I . TT
'7^(lTô°"2
sin-[(i-^0'-^a(' + 0^]-+-C;
( *) Dans le Mémoire de Fresnel on a , par erreur, continué d'appeler t la limite.
. 526 IIOTBS.
pour y =-4-/, il vient
et pour i>=— /
" 8in-(i»4-4'' + 3/')H-C,
la différence donne
' sin-(/'-/»)4-C,
En dirigeant les calculs de la même manière, on trouverait \ r-cos^(.-4-0 (' + 30-1
i > -"+')L-Hcos^(/+0 (/-'). J
Si nous passons aux chiffres, en restant toujours dans le cas 1 = i ,8
2.t = — ou/ = — t nous trouverons, par un calcul qui n'a rien de bien 10 20 ^
long,
rA'Cos-i'* = 0,06071, / rfï'sin -«''=0,07763. 1,8 * Ji,S ^
Cinquième manière de faire le premier calcul, — Gonmie nouvelle application des formules de Cauchy, ajoutée à celles contenues dans la note B, voyons si la limite p = i , 8 est encore au nombre de celles pour lesquelles elles donuent une approximation suflBsante. Ona
M = o,3,83,-L o^ZË^-^l3gM ^ ^'^ 1,8 1,8
N^o,,oi32,J::^~^Ll^-i-...; 1,8 1,8
en effectuant ces calculs numériques, il vient
M = 0,17684 — 0,00512 -+-0,001730 — o,ooi653-ho,oo3i II — . .. ,
N =0,01737 — 0,00251 -4-o,ooi53o — 0,0021 12 -f-o,oo5i97+... ,
et Ton voit qu'il faut s'arrêter au terme +o,ooi53o et prendre dans M trois termes et trois aussi dans N, ce qui donne M = o, 17345, N = 0,01639.
D'ailleurs
^/w' = 90»i,8 =291,6, ce qui donne
sin-/n' = — sin 68* 24'= —0,92978 et ces -/w'=+ 0,36812; donc, enfin, on aura
ducos- «'' = 0,017345.0,9298
rfpsin -u^ = o,o6385-ho,oi524 = o, 45 138?
avec une erreur moindre que o,ooi5.
§ 2. Deuxième calcul. — En prenant dans le premier tableau pour les valeurs successives «/ = i ,7 = i ,8 = i ,9 = 2,0, les valeurs des intégrales définies
Jo '^ Jo a
et les mettant dans l'expression
j'obtiens quatre des 55 termes du deuxième tableau , à savoir : p=i,7, I=i,783i, = 1,8, =1 ,6001,
Si les valeurs de v pouvaient se suivre avec continuité , on verrait de suite celles qui donnent un maximum ou un minimum ; mais comme on a dû seborqer à n'en considérer qu'un certain nombre (55 sont déjà beaucoup), on obtient seulement celles de ces valeurs qui avoisinent un maximum. Ainsi je vois qu'entre c/ = i ,8 et p= 2,0, c'est-à-dire auprès de ('= i ,9 en deçà ou au delà, il y a un minimum : il s'agit d'en trouver la position d'une manière plus approchée.
§ 3. Troisième calcul. — Rectierche de la formule qui donne ce qu'il faut ajouter à v = i ou en retrancher pour atteindre un majci^
5a8 WOTBS.
mum. — Soit t ce qu'il faut ajouter ou retrancher, t étant < ~» et même < — si on opère sur la valeur de v la plus voisine du maximum. On aura, comme précédemment, en négligeant --jj-dans Tare, ^c;cos%' = — .1 8in-/(i + 20-Mn-i»J,
<fpcos-V formée en
ajoutant i à la valeur / rf^cos - p' prise dans le premier tableau , on aura
r'^'£/(^cos-<''=J4-— Tsin-ili + aO-sin^i'l.
En appelant de même 7 la valeur I rfi'sin - <^, on trouve
<fi'sin-p' = 7H -.l — cos-«(«-4-a0-+-co8-'' r
L'intensité de la lumière est donc proportionnelle à
|j + ;n[ sinî.l. + aO-sin^-'Jj'
S7 + ~.[-co85'('+^0-+-cos^i*]j ;
la valeur de t qui donnera un maximum ou un minimum dépend de l'équation
o = cosJi(i-h20Jj-^;^.[sin^i(i-+-20-sin^i']j
+ sin^i(/4-20 |7-+-Aj^— cos w-(ï4-a/) + cos^i^J|; effectuant les calculs et réduisant , il vient
tt/ J cos - 1 ( / -h 2f ) — sin - «*cos- iii-^it)
-}-7ri7sin -i(iH-2/)H-cos-/'sin -/(/-h2f) = o: '2 2 2
î»OTKS • 529
posons d*où
et nous trouverons sans peine
1T/J — sin-/*
.r = sin - r ( I H- ^ ' ) :
4/ f Tr/J — sin^f" j +(7r/7-f-C0S-/M-
Exemple de calcul, — Comme application numérique, cherchons le minimum qui avoisine / = 1,9. Nous aurons :
rci = TT. 1 ,9 = 342 degrés , ^i^=3a4*'54', 7r/J= 5,3417;
sin - P sera négatif et vaudra — o , 5750 1 , le cosinus vaudra -(-o , 8 1 8 1 5,
il en résulte pour le numérateur la valeur 5,9167, et pour le dénominateur la valeur ^71,373, et enfin
-i(iH-20 = 44°îi7'ao"= i8o«=t44*»27'2o"= 36o — 44*»27W= A.
