t- tang i tatng r

~~" tang/ -h tangr '

I — tang/ tangr

( e qui conduit à la formule élégante

. __ tang(/->r) ^ tang (/-h/-)*

On trouverait encore, comme précédemment, les trois relations

p,i=— p, TT,2=I— p%

et en adoptant la réduction k un même milieu^ sans laquelle celte troisième relation n'aurait pas Keu,

( * ) n semble en effet qu*à la limite d'un corps, les mouvements obliques sur la surface amèneraient forcément des dilatations et des condenàations ^t seraient entÀchés de longitodinalité.

POLARISATION RBCTILIGNE. ^pS

Ainsi, yraies pour ces deux premieirs cas, ces équations le seront encore (§ 250) , ainsi qu on Fa supposé (§ 77) pour la lumière naturelle.

Discussion, — Loi de Brewster.

Quand i^r^p est négatif et reste tel jusqu^à /-4-r=9o qui le rend nul (c'est Tangle brewstérien) (§ 185) -, au delà, le dénominateur est négatif et p positif. On s'en rend compte aisément en figurant les trois vibrations et remarquant que quand l'est petit, le rayon incident donne une grande composante horizontale qui doit être diminuée par la vibration- réfléchie, pour devenir égale à la composante de la vibration réfractée. Quand i grandit, la première composante horizontale décroît et peut décroître jusqu'à zéro , tandis que celle du rayon réfracté reste toujours plus grande que zéro. 11 y aura donc un angle intermédiaire pour lequel ces deux composantes seront égales sans le concours de celle du rayon réfléchi qui sera dès lors nul. Au delà, cette dernière, pour renforcer le rayon incident, change de sens et se trouve directe; elle reste telle jusqu'à i:=^gi^'' (*).

Quand le deuxième milieu est le moins réfringent , depuis /= ©jusqu'à / -1- r = 90, la vibration réfléchie est directe et s'ajoute à celle de l'incident. On ne s'en étonnera pas, car dans ce cas (rappelons-nous les billes) r surpasse p. Au delà, la vibration réfléchie devient inverse jusqu'à l'angle limite; passé cet angle, on entre dans un casque nous réservons.

n faut^ en général , discuter les amplitudes et quant aU signe et quant à la grandeur absolue ; ou encore il faut dis-

( * )~ Pour juger û la vibration réfléchie est directe ou iiiTene, il faut ramener le rayon réfléchi sur l'incident {fig. i33). Ainsi quand i = 90, il faut le l'aire tourner de 180 degrés et une vibration directe a toutes les allures d'une vibration inverse, puisque si elle est dirigée de haut en bas dans Tineident » elle le sera de bas en haut dans le réfléchi.

396 GUAPITHB IX

cuter et leur première et leur seconde puissance : cette dernière discussion est celle de Tintensité, la première est celle de la phase. Grâce à elle nous voyons, par exemple, qu'ici , entre des rayons réfléchis sous des incidences a/îfebrewstériennes et ultrabr&wstériennes , il s'introduit une

différence de route égale à — De telles pertes se manifestent

habituellement par des inversions de franges *, nous reviendrons bientôt sur celle-ci (§ S63).

Les hypothèses 1 = o , z = 90^ donnent encore

et si Von forme la dérivée de l'expression — ^4^ ,» on

^ tang»(i-H/*)

reconnaît (*) qu'elle est négative jusqu'à iH-r=9o*^, et positive au delà-, de sorte que l'intensité diminue jusqu'à l'incidence brewstérienne où elle est nulle , et grandit ensuite avec continuité. On voit mémequ'dle est toujours moindre, à égale incidence, que dans le premier azimut. La lumière réfractée étant complémentaire de la lumière incidente, suit, mais inversement, la même variation.

§ 240. ~ Réflezioii. — Réfraction de la lumière polarisée daffs un azimut quelconque. — Principe fondamental.

Puisque la lumière est du mouvement , les procédés de la mécanique sont légitimement acquis à l'optique. Nous pouvons donc décomposer la vibration située hors du. plan d'incidence, en deux autres comprises dans les azimuts principaux, et ramener ainsi ce cas aux précédents. Inversement-^ nous pourrons reconstruire, avec deux vibrations situées dans des plans distincts , une vibration résultante

( *■ ) Pour simplifier cette dérivée on usera des deux formules sin (t-f-r) cos(t-i-r) — sin (i — r ) cos(i — r)= 3sinrco3r(coa'i'^sin'i),

sin(i4-i)cos(ï-hr)4-»in (i — r) ces (i — ^*r)= 2 sin» cosi (cos' r— sin';).

