du milieu, une série de vkesses et d'éloDgations périodiques qui se représentent par des sinusoïdes. Quand il s'agit de vibrations longitudinales, en acoustique par exemple , les ordonnées caractéristiques se trouvent à angle droit sur la direction du mouvement. En optique , ces courbes .ont bien plus d'à-propos , car elles représentent en grandeur et en direction les vitesses et les élongations. Si Ton connaissait l'écart latéral maximum des particules , la courbe des élongations donnerait les positions vraies qu'ont au même instant les particules déposi* taires du mouvement. Ses nœuds coïncident avec telles qui sont en train de passer par leur position d'équilibre.

Comment des vibrations transversales passent-elles, sans perdre leur caractère, d'une tranche à la suivante? Imaginons avecFresnel (fig* lai) des tranches de particules A, B, C, D, E,...» Ai,Bi, Cl, Di, Ej,..., etc., et supposons les premières portées à gauche en a, &, c, £/,... d'une quantité e très-petite et égale pour toutes. Les particules a^b^c. situées à gauche deDi s'étant éloignées d'elle l'attireront et les particules e^ f, g,,., la repousseront. Si le déplacement est très>pcu de chose par rapport à la distance DDi , ces forces attractives et répulsives seront égales deux à deux, et leur résultante entraînera Di vers la gauche. Il en sera de même des autres particules de la deuxième tranche, il suit* de là que le mouvement y garde son caractère transversal, et nous pouvons ajouter que, si les tranches sont parallèles et les particules qui reçoivent aussi nombreuses que celles qui donnent, il conserve toute son énergie. Tout serait dit si le déplacement était permanent; mais avec des déplacements '

t^OLARISATION RECTILIGNË. 387

périodiques qui se succèdent incessamment et dont l'influence exige du temps pour se propager, il est visible quo les sollicitations reçues au même instant par D, correspon-. dront pour les divers points excitateurs à des phases distinctes de leur niouvement et seront alternativement contradictoires. Bref, il y a lieu ici de former encore les zones d'Huyghens, et le mouvement transversal transmis à D, sera dû seulement aux particules qUi avoisinent D. Nous retrouverions les mêmes thëorèmes qu'avec des vibrations longitudinales ; chaque mouvement élémentaire anime exclusivement, tant que l'onde est illimitée, les particules qui lui succèdent dans la direction du rayon.

§ 236. -^ Principe des couples inséparablei.

L'explication des phénomènes de polarisation qui dérivent de la réflexion et de la réfraction repose sur le calcul général des intensités de la lumière réfléchie et réfractée. Au point de vue ondulatoire, ces deux phénomènes inséparables consistent dans le partage d'un mouvement primitivement possédé par certaines particules, entre deux nouvelles séries de particules empruntées à deux milieux différents ; maïs il s'agit de mouvements vibratoires, et au temps de Fresnel la mécanique rationnelle n'offrait pas assez de ressources pour résoudre ce problème difficile. Dans les cas les plus simples, il oonlient deux inconnues, et le principe des forces vives lui était seul applicable (*). Fresnel s*est tiré de ce pas dilBcile en posant d autorité, et par suite d'une prescience intuitive, née d'une profonde méditation du sujet, un deuxième principe, qu'on peut appeler prîn^

(*) Toutefois il est des géomètres qui ont contesté la légitimité de co principe lui-même, attendu que, l'onde longitadinale n'étant pas nulle, il n^est pas impossible que dans les réfractions, les réflexions, etc., une partie du mouvement transversal ne deviienne longitudinal et réciproquement : ce qui modifierait la force vive propre à l'un de ces mouvements.

i88 CHAPITRE IX.

cipe des couples inséparables : il consisle à adineltre que rétreiute à l'aide de laquelle s'opère lé partage du mouve- .mcnt, semblaUe à celle qui produit la transmission du mouvement vibratoire au sein d'un milieu homogène, s'isole •entre des groupes binaires de particules; les mêmes motifs qui empêchaient alors l'expansion latérale s'opposant à ce que les particules de droite et de gauche prennent part à ce conflit. Ainsi, quoique la particule cesse de transmettre à la suivante tout son mouvement, cependant ce dont elle se dépouille-est communiqué exclusivement à la suivante, tout comme si le milieu ne changeait pas; mais alors ces deux particules, dont l'une possède initialement le mouvement incident et conserve le mouvement réfléchi , tandis que l'autre, immobile au début, reste animée après le choc du mouvement réfracté, doivent, par suite d'un entraînement que la première exerce sur la seconde, garder sensiblement la même position relative et rester unies (*) comme- le font les particules contiguës d'un milieu homogène quand un mouvement vibratoire y circule-

§ 237. — Division du problème de la réflexion.