On a donc
7rf7=— — + A = — 324°54'-f-A,
d'où
On choisira A de telle sorte que / soit moindre que — La seule valeur qui convienne est alors la dernière , qui donne
^ ^ - 324^54^+ 36o - 44°a7^ ^ - 9°,ai ^ 9%35 ^ ^^ 342 342 342 * ^
Ainsi le minimum serait fourni par
53o * KOTKS
c'est le premier ; Fresnel a donné
Pour que ce calcul , fondé sur l'emploi de la première des deux formules de Fresnel, donne la même exactitude que celle obtenue dans le premier calcul par Fetnploi de la deuxième formule de Fresnel , il faut,
visiblement, que la valeur de / soit < — Si, par exemple, j'étais parti
de r = 1 ,8, auquel cas la bonne valeur de / eût été 0,07279, la première formule n'eût plus été, en exactitude, l'équivalente de la seconde à laquelle il aurait fallu recourir, au risque d'avoir, pour déterminer /, une équation bien plus compliquée. On évite cette obligation , en refaisant le calcul avec l'autre valeur voisine du minimum , t4)utes les fois que la valeur, d'abord adoptée^ s'en sera trouvée la moins rapprochée.
§ 4. Quatrième calcul. — 11 faut calculer
[I /»Ci, 9— 0,02754; ^ -1,
Si , comme nous venons de le foire , nous arrivons au minimum par celle des 55 valeurs qui en est la plus rapprochée, t sera moindre que
— 7 et on pourra encore user de la première formule de Fresnel (celle
qui néglige t^ ) pour passer des deux intégrales tabulaires relatives à «' = 1 , 9, à celles actuelles qui correspondent à
On trouve ainsi sans peine
«/«^cos - p'= o , 3949 — o , 2047 = o , 3744,
^/i'8in-c/* = 0,3732-^-0, 01 74 = 0,3906,
et enfin
1=1,55775; Fresnel a donné
La table de ces dernières valeurs est surtout utile pour établir des
rapprochements entre la théorie et le phénomène des franges extérieures ; aussi croydns-nous devoir la donner tellie qu'elle a été trouvée par Fresnel.
Table des maxima et minima pour les franges extérieures et des intensités de lumière correspondantes
Valeurs ok V.
Intensités de lumière.
Maximum du i^' ordre.
Minimum du \^^ ordre.
Maximum du 2^ ordre. .
Minimum du 2^ ordre. .
3** maximum
4,8479 5 ,o5oo
3^ minimum
4® maximum
4® minimum
5* maximum
5® minimum
6® maximum
6* minimum
T® maximum
1^ minimum ...-,...,.
La dernière colonne, d'accord en cela avec la^g^. 35, montre que les maxima et les minima contrastent de moins en moins; aussi les franges, même avec une lumière homogène, sont-elles de moins en moins visibles au fur et à mesure que leur numéro s^élève. De plus, aucun des minima n'étant nul, elles n'ont pas la netteté des franges d'interférence.
§ S. Cette méthode de Fresnel est indirecte, car elle exige que Ton connaisse d'abord une valeur de (^voisine de celle qui donnera un maximum. M. Quet a eu l'heureuse idée de demander aux formules de Cauchy la connaissance immédiate des maxima et des minima , et il les obtient d'emblée comme il suit ;
Remplaçons , dans l'expression qui donne l'intensité , les intégrales définies par leurs valeurs explicites , et nous aurons
— - j h M sin - w' — N cos - //i' 1
La 2 . 2 "^ A
l I - | M ces - /w^ — N gin - nP 1
La 2 2 2 J
Prenant l'équation différentielle et l'égalant à zéro, il vient pour Téquation qui donnera les maxima ,
+ ( Mtt//! ^ j ( sin - m^ -\- cos -/wM ;
mais on a
dm I , 1.3.51.3.5.7.9^
dm, Tzni^'^ 1^ m^ tt* m'" ^••* »
l'équation devient donc
. TT , . ^ 2 XT I i 1.3.5 , 1.3.5.7.9 ) sin - m^ -h cos- w' = N = —3—, J i j— j- H . ; ^« • • •
Quand m est un peu grand, N est sensiblement nul et l'équation déterminalrice des maximas et des minimas prend la forme très-simple
ou bien
Sin - m- 4- cos - //r 2 2
tang-7w'^
Pour m = 3, nous trouvons 0,0037 pour la valeur des termes auxquels on peut borner la série. /» = 2 donnerait également une valeur négligeable. Cette nouvelle formule reproduit donc, ainsi qu'on devait s'y attendre , le contraste qu'avaient présenté les formules dont elle est déduite. Prodigieusement simple au-dessus de m = 2 , elle reste impuissante au-dessous ; mais comme le premier maximum et le premier minimum répondent seuls à des valeurs de m inférieures à 2 , cette limitation n'a rien de bien regrettable, et les lois que nous allons formuler avec M. Quet, exactes pour la presque totalité du phénomène des franges d'un bord indéfini , ne pourraient en délaisser que le début.
§ 6. Loi de M, Qiiet, — Profondément convaincu que la complication des phénomènes de diffraction , tels que les avait laissés le travail de Fresnel, pouvait être amoindrie, M. Quet s'est mis à élaborer à la manière de Kepler les quatorze valeurs de i> comprises dans son tableau des maxima et des minima, et il est arrivé à ce curieux résultat. Élevez ce» valeurs au carié et doublez les carrés obtenus , et vous aurez la
série 3, 7, 11, i5, 19, 23, 27, 3i, 35, 3<), 43, 47, 5i, 55. Le plus grand écart a lieu pour la première valeur de c qui donne 2,963 au lieu de 3; pour le chiffre suivant, l'écart ne vaut plus que 0,01 3; pour les autres, il n'atteint que quelques millièmes.
Démonstration de la loi de M. Que t. — La formule approximative du précédent paragraphe
. tang - ///^ =: — 1 est satisfaite par les valeurs suivantes