POLARISATION RECTILIGNË igy

polarisée, pourvu toutefois qu'elles aient les mêmes nœuds; car avec des nœiuds superposés, les vitesses ou les élongations apportées en un même point par les^^ux mouvements vibratoires ont un rapport constant; et les parallélogrammes qui construisent, soit les vitesses totales , soit les posi* tions résultantes, sont semblables et ont des diagonales coïncidentes. Dans ^^ fig- 124, on a, pour plus de clarté et conformément à une remarque ancienne, remplacé les vitesses et les excursions qui atteignent successivement une même particule par les vitesses et les excursions subies au même instant par les particules qui, dans leur éta,t de repos, marquent la route cohimune aux deux rayons. Si nous considérons les trois courbes comme étant celles des élongations, on sait qu on aurait celles des vitesses en accroissant dans un rapport constant les ordonnées des courbes , et en les reculant d'un quart d'ondulation , ainsi que le représente pour le mouvement résultant la courbe ponctuée MN.

Or cette coïncidence des nœuds se présentera toutes les fois que les deux vibrations , issues d'une vibration primordiale unique, n'auront éprouvé, avant de se retrouver (outre les altérations d^amplitude) que des retards égaux à

un multiple exact de -; mais il convient de remarquer^ dès

à présent, que l'azimut 5 de la vibration recomposée aura deux positions distinctes, suivant que le multiple n sera pair ou impair. En effet, si a et a' sont les amplitudes des deux rayons, et si Tangle s est compté avec la vibration a ifig* laS), on a dans un cas

a' tangf = —5

et dans l'autre c'est-à-dire généralement

tangj = — -;

tang.ç = — cos nit.

Comme les mêmes angles séparent et les vibrations et leurs plans de polarisation (fig. 1 26) , on peut voir encore dans s Tangle compris entre les plans de polarisation du rayon composant a et du rayon résultant. Quant à Pamplitude A de ce rayon résultant , si Ton continue de supposer rectangulaires les deux vibrations données, elle vaut visiblement ^a* + a'*. Ces deux formules

tang j = — CCS /*7r et A=: ^a'-ha''

qui résolvent le problème de la composition de deux mouvements vibratoires situés dans des plans rectangulaires, dans le cas où il y a coïncidence de leurs nœuds , sont fécondes et nous y reviendrons fréquemment; mais nous ne pouvons nous empêcher de remarquer ici que Téqualion

tang5 =± — a,

ramènera à la mesure d'un élément très-accessible, à savoir l'angle qui sépare deux plans de polarisation , la mesure photométrique du rapport des intensités de deux rayons.

Remarquons encore que la démonstration théorique de la loi de Malus ressortira d'une décomposition du rayon polarisé incident, opérée, dans la section principale du cristal biréfringent et dans le plan rectangulaire, et provoquée pardes motifs délicats qui seront étudiés plus loin (chapitre XXV).

§ 241. — Rotation du plan de polarisation par réflexion.

Soit a Fangle du plan de polarisation et du plan d'incidence , ou, ce qui revient au même, Tangle de la vibration donnée et de la première direction (fig* 1 27). Si i est Tamplitude de celte vibration, ses composantes principales seront cosa et sina; la première, après réflexion, vaudra

sÎD (i — rS

— cos a -7—^ { 9

sin ( / -H r)

et la deuxième

tang(i --r)

— sina

tang(^-^^)

POLARISATION R«GT1L1GNB. 399

L'angle a' de la résultante avecJa première direction, est donné par

sma — si-^

tang ( « -H r ) cos ( I -4- r)

tang a' = -^-i-. ^ = tang a \. { •

^ sin(/ — r) ^ f08(i — r

cosa-r-T :

sm ( £ 4- r)

Les cercles de la figure sont normaux aux rayons incidents et réfléchis; on les a supposés rabattus sur un même plan avec coïncidence des deuxièmes directions. Dans le cercle annexé au rayon incident la partie ombrée est antérieure. Discussion, — Quand i=:o, les deux vibrations sont réduites dans le même rapport. La vibration résultante B6,

quoique retournée et affectée de la perle -X, n'a pas change

de direction. Pour tout autre angle, la deuxième vibration est plus altérée que la première.