Pour aller du simple au composé, nous considérerons sept cas. La lumière pourra être polarisée : i^daiis le premier azimut , 2" dans le deuxième , 3® dans un azimut quelconque ; 4° elle pourra être naturelle ; 5** la réflexion sera totale, et enfin elle aura lieu 6° sur lui métal , 7° sur un cristal. Quelques développements vont nous montrer en quoi consiste la simplicité plus ou moins grande de ces divers cas.

En thèse générale, on doit s'attendre à trouver dans cha-

( * ) Cela tient au fond à ce que les excursions sont peu de chose vis-à-vis des longueurs d'ondes , do sorte que l'écart maximum étant réparti dans toute la demi-onde, les particules voisines ne doivent recevoir qu'un déplacement relatif insignifiant.

POLARlSATIOI^ REGtlLIGNE ^89

cim des rayons engendrés par le rayon iiuideiit un triple changement ; celui de Tamplitude, de la phase et du plan dé polarisation 5 ce qui porte à six ou à neuf le nombre des inconnues, six quand la réflexion s'opère sur un milieu homogène et neuf quand elle a lieu sur un cristal biréfringent* Les cas simples sont ceux qui n^offrent pas toutes ces altérations; celle d'amplitude ayant semblé d'abord inévitable, les cas les plus simples furent ceux qui n'en offrent pas d'autre, et où le problème n'a que deux inconnues, à savoir les amplitudes des rayons réfléchi et réfracté. En faiîsant appel aux considérations de symétrie, il est facile dé voir si le plan de polarisation doit ou ne doit pas changer ; mais nous n'avons aucun moyen pour prévoir que la phase ne sera pas altérée. Presnel avait cru pouvoir conclure de l'ensemble des faits qu'elle ne l'était pas quand le miroir était formé par nos verres et , en général , par les substances dont l'indice est moindre que 1,7. Les progrès de la science ont montré qu'il n'en était pas ainsi. Le changement de phase est le cas général et pour ainsi dire universel, et c'est à grand'pcîne si l'on trouve deux substances (la ménilite et l'alun) qui réalisent les conditions simples admises par Fresnel. L'existence de ces deux substances limites est précîeuse, car sansellcsladivisionque nous venons d'établir etla marche progressive que nous allons suivre seraient un pur artifice de méthode, étranger à la réalité des faits. Deux mots encore pour compléter cette appréciation générale. Doit-on regretter que Fresnel, égaré par des méthodes expérimentales peu sensibles, ait attribué sans fondement une certaine généralité à des faits exceptionnels, à des cas particuliers très-rares? Non , sans doute. Il est souvent utile de ne voir au début que le gros des phénoiiiènes. Si l'on a considéré comme une circonstance heureuse que Kepler n'ait pas connu tous ces désordres que les perfectionnements de l'astronomie ont fait découvrir dans la niarchc des astres,, on doit s'applaudir que Fresnel ait rencontré d'abord, riiérine

390 GHAPITEB IX.

là OÙ nous ne Vj retrouvons plus, la réflexion sans perte de phase; qu'il ait ensuite rattaché à ce cas simple, par un éclair de génie, la réflexion avec perte de phase, due aux réflexions totales, et .se soit préparé par cette marche progressive aux complications de la polarisation métallique.

§ 238. — Réflexion. — Réfraction de la lumière polarisée dans le premier azimut.

Soit une onde plane incidente délimitée par deux plans parallèles indéfinis normaux au plan d'incidence (yî^. ista), chaque ébranlement élémentaire quitte, à l'instant du choc, le prisme d'éther qu il anime, pour passer dans deux autres prismes, pris, Vun dans la direction du rayon réfléchi et formé du premier élher, l'autre dans la direction du rayon réfracté et formé du deuxième éther. Ce partage est indépendant de l'énergie de rébranlement élémentaire; il est le même pour les chocs énergiques qui répondent aux plus grandes vitesses oscillatoires et pour les chocs insignifiants qui ont lieu aux instants des plus grandes élongations de la particule incidente. Ainsi , les trois vibrations seront proportionnelles à ces facteurs extérieurs, auxquels nous avons donné le nom d'amplitudes. La figure représente l'onde incidente à une époque antérieure et les deux ondes qu'elle engendre à une époque postérieure au choc^ alors que la propagation de la lumière les a portées dans des tranches d'éther éloignées; mais à l'instant du choc les deux premiers mouvements résident dans la première des deux particules inséparables de Fresnel et le dernier dans la deuxième. C'est pour cet instant que le calcul est établi.

Le tableau suivant caractérise (au besoin par des proportionnelles) les m^aâses d'éther qui prennent part au choc.

POLARISATION RECTILUSNE.

Densité d'a-

près

Les trois V= i/-, dimensions ^ du volume. ®* l 'hypothèse de <?

Masfte en omettant les

facteurs communs.

^ / '" Force, tive.

tude.

constant.

Onde

( sin 1

incidente.

l ABcos7 sin'r

ces /sinr

1 cos / sin r,

Onde

sin /

réfléchie.

ABcosi sinV

cos/sinr

p p' cos /sinr.

