ar

§ 4. — La correction de Laplace.

Le chiilrc 280 mètres est de beaucoup inférieur à la vitesse réelle. Laplace en a trouvé la raison.

Les trancbes comprimées sont échauffées par la chaleur de compression 5 l'élasticité croît donc pour deux motifs : parla réduction de volume et par Télévation de température. La loi de Mariotte est en défaut , ou , pour mieux dire , il y a intervention des deux lois de Mariotte et de Gay-Lussac. Outre l'accroissement faible Ea il y a un petit accroissement E^ d'élasticité qui provient de réchauffement et qui, on le sait, peut, à cause de cette petitesse, se calculer à part.

Mais, dira-t~on , après la condensation , le petit plan rétrogradera et produira dan» l'air dilatation et refroidissement. Ne pourrait-il pas y avoir annihilation des effets dus

MOTIONS FOnDAMEBrrALËS. 1 1

à cette chaleur et à ce froid, successivement produits dans les mêmes tranches ?

Nullement : quand le froid de la dilatation parait, Taccroissement occasionné par la chaleur^ dans la vitesse de communication delà perturbation, est déjà effectué; et ce froid lui-même accélère la chute en arrière des couches d'air, et introduit dans la propagation de leur dilatation le même accroissement <le vitesse obtenu dans la propagation de leur condensation.

Après avoir dégagé Texplication èe Laplaœ de l'objeccion qu'elle semblait comporter, calculons Taccroissement partiel d'élasticité Ez.

Cet accroissement est E—^0, en appelant 0 l'élévatioti

de température produite. Si la température de Tair n'était pas o degré, mais t degré, ce serait t

.en. ,

Pour une réduction de volume égale au coefficient de dilatation — 51 on sait que l'élévation de température vaut

( * ) Un gaz , suiVflAt <|u*U est libère eu eoercé dans un vase, reçoit , qaand la température s'élè?e , un accroissement de volume ou de ressort. L'accroissement de volume est diaprés Gay -Lussac , pour chaque degré , une par-

tie aliquote constante — =- du volume à zéro. On démontre sans peine que

l*accrois8QMetitde ressort es4 aussi partie ttliquote oonstante , et précisément la même, du ressort à zéro. D'ailleurs la température zéro ne peut être privilégiée, et la loi de Gay-Lussac , sous sa double forme , doit convenir, avec un coefficient difierent , à une température quelconque. Si Ton consent à

mettre le coefficient do dilatation sous la forme sr > le coefficient, à une tem>

pératurc quelconque f, se déduit du coefficient tabulaire — 0 I^'^ ajoutant t au dénominateur.

-=: K {*) •, pour une réduction a, elle sera donnée par

la proportion

: K : Ô , d'où Ô =

— :r:a::K:ô, dou 0 = — = « — ^ — -273. 273 . \ d *

^accroissement E z vaut donc

E— ja — 273;

racGrôissement total est

Ea + E^^-^^^^^i — = Eaîr

et le premier membre de l'équation (page 9) étant réformé en conséquence , on a

BDc AV „, r BDg:

En prenant pour — la valeur i,4*9 que lui assignent les

récentes expériences de M. Masson, on obtient V = 333™,48.

L'expérience a donné pour la vitesse du son à o degré et à la latitude de Paris 332™, 3.

Quand on ne se propose pas de calculer la valeur numérique de V, on peut voir dans le produit BDg^ l'expression de l'élasticité E et donner à la formule de Nev^rton la forme

connue V = i/— sous laquelle elle se produira toujours en optique.

(*) c capadté à pression constante ; c' capacité à volume constant ; K cBaleur décompression, ou mieux élévation de température dont elle est capable. On a en effet

C=:c'-|-Kt', d'où — =::IH-K, K = -; •

NOTIONS FONDAlffiNTALES. |3

§ S. — Propagation du son. — Ondes sonores. — Longneurs d'ondulation.