Quand i grandit, cos (« -4- r) est positif et moindre que cos(£ — r), d'où il suit que tanga' est de même signe et plus petit que tang a. D'ailleurs, en formant la dérivée de

— 7 Tî on trouve que cette fraction décroît graduelle-

cos (1 — r) ^ '^ .

ment , il en résulte que le plan de polarisation du rayon réfléchi se rapproche du plan d'incidence. Il Talteint pour / 4- r = 90^; car alors a'=: b, quel que soit a, et le rayon est entièrement polarisé dans le premier azimut. Quand i4-r=90, il passe de l'autre côté 5 car a' devient négatif et la vibration résultante quitte le quadrant Bi pour passer dans le quadrant Bfei-Pour 1 = 90, tanga'= — tanga, et l'azimut redevient égal , mais seulement en valeur absolue, à celui du rayon incident.

Quand la substance sur laquelle la réflexion a lieu est la moins réfringente, jusqu'à i -h r :;= 90°, la vibration résultante du rayon réfléchi reste comprise dans le quadrant homologue de celui où était la vibration incidente, c'està-dire, pour notre figure rabattue , dans le quadrant supé-

4oo GUAPITRB iX.

rieur de droite : au delà de T angle brewstérien , elle tombe dans le quadrant supérieur de gauche ; c'est-à-dire que le plan de polarisation passe encore de l'autre côté du plan d'incidence.

Quant à l'intensité, elle vaut visiblement

I == ces* a -r-,-7^ [ -4- sm* a — ^-|^ (.

sin» ( I + r) tang» ( « -h r)

Si le rayon subit plusieurs réflexions, le plan de polarisation tourne chaque fois d'une quantité facile à trouver, quand on connaît et la position des sections principales des miroirs successifs et les angles d'incidence. iSi, par exemple, ces sections sont parallèles et les incidences égales, s'il s'agit d'un rayon ballotté entre deux miroirs parallèles, on a la formule

tang a„ = tang a

[cos(i + r)"|" cos(i— r)J

Quand on sera dans cette période d'incidences ultrabrews-

tériennes qui donnent — 7-: ^. négatif, le plan de polari-

^ cos(î — r) ^ ' *^ *^

sation est porté à chaque nouvelle réflexion d'un côté différent de la section principale commune aux diverses réflexions. Comme les puissances d'une fraction convei^ent vers zéro, il suit que quel que soit /, après un grand nombre de réflexions , le rayon sera sensiblement polarisé dans le premier azimut.

§ 242. — Vérification des formules de réflejdon.

— Détermination de /i.

La formule

, cos(i-f-r)

tang a = tang a — 7-; '-

^ ^ cos(i — r)

étant une conséquence des formules des (§§ 238 et 239) , ces dernières seront vérifiées indirectement par les expériences qui vérifieront celle-ci. Comme la détermination de I^ azimut d'un plan de polarisation est ert optique chose plus aisée qu'une mesure d'intensité, on conçoit que Fresnel se

POLARISATION REGTILIGNË. 4ot

soit plaoé sur ce terrain favorable pour confirmer sa théorie de la polarisation. Les mesures de ce genre, effectuées par lui et par d'autres physicie#B ^ s'accordent avec les résultats du calcul. Aujourd'hui le progrès des méthodes expérimentales a montré que si Ton voulait avoir une confrontation irréprochable, sans s^asservir auK précautions pénibles prises par Seebeck (§ 485) , il fallait déterminer l'indîce n du milieu, non pas d'après la déviation d'un prisme, mais par une des nombreuses observations qu'on veut vérifier. Soit ^S degrés l'azimut du rayon incident, 0/ celuî que l'expérience accorde au rayon réfléchi ; on a

, ^ CCS (1 -h /•) I — tang I tangr

tanga'= tang45 — )-. ( = . , ^., ^ »

° "^ cos(i — r) i + tangitangr

I — tang a' , ,^ ,,

tangi tongr = ^ ^ ^J"^^, = tang(45 - a^),

d'où

tang (45 — a') ° tangi

connaissant 7', on aura l'indice par la relation

sin /

sin/'

Cet indice, qui convient aux formules, s*est trouvé plus petit que celui fourni par la déviation d'un prisme; quant à la manière d'obtenir /, nous renvoyons à l'appareil de M. Jamin.