Onde

I sinr

réfractée.

\ AB ces r sin' i

cosrsin/

T t' cosrsin/,

La conservation de la force ^

i^îve donne la première équa-

tion

cos / sin /• = p' cos / sin r 4- t' cos r sin /.

La première des particules du groupe inséparable subit

.les deux vitesses i et jO, et la deuxième la seule vitesse r.

Le principe de Fresnel donne donc pour deuxième équation

iH-p = T, et l'on obtient

('^ ^-"sin(/-hr)'

, , 1 cos / sin r

^ ' sm(/-4-r)

T est toujours positif^ quant à p, sil'on a r>r, il est négatif. Il y a donc perte de -et nous retrouvons cç résultat connu de la

réflexion de — sur -+-. Nous ne voulions pas prévoir de changements de phase , et cependant not^'e calcul se trouve compétent pour indiquer une altération de ce genre dans le cas

très-particulier où elle vaut -• Quand la première sub-

39^ GHAPITAB IX.

stance est la moins réfringente, pt est positif et égal à — p. Il n'y a pas de retard, du moins jusqu'à la réflexion totale *, car nous verrons qu'à partir de F angle limite, il se développe, entre le rayon incident et le réfléchi, une anomalie graduelle. On a également , dans ce second cas ,

et par suite

T, = I p, d'où TT, = 1 — p%

deuxième des relations citées dans la note du § 77.

Le« intensités des trois rayons sont i, p' et i — p', ou mieux cos/sinr, cosisinrp", cosi:sinr(i — p'). On peut encore prendre Tintensité du rayon réfracté sous la forme r'cosrsini; mais, comme dans les impressions visuelles les forces vives animent toujours un même éther, celui de l'humeur vitrée, il vaut mieux ne pas introduire dans l'évaluation des intensités la double diversité de vitesse et de masse et tout ramener aux vitesses. Alors on aura , pour déterminer l'intensité y] du rayon qui', pris dans le premier milieu, équivaudrait au rayon réfracté, l'équation

, sin I ces r smrcos£

Remplaçant t par ^a valeur, on retrouve i — p'. Dorénavant nous nous en tiendrons au premier mode d'évaluation de l'intensité du rayon réfracté. C'est en l'adoptant et en prenant par conséquent y, pour le coefficient t de transmission, que la troisième relation de la première note du § 77 se trouve vraie.

Discussion, i = o donne x = -, mais en différentiant ,

il vient

l'intensité, de la lumière réfléchie normalement est donc

POLARISATION REGTILIGNË. 393

Poîir le verre (« := i ,5) , on a

I = ô,o4; pour n= 2, on aurait o,ïi;, au contact du verre et de

I = o,oo33.

Ce chiffre est 12 fois moindfe que 0,04. On saura que ces résultats numériques restent vrais pour la lumière naturelle, et nous devons considérer comme expliquée la pâleur des anneaux formés, sous Tincidence normale, par une goutte d'eau mise entre deux verres bombés (§69).

i==zgo^ donne p= — 1\ à cette limite la réflexion est totale et rien ne se réfracte. Pour Tangle brewstérien

I = ces' 2 i = ( )

On trouve o, 148 , quand n =3 i ,5.

La dérivée de l'expression -: — ■ {. réduite aux fac-

teurs essentiels , prend d'ailleurs sans peine la forme

(ces' r — cos^ / ) ;

\ n cos r

ce qui montre que la lumière réfléchie croît continûment depuis z == o jusqu'à 1 = 90 , le contraire ayant nécessairement lieu pour la lumière réfractée.

§ 239. — Réflexion. — Réfraction de la lumière polarisée dans le deuxième azimut.

Tout à l'heure, quelle que fût l'incidence, la vibration se présentait toujours de la même manière au plan de démarcation. Ici il n'en sera plu3 de même, et c'est ce qui rend ce cas plus compliqué. Toutefois le précédent tableau et la première équation restent applicables. La différence n'apparaît qu'à propos de la deuxième équation et de l'usage qu'il faut faire du principe de Fresnel. L'inséparabilité ne

394 CUAPiTR£ IX.

Joil êlre exigée, suivant lui, que parallèlement ('*' ) à la surface. Or les composantes horizoatnles des deux premières vitesses sont cosi et p cosi, celle de la vitesse réfractée est r cosr-, on a donc pour deuxième équation

( p -H I ) ces/ = T cosr.

En résolvant on trouve

,^. sinicos! — sinroosr

smf cos I H- sin r cos r 2 cos i sin r

sini cosi +sin/'cosr

Introduisons les tangentes à la place des sinus et des cosinus, et chassons les doubles dénominateurs, il viendra

tang i -h tang / tang^ r — tang r — tang r tang' i

" tang I -f- tang' i tang* r H- tang r -4- tang r tang* i

(tangi — tangr) (i — tangi tangr) (tangZ + tangr) (i + tang/ tangr)

tang/ — tangr