Nous avons supposé pour notre petit plan un mouvement • de translation uniforme; c'était le moyen d'avoir dans les diverses tranches troublées, uniformité dans le tripîle accroissement de densité, de température et d'élasticité. Dans la réalité, le plan vibrant parcourra l'espace avec une vitesse variable. Nulle au début, cette vitesse croît, atteint a

l'époque - son maximum, décroît ensuite et redevient nulle

avant d'être dirigée en sens contraire. La perturbation totale se compose ainsi d'une foule de perturbations élémentaires d'intensités très-différentes. Mais il est aisé de voir qu'elles ont même vitesse.

En effet, aucune des quantités e, t, (9 qui caractérisent cette énergie n'entre dans la formule, aucune trace n'y reste soit de l'étendue e du déplacement, soit de la durée. Un déplacement double donne bien une force motrice double, mais la masse d'air transportée devient en même temps double, et voilà pourquoi la vitesse reste la même.

Les diverses impulsions fortes ou faibles imprimées successivement par le plan à la tranche d'air adjacente se transmettront donc avec une même vitesse aux couches suivantes 5 si elles sontéquidîstantes dans le temps, nous les retrouverons équidis tantes dans l'espace. Représentons par les ordonnées d'une courbe telle que crc^ [fig* ') l'ensemble des vitesses que le petit plan a eues entre ses deux positions extrêmes acb ^ a' c' b* '^ prenons ensuite dans le tube la longueur c' d= V T de la colonne d'air troublée , les vitèssesqui animent ses diverses, tranches seront données par une courbe c'R rf obtenue en éparpillant sur la base plus grande c'd les ordonnées de la courbe crc' .

Nous avons déjà remarqué qu'après le temps t cette colonne sera rentrée dans le repos, et que les vitesses qui

l4 CHAPITRE 1.

animaient ses diverses tranches appartiendront sans altération aux iranches homologues de la colonne égale qui vient à la suite. Après n fois ce temps, ce serait la (fi -f-i )*''"'' colonne qui posséderait transi toirement l'agitation. Pour trouver aisément les tranches qui, à un moment donné> sont dépositaires des diverses vitesses qui ont primitivement appartenu au plan, il suflSt de supposer que la courbe c'Rrf se transporte uniformément dans le tube avec la vitesse d« propagation V. La position qu'elle occupe à cet instant détermine et les tranches exclusivement agitées et leur état d'agitation.

Quand le plan revient sur ses pas , il reprend en sens contraire les mêmes vitesses. Si l'on convient de prendre en dessous les ordonnées proportionnelles aux vitesses diri^ gées de droite à gauche ou négatives , on aura pour cette deuxième demi-vibration la courbe cVcégaleà crc' (fie' ^)' Après une vibration complète, la colonne d'air troublée aura pour longueur c^d= 2 Vt, et fes vitesses variables de ses tranches seront désignées par la courbe com*plète c^d^d.

D'autres oscillations du plan n'ajoutent rien d'essentiel au phénomène {*) : deux vibrations, par exemple, donnent deux colonnes d'air égales à c'R'rf'Rrfet affectées chacune des mêmes modifications. On appelle onde en général , et ici onde sonore ^ la masse d'air qui recèle l'ensemble complet des divers mouvements engendrés dans une oscillatioD^ On nomme longueur d* ondulation X l'épaisseur de cette masse qui dans la propagation libre est comprise entre

{*) Si l'étude des modification^ qu'éprouve le milieu propagateur peut se faire sur une seule onde , la production des phénomènes réclame au contraire des séries d'ondes. Pour ébranler l'organe, oreille ou œil, il faut, comme pour mettre en branle une cloche pesante, une succession d'actions similaires. Des ondes synchroniques qui se suivent en grand nombre offrent précisément cette répétition nécessaire d'actions concordantes. Il est donc convenu qu'en acoustique et surtout en optique nous considérerons toujours des séries d'ondes très-nombreuses.

NOTIONS FONDAIMBBITALES. i5

deux sphères concentriques. L'onde sonore se compose de deux demi-ondes, l'une condensée^ l'autre dilatée. Les courbes qui représentent toutes les vitesses appartiennent à la famille des trochoïdes.

