sin 2f sin2(«— j)sin»-(0 — E

B* = [co8*cos(w — j) H-$in^sin(» — s) Y — sin25siD 2(ft) — ^)sin' -(O — E),

{*) Quand on veut avec quelques auteurs ne garder que les angles doubles 2 i et a (d) — «) on les introduit dans les deux premiers termes de A* et de B* à Taide des formules

cosai= 2C0S* j — I, cosa5 = 1 — 2 sin'i, alors on trouve

A' = - [i -H cos a * cos 2 (w — s)] sin a« sin a (« — i)cos2:r — r — •

B* = -[i — cos a J C08 3 (w — 5)]-*-- sin 2 isin 2 (w — 5) cos 2ir — r — • a 3 A

OU enfin

A*= cos'ca + sin 7.S sin 2 (&> — 5)sin'- (O — E),

B'=: sin'w — sin 2jsin 2 (w — 5)sin'-(0 — È),

expressions dont la somme reproduit bien Fintensité 1 du rayon incident. Cela devait être, puisque, dans notre calcul , nous n'avons pas tenu compte des altérations éprouvées par les] rayons aux surfaces d'entrée et de sortie de la lame et du polariscope.

§ 274. — Discussion.

Les deux faisceaux résultants, d'amplitude A.B, étant issus d'un même faisceau polarisé , ne sont pas incohérents et ont une relation constante. Il y aurait donc lieu de reconstituer avec eux une vibration résultante unique. C'est en effet ce que nous ferons dans le chapitre de la polarisation elliptique. Pour le moment nous restreindrons notre discussion aux points suivants. Quelles sont les conditions d'épaisseur de la lame et d'inclinaison mutuelle des trois plans, c'est-à-dire quelles sont les valeurs de O — E ,5 et b) qui laissent exceptionnellement , au rayon transmis par la lame mince, la polarisation rectiligne? Et, si l'on use de lumière blanche , quelles sont les valeurs de ces trois éléments qui laissent blanche chacune des deux images fournies par le polariscope, ou bien encore leur donnent les teintes les plus vives?

Cas ou le rayon reste polarisé.

Comme A* et B^ sont des binômes, la valeur de co qui annule un de leurs termes^ laisse l'autre différent de zéro : on n'a donc , pendant la rotation complète du polariscope , disparition d'aucune image , ce qui prouve que la lumière n'est pas polarisée. Il n'en serait plus de même si une hypothèse portant sur les deux paramètres disponibles

lBiT£RFÉR£KCË$ D£ LA LUMIÈRE POLARISÉE. 457

O — E , 5 faisait disparaître leur second terme

sin 2f sin 2 (w — j) sin'- (O — E),

puisque les deux images réduites aux expressions monômes cos'ci) et sin* co deviendraient deux fois nulles, et dans deux azimuts rectangulaires , pendant un tour du polarîscope.

d'une part, et de l'autre les valeurs périodiques

amènent cette annulation, et Taménent sans enlever à oi sa variabilité. Ce sont donc là autant de conditions de la conservation de la polarisation du rayon transmis par la lame^ mais sont-ce les seules?

La marche analytique qui suit conduit aux mêmes résultats , avec l'avantage de montrer que ces solutions ne sont pas les seules. Le rayon sera resté polarisé si le polariscope peut-être orienté de manière à n'en tirer qu'une image : ou, en d'autres termes, s'il est une valeur de w capable d'annuler soit A', soit B*, B* par exemple.