Les formules précédentes conviennent également à la chaleur, et elles peuvent s'y vérifier d'une manière indépen^^ dante. Polarisez à l'aide d'un spath un faisceau solaire, tour à tour dans chacun des azimuts principaux d*un miroir de verre installé sur la plate-forme de l'appareil de Melloni , et recevez-le sur la pile thermo-électrique, tantôt après réflexion, tantôt directement. Les déviations galvanométriques converties en intensités donneront les intensités

4o2 GlIAPlTiUS IX.

vraies, ei il suffira de les comparer aux valeurs théoriques de p* des §§ 338^ 239. MM. de la Provostaye et Desaitis^ qui ont les preiiiiers tenté #es confrontations , les ont trouvées extrèmetuent satisfaisantes.

§ 243. ~ Rotation du plan de polarisation par réfraction.

En suivant la marche précédente, on trouve^ aisément

,, sin/cosrH- sinrcos/

tanc a = tang a -^ — : : ; »

° ^ smtCDSt + sinrcosr

et par des transformations faciles

lança ' = tanaa ;-: -?

» ^ cos(/ — r)

ou encore

cota" = cota cos (i — r).

Sans recourir à la dérivée, on sait que i — ; r grandit avec /, et que dès lors cos (i — r)" diminue, af^ est donc plus grand que a et le plan de polarisation s'éloigne progressivement du plan d'incidence, sans pouvoir aller au delà de

tang aT:::* A tang a.

Il n'y a rien de particulier quand n <^i.

§ 244. — Les plans de polarisation des rayons réfléchis et réfractés, rendus rectangulaires.

Les plans de polarisation des rayons réfléchis et réfractés font entre eux Tangle a". — a'. Cet angle n'est généralement pas droit, mais U le devient quand la relation

, cosfi + r) I H- tang'a -— -X- ( 3= o

est satisfaite. Quand on se donne i et /z , i étant ultrahrewstérien , on peut toujours trouver une valeur de a qui rende ces deux plans rectangulaire?. Ainsi pour i = 6o° et /i 5= i,5a, on trouve

ap=65«43'.

POLARISAttON RECTILIGtSË. 4o3

Des circonstances expérimentales que nous développerons plus loin rendent utile de faire ce calcul ponr les deux rayons qui, dans une lame mince , engendrent les anneaux réfléchis. Soit n' l'indice du milieu qui touche la seconde surface de la lame et i'

Tangle correspondant à r, angle donné, on le sait, par -;— ;^ = - •

Soiept enfin a!^ et a'^ les azimuts du plan de polarisation du deuxième rayon , quand il a subi réflexion et transmission , on a visiblement

m „COS(l'-f-^)

. Unga'^cr: tanga'^ ) r/,

° ° cos(r — i')

langa»^=tanga'

cos (/ — r)

- ^'"''^''cos'ii^r) cos(r~f')'

et la rectangularité des deux plans dépend de l'équation

, cos(i — r) cos(i'-f- r) ^ cos®(£ — r)cos(r — i)

ËB prenant n =^ i ,336^ /i'= i ,52 , et i = 6o% on trouve pour l 'azimut du rayon incident, qui met à angle droit les plans de polarisation des deux rayons interférèntSy

En effet le premier plan, porté de Tautre côté du plan d*incidence, a tourné de

et le deuxième, à trois reprises, de '

la difPéfence de ces deux rotations vaut bien 90 degrés.

4o4 CHAPITRE IX.

ARTICLE IL

RÉFLEXION ET RÉFRACfTÏON DE LA LUMIÈRE NATURELLE.