Une constitution analogue, une pareille succession de t;ondensations et de dilatations se trouve dans tout -milieu liquide ou solide qui propage le son. .Aussi les géomètres ont-ils toujours rejeté les expériences qui niaient la compressibilité de l'eau. Aussi est-ce à leur profonde conviction sur ce point que sont dus ces raffinements d'expérience qui ont réussi à montrer la compressibilitc de l'eau, du mercure, et de tous les corps, et ont ddnné raison à ce singulier adage : reaii conduit le son, donc elle est compressible.

§ 6. — Vitesse du son dans les^ liquides. — Formule de Laplace.

Il est curieux que la démonstration précédente des formules de Mewton et de Laplace s^applique sans changement aux liquides.

Soit un cylindre liquide indéfini : quand le petit plan se déplace * de g dans le temps r, il imprime à la colonne Vt un excès de densité — =«a, et une réaction élastique o^,n6 - (7. étant le coeffi- Vt * ' ^ V •

oient de compressibilité ) ^ les deux expressions de la force sont

donc

Trr'OjHe-D, et tt r»sA - V - = wr' - V. V a,

en les égalant on a

mais — ^— =- exprime évidemment le raccourcissement que pro-

daîrait dans une tige de liquide de i mètre de long une pression égale à son poids. Soit p ce raccourcissement,, la formule ' prend

la forme connue V = i / - • V P

Ii6 CHAPIThE I.

-Tous les corps comprîmes s'écliauffeiit, on lésait : soit 9 l'élé^ vation.de température produite par une réduction de volume, égale au coefficient de dilatation linéaire ^« Pour la fraction a il y

aura Télévation 0 - : cette élévation de température produirait le

volume ï -4- ^ô "5 et conséquemment l'expansion Oa.

L'expansion ôa ne pouvant se produire, Teffet calorifique équivaudra à une compression du liquide évidemment mesurée par la même fraction Q'n,

Bref, la colonne Vt réagit à raison de deux réductions de volume, à savoir a réduction réelle, et Oa réduction équivalente à réchauffement ; c'est-à-dire en raison de la réduction totale a ( G -h i )» On a donc

= v^'-^Vr

I + ô mais est encore le rapport des deux capacités; donc

-VWi-

On sait que Texpérience s'accorde assez bien avec la formule

pour qu'on soit autorisé à regarder comme insignifiante la chaleur dégagée dans les tiq^uides par les compressions qu'ils éprouvent lors du passage du son.

§ 7. — L'énergie de roscillation est inverse avec la distance.

Dans la propagation libre , un même mouvement réside successivement dans des enveloppes sphériques dont l'épaisseur est constante, puisque la vitesse de propagation est invariable; et dont la masse par conséquent s'accroîtra. On conçoit doiic que les vitesses homologues dans les ondes

NOTIOl^S FONDAMENTALES ï«

successives, et par suite Tintensité du son, diminuent. Insistons sur cette dégradation avec la distance.

Dans le choc des deux corps élastiques m et m\ si la masse m' vaut m -f- dm on trouve {§ 2), pour les vitesses après le choc ,

c'est-à-dîre, en s'en tenant aux infiniment petits du premier ordre ,

On en conclut que la vitesse en arrière U reste nulle, et qu'ainsi le mouvement vibratoire ne revient pas en arrière dans un milieu homogène. La vitesse U' n'éprouve qu'une altération infiniment petite, mais cette altération, se répétant incessamment dans la transmission aux couches suivantes, formera bientôt un déchet fini et appréciable. On conçoit donc que les vitesses oscillatoires des couches diminuent et que les trochoïdes qui représentent les ondes successives aient des ordonnées décroissantes. Si u est la vitesse d'une tranche d'air située à une distance quelconque R du centre d'ébranlement, on a

et conséquemment

^ -, vdm

mais en appelant e l'épaisseur de la tranche, on a

m = 4 TT R' /;-, dm == 87r R — ï/R L'équation différentielle devient

__ ^ f 2rfR '"" 2 R *

1 8 CHAPITRE r.