On a donc , en posant

l'équation de condition

sin' &> = sin 2f sin 2 ( w — s) sin^ - * ^ 2

Développons, divisons par cos* co et ordonnons 5 elle deviendra

I I — sin' 2 s sin' - j tang' 6.> — sin 4'^ sin^ - tang w

•+• sin' 2 5Sin'- = o,

et il suffira que les racines de cette équation ne soient pas imaginaires. La condition connue

B» — 4AC>o

devient ici, après réductions évidentes,

— 4 «n' ^ »n' 2^ cos* - ^ o ,

et la présence du signe — est cause que la seule manière d'assurer la réalité aux valeurs de co consiste à rendre nul B* — 4 AC. On le peut de trois manières , en posant, soit

2J=: o= i8o =. . ., soit

p ir

soit enfin , et ces solutions ne se devinaient pas comme les autres ,

Dans le premier cas le rayon passant, tout entier comme ordinaire quand 5 = 0 = 180, et comme extraordinaire quand 5 = 90 = 270 , ne se bifurque pas dans la lame et garde son plan de polarisation. Dans le secondâtes deux rayons issus de la bifurcation ont contracté dans la lame

r anomalie p = 4w- » égale à un nombre exact de circonférences et reconstituent , encore dans le plan primitif-, un rayon polarisé. Dans le dernier, Tanomalie acquise est un nombre impair de demi-circonférences, et l'équation (M), simplifiée par la supposition

qui la rend un carré parfait^ donne o) = 25. Ainsi les solutions

ihterférengës de la lumière polarisée. 459

donneiil bien, suivant que le multiple de - est pair ou impair, en conformité avec le § 240, un rayon polarisé alternativement dans Tun des azimuts o et 2S, Si au lieu de retarder la vibration extraordinaire comme le quartz, le cristal retardait l'ordinaire, la vibration reconstituée, qui était par exemple selon OA' {fig>^ i^5) , serait selon OA'', mais le plan de polarisation n en aurait pas moins tourné, dans le même sens , de la quantité 25. EnjSn, s'il s'agissait d'un de ces cristaux qui éteignent davantage un des rayons, l'ordinaire par exemple ( § 193), la vibration , tout en continuant de tomber alternativement dans les quadrants contîgus,y occuperait, au lieu des azimuts o et 25, d'autres azimuts qui dépendraient du rapport des intensités inégales des deux rayons.

Quand la lumière est blanche, l'expression des intensités A' et B' comprend une foule de termes analogues donnés par les divers rayons simples. Comme la vraie question va consister à voir, si dans chacune des images, les proportions des divers rayons simples sont conservées, on peut, sans rien préjuger sur l'intensité relative des couleurs simples, représenter, comme au § 249 , par i , l'intensité de chaque rayon hétérogène , alors il vient

A*= îj cos'M-hsin 2j sina (w — s) sin'^(0 — E) 1,

B*=: 2 j sin'û» — sin 2^ sin 2 (w -— j) sin'^(0 — E) j.

O — E La présence du terme en — - — montre qu'en général chaque

couleur n'apportera pas dans la formation des images la même partie aliqnote. Ainsi les images sont colorées, et elles seront coinplémentaires puisque A* -f- B* valant i pour chaque couleur, ce qui manque dans une image se retrouve intégralement dans lautre. Il suffit, pour le vérifier, de prendre, soit un polariscope biréfringent assez peu

46o CHAPITRE X.

ouvert , soit des teintes plates assez étendues , pour que les deux images restent partiellement superposées. On verra leur concours donner du blanc.

Images incolores, — Les deux images seront incolores quand les valeurs des paramètres feront disparaître le

terme en — r — 5 c est-a-dire quand on aura , soit

j = o= 90=. .., soit

&> — 5 = 0 = 90 = ..., c'est-à-dire quand

j =0 = 90 = . . ., ou quand

quelque soit 5, c'est-à-dire enfin quand la section principale de la lame sera parallèle ou perpendiculaire, soit au plan de polarisation , soit à la section principale du polariscope. Le lecteur interprétera sans peine directement ces résultats du calcul.