Transrormalion d*un rayon naturel en deax polarisés. — Modifications périodiques des trochoîdes qui représentent ces deux derniers rayons. — Nœuds intercalés. — JncoA^rence. -i- Autre manière de constituer les deux rayons polarisés équivalents à un naturel. — Persistance des vibrations dans les mômes conditions. ^ Ce que sont au fond nos dépolarisations. — Réflexion de la lumière naturelle. — Loi d'Arago. — Action des piles de glace sur la lumière naturelle et polarisée. — Ce qu'on appelle polarifnètres, — Leur graduation par Vemploi d'une lame de quartz. — Méthode de l'inclinaison. — Méthode des azimuts principaux. — L'œil polariscope. — Houppes d'Haidinger. — Applications diverses. — Polarisation dans les arcs-en-ciel y les halos. — Polarisation par émission oblique. ~ Comment elle est réductible à la poltftrisation par réfraction. — Loi de MM. de la Provostaye et Desains qui permet de calculer la proportion de lumière polarisée par émission à l'aide d'expériences de pure réflexion.

§ 245. — La réflexion de la lamière uatnrelle , ramenée à celle de deux certains polarisés. — ^ Incohérence.

Nous ramènerons ce cas , comme le précédent, aux deux premiers, si nous pi'ouvons qu'un rayon naturel (§ 231) est encore réductible à deux certains rayons , polarisés respectivement dans les deux azimuts principaux. Mais , au lieu d^établir de suite la possibilité de cette substitution capitale par Tinterprétation de certains faits , nous préférons y arriver d'abord à Taide des considérations suivantes.

Soient deux plans rectangulaires quelconques passant par le rayon \ au lieu de considérer un rayon naturel comme formé par la coexistence d'une foule de vibrations diversicolores qui chacune cbangent d'azimut , continuons à ne voir qu'une de ces vibrations , et projetons-la sur les deux plans. 11 est visible qu'on obtiendra deux mouvements périodiques qui auront les mêmes nœuds que le rayon naturel ; mais le changement d'orientation de la vibration du rayon naturel amènera , entre cette décomposition et celle ana-

POLARISATIOI^ RfiCTlLlGNE. 4ob

logue d'un rayon polarisé (§ 240"), plusieurs diiférences sur lesquelles nous allons insister.

On cessera d'avoir entre les deux composantes de la vibration un rapport constant. Egales quand la vibration . sera à 4^ degrés de chacun des plans, ces composantes diffèrent de plus en plus à mesure que la vibration s'approche de l'un d'eux; de sorte que la série des tro^ choïdes qui exprime chacun de nos rayons, au lieu d'être la reproduction d'une seule et même courbe, éprouvera [fis* ^^^) 9 <Ï3ns 1^ grandeur de ses ordonnées, des altérations périodiques entièrement subordonnées au mode de giration de la vibration. II est peu probable que cette gira* tion soit uniforme ; mais, quelle qu'en soit la 1*01, il' faut que. pendant un temps moindre que celui qu'exige fa ppoduc* tion de la sensation , elle ait régné avec impartialité dans tous les azimuts , comme s'il y avait uniformité dans son déplacement. Il s'ensuit que dans ces rayons polarisés issus d'un naturel (*') , outre la période oscillatoire si brève , il y a une grande période qui comprend un ensemble considérable d^s trochoïdes dissemblables qui se succèdent.

Outre les nœuds concordants qu'ils empruntent au rayon naturel, les deux rayons en contractent tour à tour de spéciaux chaque fois que la vibration passe par le plan perpendiculaire ; ce qui fait deux pour chaque rayon pendant ta durée de la grande période. Ges nœuds s'interposent dans l'une des courbes et la dénaturent de manière à lui donner en général l'aspect de la fig. 128 en N. Si le passage a lieu à l'instant même où une courbe se termine , il n'y a pas de nœud intercalé , mais il y a suppression d'une demi-trochoïde, et l'on a bout à bout [fig, 1 29) deux demi-trochoïdes pareilles. On voit donc que Fintercalation d'un de ces nœuds

(') Cette constitution est celle de tous les rayons polarisés puisque jusqu'à présent on n'a pas su les produire d'emblée et qu'ils proviennent toujours d'un rayon naturel soumis au mode de décomposition précédent*

4o6 GBAPITRE IX.

a pour effet de fairq terminer de l'autre côté la demi^vibration qui commence, ou qui est commencée, ou, ce qui revient au même, de faire gagner - au rayon.