En intégrant, on trouve

log (* =r -- log R -h r.

Soit i>i la vitesse à la distance R = i , on aura

ainsi les vitesses homologues d'une onde prise à des distances croissantes du centre d'ébranlement sont en raison inverse de ces distances (*).

- § S. — Hauteur. — Intensité. — Timbre.

'On a, entre la vitesse de propagation V\ la durée T d*unc vibration complète, et la longueur X d'ondulation correspondante, la relation évideîite V= -• Si on désigne par n le nombre de vibrations par seconde, on a

n et la relation précédente prend cette autre forme

Suivant que lecorps sonore vibre plus ou moins rapidement^

les ondes sonores deviennent plus courtes ou plus loligues.

Or, cette variation dans la durée T de l'oscillation ou

dans la longueur A d'ondulation^ est ce qui produit la hau-

(*) R=o donne une vitesse oscillatoire infinie, et ^e résultat devrait être accepté, sUl était possible que tout le mouvement se concentrât dans une masse infiniment petite , telle que la particule située au centre de l'ébranlement. Mais en réalité la force vive appartient, au début, à une certaine masse d'air qu'on ne doit pas réduire, et qui est répartie soit dans une certaine sphère , soit plutôt, en prenant pour eorps excitateur une sphère dont le rayon varie périodiquement, dans une certaine enveloppe sphérique. De sorte que^ s"*!! est des états ultérieurs où la masse imprégnée du mouvement grandisse , il n'en est pas d'antérieurs où elle diminue. C'est ainsi que, dans l'attraction d'une sphère, il se trouve une cause également physique qui impose à la formule une limite de distance eu deçà de laquelle elle cèssed'èti'e appHcable.

I^OTIOIKS FOflDAlIBNTALES. i^

leur des sons; les oseillatio&s lentes répondent aux sons graves , el les rapides aux sons aigus : d'élroiles limites comprennent d'ailleurs les ondes auxquelles Foreille humaine -est sensible.

Le plus ou le moins d'étendue des excursions isochrones, ou, ce qui revient au mème^ l'exhaussement et le surbaissement de la courbe des vitesses oscillatoires, se traduit dans l'organe de l'ouïe par une intensité plus ou moins grande.

Quant à la troisième particularité que l'oreiHe reconnaît encore dans les sons^ à savoir le timbre, sa cause étant obscure et l'expérience n'ayant encore rien signalé d'analogue en optique, «nous nous contenterons de la mentionner.

Nous allons compléter cette étude par la recherche des formules algébriques équivalentes aux constructions graphiques qui précèdent.

§ 9. —Formules du mouvement d'une particule livrée à l'agitation sonore.

Si l'on compte le temps à partir d'une position extrême du plan vibrant, celle de droite, par exemple, et si l'on caractérise chaque position de ce plan par un x compté de ^a position d'éqiiilibre, on voit que Vx a les allures du cosinus d'un arc proportionnel au temps, et la vitesse celles du sinus du même arc. Montrons que de telles formules sont réellement admissibles.

. La force mise en jeu par un très-petit déplac*ement d'une particule, au sein d'un corps ou d'un milieu élastique, est dirigée vei^s sa position de repos et est , dans certaines limites, proportionnelle à l'écart .r -, il suit de là qu'on a pour les quatre configurations du problème la formule unique

d'où

20 CHAPITRE t.

Soil a l'ccarl maximum ^ on a à la foîs

(' nr O , X z=z a '.

donc

c=iAa^ et p» =/•(«'— ji').