Inv^anabilité des couleurs. — La couleur ne change pas tant que O — E reste le même. Les facteurs sin 25, sin 2 [(ù — s) étant communs à toutes le* couleurs, on conçoit en effet que les changements qui surviendront chez eux laissent le même assortiment de rayons simples et conséquemment la même teinte. Cependant comme il peut arriver que, par ces changements de 5 et de co, la décomposition

fasse passer la perte de - 9 due à Temploi du polariscope, au

système auquel elle n'appartenait pas \ pour être exact, on doit dire qu'avec une même lame on n'obtient , dans les diverses configurations, que deux teintes, et que ces teintes complémentaires apparaissent tour à tour et en passant par le blanc ^ dans chacune des deux images. On reconnaît d'ailleurs que c'est aux instants où il y a changement de signe, soit dans sin 2 5, soit dans sin 2 (w — 5), que

INTERFÉRENCES DE I.A LUMIÈRE POLARISÉE. A6l

l'échange des teinles a lieu entre les images. Mais il convient de remarquer que quand la section principale du polariscope est parallèle ou rectangulaire au plan de polarisation, la rotation de la lame ne peut plus produire rechange de chaque teinte en sa complémentaire, car alors le coefficient du

terme en — -. devient — sin* 2 s dans le premier cas, et

sin' 2 s dans le deuxième 5 il ne peut donc plus éprouver de changements de signes quand s varie. Dans le cas où « =r o, l'image ordinaire est rendue deux fois blanche par la variation de 5, et l'autre deux fois noire , parce que c'est alors

pour l'image extraordinaire que le retard vaut O — E H

Quand donc on prend pour point de départ des positions du spath achromatîsé, la coïncidence de sa section principale avec le plan de polarisation , c'est l'image extraordinaire qui 5 pour des valeurs de O — E, croissantes à partir de zéro, revêtira la série des teintes observées par Newton dans ses anneaux colorés, ou, en d'autres termes, la série des teintes extraordinaires (§ 292) , série la plus précieuse des deux, parce qu'elle contient les teintes sensibles. Voilà pourquoi nous avons conseillé , d'après M . Biot , de conserver dans ces polariscopes le rayon extraordinaire (§ 196) ; mais si le point de départ convenu du spath était l'azimut 90 degrés, il est visible qu'on devrait garder le rayon ordinaire.

Teintes les plus uwes. — Puisque la nature des teintes dépend du facteur

2 sin' TT — - — ,

le maximum de coloration se produira quand le coefficient sin 2 s sin 2 (oi) — s) de ce facteur aura sa plus grande valeur, c'est-à-dire quand on aura à la fois

OU bien

c'est-à-dire enfin quand les deux plans principaux de la lame sont ëquidistants du plan de polarisation, et qu'en outre Tun de ceux du polariscope coïncide avec ce même plan de polarisation. On voit, en effet, que ces hypothèses rendent égaux non-seulement les deux rayons donnés par la lame, mais encore chacun des deux rayons qui formeront chaque système binaire et y interféreront. Pour toute autre hypothèse, les deux rayons d'un système sont inégaux, l'interférence et par suite la destruction de certaines teintes y est moins complète. La teinte est surtout pure quand il n'y a pas de blanc et qu'on a ou

sin' w = o ou ces' w = o.

Nature de la teinte, — La teinte dépend de la série des

O — E valeurs que reçoit — r — et peut se calculer par la règle de

Newton (chapitre XVIII), quand on connaît ces valeurs pour les sept groupes de rayons établis par ce physicien dans le spectre. Dans le cas le plus simple, quand la lame est parallèle à Taxe et l'incidence normale , on a

z=ze — : •

Or le tableau du § 144 nous montre qae les dispersions propres aux rayons ordinaires et extraordinaires font croître la différence [n — n') avec la réfrangibilité^ aussi bien chez

le quartz que chez le spath , de sorte que le quotient — - — ,

au lieu de ne varier, ainsi que cela a lieu chez les lames minces, que par. son dénominateur, varie par ses deux termes. Cette double variation semblerait devoir changer le mode de succession des teintes dues à un accroissement graduel d'épaisseur. Cependant par suite, sans doute, d'une grande tolérance dans leur génération successive, on a

INTERFÉRENCES DE LA LUilIÈRE POLARISÉE. 463

reconnu que, de fait, la même échelle de teintes convenait aux deux phénomènes , et l'on a été autorisé à considérer O — E comme constant, et dans ces cristaux et surtout dans un cristal biaxe (le gypse) que son clivage a fait employer de préférence dans ces études. En effet, Thypothèse

rend l'expression

2 sm^ TT — - — complètement analogue à celle

trouvée (§ 77) , la différence consistant en ce que O — E y joue le rôle de 2e. Mais si les teintes sont les mêmes, n oublions pas que les épaisseurs des lames de quartz ou de gypse qui engendrent une teinte donnée, sont bien plus grandes , même dans les cas les plus défavorables , que les épaisseurs d'air équivalentes.