Ces changements dans la -direction des mouvements, n'ayant pas lieu à la fois dans les deux rayons, sont cause que quand on les ramène dans un même plan, ils ne donneront pas d'interférence, ou plutôt qu'ils passeront quatre fois, pendant la durée de la grande période, de l'accord au désaccord , du blanc au noir, et donneront, vu le peu de durée de chacun de ces deux phénomènes complémentaires, un éclairement moyen et constant, Nous appellerons incohérence cette espèce de relation mutuelle incessamment troublée. L'intensité de chacun des deux rayons s'obtient en prenant l'intégrale des forces vives élémentaires pour la durée de la grande période» Le calcul en est simple quand la vibra* tion tourne avec uniformité, et , sous la condition que cette grande période soit un multiple de la petite assez grand pour qu'il puisse être considéré comme entier, on trouve que les deux i^ayons sont égaux et valent moitié du rayon naturel. Nous ne donnons pas ce calcul, car cette égalité ressort visiblement de ce qu'avec un rayon naturel il ne doit pas y avoir d'azimut favorisé.

Concluons qu'ii/i rayon naturel éqidvaut à deux rayons égaux et incohérents polarisés dans deux plans rectangulaires quelconques.

Une réalisation de cette organisation simple du rayon naturel s'obtient, jusqu'à un certain point, dans l'expérience suivante due à M. Dove, Offrons un rayon naturel à un prisme deNicol animé d'une rotation rapide : comme ^ si rapide qu'elle soit, sa rotation sera cependant très^-lente. soit par rapport à la petite période, soit même par rapport à la grande, il en résulte que les nombreuses vibrations qui, à diverses reprises, ont battu dans un même azimut pendant un certain temps, un tour complet du Nicol par exemple,

POLARISATION iieCTlLIGNË. ^07

se trouveront comme réunies par celte quasi-immobilité du prisme, et qu'il nous les offrira se succédant régulièrement dans les divers azimuts. Ainsi, après avoir franchi le Nicol , le rayon naturel sera comme formé par un rayon polarisé qui tournerait d'une rotation uniforme, et serait constitué par une vibration énergique, puisqu'elle est la somme de toutes -celles qui , dans le rayon naturel à des époques régulières pu îrrégulières , auront visité un même azimut, pendant la durée considérée. Eh bien, ce rayon remanié, et rendu par ce remaniement conforme à notre type, continue de se comporter dans les expériences ordinai res comme un naturel , car si Ton a placé, derrière ce Nicol tournant, un cristal convenable, puis un polariscope fixe, de nianière à provoquer la manifestation d'une expériencede polarisation chromatique, les^nneaux du spath par exemple, on n'obtient rien. Cependant , si l'on éclaire le système par une étincelle électrique, les anneaux apparaissent et la polarisation individuelle d'un de ces rayons polarisés dans tous les azimuts, rayons dont l'ensemble donne l'équivalent d'un rayon naturel , se trouve mise en évidence.

§ 246. — Égalité de« demc rayons fournis par iu spatb.

Les deux rayons égaux qu'un cristal biréfringent extrait d'un rayon naturel , sont une réalisation de ce qui précède. Les deux plans rectangulaires deviennent, dans ce cas, le plan de la section principale et le plan perpendiculaire. On retrouve également ce phénomène de l'égalité des deux rayons fournis par un naturel, si fondamental en double réfraction , en prenant pour point de départ un quelconque des systèmes binaires de polarisés égaux que nous venons d'étudier. Car soit a l'azimut d'un de ces rayons et, par conséquent , 90" — a l'azimut du second. D'après la loi de Mar lus, le premier donne

-cos'a. et -sin'a,

4o8 CHAPITRE IX.

ei le second

-cos*(90® — a) el -sin'(90" — a);

ce qui fait - pour la scHiime des deux ordinaires , ainsi que pour celle des deux extfsordinaires.

§ 247. — Déduire de dette égalité les caractères des deux polarisés d'un naturel.