Dans ce qui précède, les vitesses positives étaitul dirigées dans le sens des x positifs*, on aura donc

ftx

--:: z= -\- \pi dt ^

X /■*■ arc sin - = y / t -h c\ a

Comptons le temps à partir de la position extrême de droite , quand f = o, on aura

d'où

ou bien

X =r. a et arc sin - =r - , a 2

, TT . X f- n

c = -f arc sm - =r vA^f H--,

X =:asm{\/k t-h- J = tf ces \/l-t ;

d'où l'on conclut

-— = i» r= — aJlsiïisfît.

fit V V

Or, on peut, dans le résultat, changer le sens des vitesses positives et les choisir de droite à gauche^ cela donne à la seconde expression la forme usuelle

(; =r a y^ sin \/k i.

En acoustique aussi bien qu'en optique, ou aura affaire

IKOTIONS FONDAMENTALES. '^ h

à des myriades de particules vibrant siiuuhauéinetit^ entre ces particules il s'établira une solidarité et des mouvements d'ensemble qui seront souvent visibles dans les corps sonores. On conçoit que de tels mouvements d'ensemble acceptent la loi qui régil les mouvements élémentaires dont ils sont la résultante, et que les formules précédentes restent applicables. L'étude des pfaénoniènes a fait voir qu'il en est ainsi en optique , et que, jusqu'à présent, on y est resté dans ces limites d'écart qui rendent la force, soitélémentairje, soit totale, proportionnelle à a', et perûieltent de négliger les autres termes de là série fcx-f- /wx*-h nx^-h . . . , qui, de fait, doit en représenter rigoureusement l'énergie.

Le point de vue où nous nous sommes placé pour établir les formules

x =r û ces ^tf y z=z asfk sin ykt

y a introduit la force unitaire h. Il convient d'échanger ce paramètre contre la durée T de la période.

La période est comprise entre deux époques consécutives t et «''qui ramènent et pour x et pourV les mêîxies valeurs ; il suit de là qu'on aura

^ sjk Les formulés deviennent

2 TT r 2.1Z . Iltt

j? rrr a cos -— — ) V •=! a — - sin -— — » T T T

ou bien

I' = 6 sin 2 ir - 9

si Ton pose

§ 10. — Propagation du son. — Représentation analytique.

Les mêmes formules donneront les excursions et les vitesses des particules du milieu, à la condition toutefois d'y

*2" CHAPITRE r

introduire la différence d'époque -, car le mouvement d'une

tranchb, quoique identique avec celui d'une autre traAclie^

ou avec celui du petit plan , n'arrive pas au m'ême instante

Soil d la distancé de la tranche, le mouvement qu'elle

possède est celm que possédait le plan excitateur il y a —

unités de temps. Les formules, appropriées au mouvemem de cette tranche seront donc

ou bien , puisque VT = X ,

.V =r aco%2n

et on y retrouve bien leur double destination : quand d est constant et t variable , elles peignent les agitations diverses^ qui se succèdent en un même point ^ <|uand au contraire c'est t qui est constant et â variable , elles peignent les agitations simultanées des diver» points. B suffirait de remplacer b par -T pour tenir compte de ramoindrissement qn'éprouvent dans la propagation libre lés vitesses oscillatoires.

§ 11 . — Amplitude . -- Retard . — Phase .

Par suite d'impuissances expérimentales, dans une même question il n'y aura jamais enjeu que des mouvements vibratoires de même période. T et V seront donc des paramètres absolus, et puisque le coefficient de vitesse h vaut a —

et ne forme pas un paramètre distinct, il suit qu'un mouvement vibratoire , considéré dans' le milieu qui le propage, se trouve défini et caractérisé par les deux seuls paramètres rt et 5.

Ce premier s'appelle amplitude , son carré (§12) mesure Vintensité du mouvement vibratoire. Le second peuf être

!«OTIONS FONDAMENTALES ^3

envisagé de deux manières qui lui ont fait donner deux dénominations ; tel que nous l'ayons considéré, il est nne disUnce et s^appelle retard : mais on pourrait aussi bien prendre pour ce paramètre de non-simulianéité le pro-

duit 2 71 -; alors il devfent uii arc ou un angle et s'appelle

phase. La focme des théorèmes qui régissent les mouvements vibratoires rend souvent l'emploi de la phase <p préférable à celui du retard à ; d'ailleurs on passe aisément de

l'un à l'autre par la relation ç = a ff -• On peut, sans alté-

rer ni x m i^ , ôter dans - lous les entiers et ne garder que

la fraction excédante. On agira ordinairement ainsi ^ de sorte que le retard d et la phase (f soient alors compris , le retard entre o et X^ et la phase entre o et a tt*

§ 12. — Mesure de Tintensité. — Elle devient illusoire quand il s'agit de sons de hauteurs diverses.