§ 275. — Autre manière de présenter la discussion.

On peut, dans Tintérét d^une étude future, donner à la discussion des formules précédentes une autre direction , chercher par exemple les modifications qui surviennent dans les teintes d*une même lame, quand, laissant immobiles dans un azimut quelconque, soit le polariscope, soit la lame, on fait faire un tour complet, soit i** à la lame, soit 7? au polariscope.

1*^. Faisons donc varier s avec continuité, et nous rappelant que, pour la configuration sur laquelle nous avons établi les for> mules {fig* i33), la valeur positive du second terme

sin 2 ^ sm 2

(«-.^)sin»^(o-E')

accorde à Timage extraordinaire la teinte due à la différence des chemin.^ et à l'image ordinaire la teinte complémentaire, cherchons tous les changements de signes survenus dans ce terme. Nous trou-

verons sans peine que, nul clans les huit azimuts

il est-positif de o à «>, de 90 à 90 + w, de 180 à 180 + c<>» de 270 à 270 -4- », et négatif de a> à 90 , 90 -h » à 180 , 1 80 + 6> à 270 et 270 -f- G» à 36o , de sorte que les deux teintes propres à la lame s'échangent Tune contre Tau tre, huit fois dans chaque image. Quand ce dernier terme est nul, le premier ne Test pas, on en conclut que le passage d'une teinte à la complémentaire a lieu par le blanc. Les quatre arcs successifs 011 chaque teinte se développe progressivement, égaux entre eux, ne sont é<>aux à ceux de l'autre teinte que pour la valeur particulière u = 4^- ^^ fiS* ^^^ à9Xi% laquelle le trait simple indique la teinte directe , le trait double la teinte complémentaire, et Tabsence de trait le blanc de passage, résume à Tceil les résultats de cette discussion qui a porté sur Timage ordinaire. Elle montre comment, dans les cas particuliers déjà signalés ( page 461 ) pour u-zzo et 6>=r9o, une seule teinte règne dans chaque image, à savoir dans l'image ordinaire la directe si » = o, et la complémentaire si » = 90 . Il est m effet visible que ces hypothèses annihilent, tantôt les quatre secteurs complémentaires et tantôt les directs. D'ailleurs, dans les quatre secteurs conservés, la teinte continue de se développer graduellement; mais si le passage d'un quadrant à l'autre continue d'avoir lieu par le blanc pour ft> = o , il se fait par le noir quand » = 90 , puisque le premier terme cos' &> est nul. La présence d'une certaine quantité de blanc renforce la teinte propre au premier cas, l'absence du blanc dans le second fait que, moins vive, la teinte propre à.&> = 90 a plus de pureté.

2®. Quand, s restant fixe, » varie entre o et 36o, il n'en résulte pour le dernier terme d'autres changements de signes que ceux qui répondent aux valeurs

c'est-à-dire que la circonférence se divise seulement en quatre secteurs égaux, dans lesquels règne alternativement chaque couleur. Comme le premier terme n'est nul dans aucune des images, la transition a lieu par le blanc.

Les développements précédents s'appliquent à un faisceau jaral-

lèle quelconque, normal ou oblique à la laine cristalline. Mais on comprend que la teinte plate doit varier avec l'inclinaison , et qu'elle doit cesser d'être plate s'il s'agit d'un faisceau conique. L'étude de ces changements, soit successifs, soit simultanés, est, il est vrai, implicitement comprise dans le chapitre de la double réfraction ; mais elle comporte tant de détails et correspond à des expériences si variées ou à des applications si utiles, que le reste de ce volume devra leur être consacré.

ARTICLE IL