C'est à ce point de vue de l'égalité constante des deux images données par un spath quW s'est jusqu^ici placé pour deviner leâ caractères des deux rayons polarisés égaux et rectangulaires qui équivalent à un naturel . Soit a, f ^ a, f ' les

caractéristiques de ces deux rayons, a> et o» + - les angles

qui séparent leurs plans de polarisation de la section principale du spath. Ces deux rayons, décomposés par deux parallélogrammes indiqués sur la figure [fig* ^^o), donnent (§ 240), i^ pour la vibration du rayon ordinaire la somme

, Acosttsin I 29r=; — yj — a sinotsin f 2 9r~ — ç'j •

(le signe — vient de ce que les deux vibrations sont couchées dans le prolongement l'une de Tautre) , a^ pour la vibration extraordinaire la somme

a sm bk sm

f aTT^i -^ f j H- a cosû) sin (2 v- — ep'^j

et enfin pour les intensités correspondantes, d'après la règle deFresnel (§52),

Q = a* co%^v> -+- à* sin'w -^ a* sin 2» gos(ç — q>') = fl'[i — sin26>.cos(f — ?')]»

E = fl'[H-sin2wcos(ç— y')].

Ces deux quantités doivent être égales, sans que o«) soit déterminé. Comme sin 2 &> ces (ç — f') ne peut être constamment nul, le seul moyen de rendre égales les deux intensités consiste

POLARISATION RECTILIGNE. ^Og

à faire que^ pendant Içs billions de vibrations nécessaires à l'impression visuelle, le lerOie sin 2 o) cos (f — (ff) reçoive avec impartialité toutes les valeurs comprises entre deux certaines limites égales et de signe contraire. On peut y arriver, dît M. Pouillét, soit par les valeurs changeantes de w seul, soit par celles de © — 9' ; mais évidemment, ajoute-l-il , au lieu de ces deux cas particuliers , il est préférable de supposer qu'elles ont lieu par le concours des valeurs changeantes de co et f — o\ ce qui rend les limites égales à -f- 1 et — i : de sorte que les polarisés égaux d'un naturel , tout en restant rectangulak*es , changeraient nécessairement de phase et d'azimut. Ainsi, tandis que pour nous Vincohcrencé laisse aux deux rayons les mêmes nœuds, et consiste dans une variation incessante d'intensité et des pertes intermittentes de -X, elle consiste pour M. Pouillet dans le change-

mentincessantderanomalieet dans la variation des azimuts. Si l'on ne supposait pas aux deux rayons la même inten^ site a*, elle revêtirait un troisième aspect plus général, mais plus compliqué. L'important ici est surtout de constituer l'idée d'incohérence , et de substituer à l'incohérence vraie une incohérence idéale relativement simple et facile à suivre dans ses conséquences. A ce point de vue, qui n'est autre que celui de la méthode^ il suffit que l'idéal employé Soit, à l'égard des faits réalisables , parfaitement équivalent à la réalité , et alors le plus simple est le meilleur.

L'incohérence admet tous les degrés et n'est complète que si les deux rayons substitués au naturel sont rectangulaires. Si, en effet, l'on recourait àdeux polarisés obliques, ou bien si, à notre point de vue, on décomposait la vibration tournante du naturel suivant deux plans dont l'angle ne fût plus go degrés sans se préoccuper du résidu que laisserait une telle décomposition, les rayons continueraient, il est vrai , de passer pendant la durée d'une grande période par quatre états deux à deux contradictoires ; mais, deux de ces états durant moins que leurs antagonistes , les phénomènes

4lO GUAPlTRf IX.

complémeutaires qui leur «ont dus auraient une inégale intensité, et Tun d'eux apparaîtrait* Ainiri, dans ce cas, rincohérence est partielle, (Voir à ce sujet le § 268.)

§ 248. — Stabilité relative des vibrations.

On saura, et iious ne tarderous pas à revenir sur ce point, que rinterférence des rayons polarisés peut échouer pour deux motifs, par incohérence et par rectangularité*, que de ces deux obstacles , le dernier peut être éliminé après coup par l'emploi d'un polariscope, tandis que le premier doit être exclu dès le début. Si la gi ration de la vibration était uniforme, et si la durée de la grande période n'était pas trop petite, on pourrait sans doute échapper après coup à l'incohérence, en éliminant moitié des rayons à l'aide d'un disque armé de fentes équidistantes et animé d'une vitesse convenable. Mais ce qui la rend irrémédiable, c'est que le mouvement azimutal de la vibration se fait, sans aucun doute, suivant une loi compliquée, de manière à présenter des accélérations , des retards , ou V9ème des inversions. Le seul moyen d'assurer aux deux rayons une relation con*