Les géomètres et les physiciens s'accordent pour assimiler à un véritable travail mécanique Faction des agents sur nos organes et pour mesurer, parla moitié de la force viv^e, la cause physique de la sensation produite. Dans les théories matérielles, l'expression m^»* de la force vive contiendrait la masse m des corpuscules projetés. Dans les théories vibratoires, le mv*^ peut s'appliquer au milieu qui entoure l'organe et lui transmet le mouvement vibratoire. Ce .milieu est l'air, en acoustique \ en optique, ce sera l'éther de l'humeur vitrée. Comme cet éther n'éprouve pas ces altérations de densité auxquelles l'air est accessible, il s'ensuit qu'en optique la masse m est constante, et que l'intensité de la lumière y dépend de la considération de la seule vitesse.

Les sensations de l'ouïe et de l'œil consistent sans doute dans une excitation vibratoire de la partie nerveuse sensible. Ces deux sens sont organisés pour que les vitesses appuisses ne contribuent pas moins que les vitesses impul-

sii^es h les ébranler ^ et voilà pourquoi la force Tive qui ne contient qu'une puissance paire de. la vitesse promet une mesure fidèle de la sensation. Mais ces yitessc^s étant incessamment variables , il s'ensuit que les éléments du travail total accompli, pendant qu'une ond.e vient s'épuiser contre la rétine, ont des valeurs différentes , et que ce travail total sera donné par l'intégrale • T

£>'sin» nn-iii.

S^agit-il de vibrations de même durée, cette intégrale est proportionnelle au travail incessamment produit -, s'agit-il au contraire de sons de hauteurs différentes , jou bien (nous le verrons Uentôt) de rayons de couleurs différentes , il faut tenir compte alors du plus ou moins grand nombre d'ondes qui viennent dans le même temps battre l'organe et étendre l'intégrale auxjimites o et wT, wT étant une durée constante.

On trouve

b^ sin' un :='dt z=z -^ — , T 2

d'où Ton conclut que des rayons de même couleur sont mesurés par le carré de b (*) ou, ce qui revient au même, parle carré de l'amplitude «, puisque a et £ ne diffèrent

que par le facteur .— qui i3st alors constant.

^ . t , : b^T b^ è* sin* 2 îT ~ vaut évidemment n , ou -- > puisque

^iTest constant et égal à i, par exemple-, et l'on voit que

(*) On pouvait prévoir ce résultat: en effet, pour des mouvements de même durée, le facteur commun sin a?T — donne les mêmes vitesses successives, et le (acteur variable h les agrandissant toutes de la même mamcré, déterriiine l'échelle de leur grandeur.

NOTIONS FONDAMENTALES. 2t>

l'intensité reste proporlioûnelle à i*, quelle que soit la couleur; ce qui vide théoriquement la question si délicate de la mesure comparative des rayons de diverses^ couleurs. Mais, faute de pouvoir rendre b égal dajis ces rayons, ou, ce

qui revient au même , d'après la relation b = a -=r» faute de

pouvoir donner aux particules, des excursions proportionnelles aux durées des vibrations , cette solution reste illusoire.

Si l'on rapproche cette proportionnalité entre l'intensité et le carré de i' de la proportionnalité inverse que nous avons établie (§7) entre les vitesses oscillatoires et les distances au centre d'ébranlement, on en conclura que, dans un milieu homogène, le sçn et la lumière varient en raison inverse du carré des distances.

ARTICLE P