stante, malgré ces retards brusques de -? est de s'arranger

pour qu'ils arrivent à la fois dans les deux rayons, et de les extraire, par une . décomposition rectangulaire, non plus d'nn naturel , mais d'un rayon primitivement polarisé. ' Cependant , même avec cette précaution , on conçoit que dès qu'un des deux rayons éprouve un relard, la suppression de chaque demi-trochoïde cesse d'avoir lieu au même instant dans les deux rayons, et qu'avant qu'elle arrive dans le rayon retardé, ces deux rayons, rappelés par le polariscope dans un même plan de polarisation, présenteront une relation inverse, donneront, par exemple, une frange blanche au lieu d'une noire, et, par suite, un affaiblissement du phénomène. Il suffirait que le retard s'élevât au huitième de la grande période , pour que les franges négatives intercalées fussent aussi nombreuses et aussi éner-

POLARlSAnOAi REGTILIGNE. 4ii

giques que les positives , et leur ensemble complètement inappréciable. Or MM. Fizeau et Foucault, n'ayant signalé aucune altération de ce genre dans leurs belles expériences (§ 37) 5 nous en concluons que huit mille vibrations sont très-peu de chose vis-à-vis de la grande période ; ou bien encore que les vibrations lumineuses persistent dans les mêmes conditions beaucoup plus longtemps qu'on était en droit de le supposer avant ces remarquables expériences. Il est visible que dans l'interférence de deux rayons naturels les mêmes causes auraient pour eflFet de mettre aux prises des mouvements d'orientation différente, et amèneraient également un affaiblissement de leurs franges.

§ 249. — Ce que sont nos dépolarisations.

Les détails précédents sur l'organisation comparative des lumières naturelle et polarisée nous montrent le sens qu'il faut attacher à la dépolarisation , telle qu'elle a été pratiquée (§164).

Pour ramener un rayon polarisé à l'état naturel , il faudrait, après l'avoir divisé en deux rayons égaux et super* posés, par l'action d'un cristal biréfringent peu énergique placé à 45 degrés, pouvoir établir entré ces deux faisceaux rectangulaires l'incohérence. Si les grandes périodes se ?uc^ cédaient identiques, et si l'on connaissait leur durée, il suffirait sans doutede retarder l'un de ces rayons du quart de la grande période ] mais, comme aucune de ces deux conditions, n'est réalisée, il s'ensuit que le retour à l'état naturel est impossible. Cependant, si la lame est suffisamment épaisse et la lumière suffisamment complexe , ce système de deux rayons superposés aura toutes les apparences d'un rayon naturel, et pourra lui être substitué dans diverses expériences, notamment dans celles sur lesquelles nous ne larderons pas à asseoir la graduation des polarimètres. Deux lignes de calpul analogues à celles du §247 vont nous montrer comment ces deux rayons, dont l'ensemble constitue

le rayon dépolarisé , peuvent donner au polariscope biréfringent deux i mages coastanunent égales .

Au sortir du cristal dépolarisateur, on a les deUx rayons

- et entre eux le retard O — E. Au sortir du prisme biréfringent, on en a quatre. Soit a> Tangle de sa section principale avec le plan de polarisation primitive {fig> i3i). Ils auront pour amplitude

pcos(M — 45)j

i:sin(a.-45),

,=sin(<a — 45)'

4cos(a.— 45).

(i) et (3) séparés, par le polariscope, de (a) et (4) forment le faisceau ordinaire et ont pour anomalie (à cause que ces deux vibrations sont comme au (§ 247) dans le prolongement Tune de l'autre) ^ (O — E-i--j- (a)et{4) forment

le faisceau extraordinaire avec Tanomalie — (O — E). Les intensités des deux faisceaux résultants seront donc

I« = - ces' { w •— 45) + - sin' (w — 45)

-f- 2 - sin (« — 45) ces (w — 45) cos -^ (o — E -f- - j >

= - I — sin(2w — 9o)cos— (O — E) 1

= - J I 4- CCS 2 wcos — (0— E) h ï r ï ^w /^ ^C\

Iff = - I COS 2 W COS "T- (O — E) I •

POLARISATION REGTILIGNE 4i3

Si la lumière est homogène, il est visible que cesdeuxrayons ne peuvent être égaux ] maïs si elle est composée^ et si O — E est grand , on aura comme au § 70 une somme de termes pareils à •

et a