bx3 15 5 | Ex. :—x

me 14 1e

Ou bien, sans changer le numérateur, diviser le dénominateur par lé nombre donné.

5 5 5 1 EX. :— x 3 = == 2+— 6 : 6:3 2- 2

“Dans le premier cas, le genre d'unités restant lo mêrhë, on ën prend trois fois plus.—Dans le second cas, les parties étant devenues 3 fois plus grandes, on en prend le même nombre. Par conséquent dans les deux cas la fraction a été multipliée par trois.

2e PRINCIPE — Pour rendre une fraction un certain nombre de fois plus petite, il y a deux moyens.

Ou bien, sans toucher au dénominateur, diviser le numérateur par le nombre donne.

6 3 .2 Ex.: —:3 = = — 7 g 7

Ou bien, sans changer. le numcrateur, multiplier le dénominateur par le nombre donne.

Ex.:—:3= —— = — — —

7 1x3 21 T Dans le premier cas, le genre d'unités restant le même, onen prend trois fois moins.+—Dans le second cas, les parties devenant trois fois plus petites, on en prend le même nombre. Par conséquent dans les deux

cas la fraction a été divisée par trois.

PRINCIPE GÉNÉRAL.— Une fraction ne change pas de valeur, quand on multiplie ou qu'on divise ses deux termes par un même nombre.

Ce principe est la conséquence des deux autres. ,

Simplification des fractions.

D'après le principe précédent, une fraction ne changeant pas de valeur, quand on multiplie ses deux termes par un même nombre, nous avons donc, pour exprimer la même fraction, une multitude de formes.

l 1542 1x22 1x22x3 1Xx22»%31 36 2 2x2 ATE 7 9x22x3 2x 22x32 7

Mais de toutes ces formes, il en est une }, qui est la plus simple et qu'il est toujours important de connaitre ; c'est ce qu’on appelle réduire la fraction à sa plus simple expression. Or pour simplifier une fraction, il faut diviser successivement ses deux termes par les mêmes nombres et c’est le cas d’appliquer les principes de la divisibilité et les règles du plus grand commun diviseur.

Réduction des fractions au meme dénominateur. b,

Quand deux ou plusieurs fractions ont lo même nombre pour dénominateur, on peut aisément les comparer entre elles; mais quand leurs dénominateurs sont différents, il faut, sans rien changer d’ailleurs à la valeur de ces fractions, les réduire au même dénominateur, pour savoir quel: en sont exactement les rapports.

1° MÉTHODE DE LA MULTIPLICATION.—Pour réduire par cette méthode au même dénominateur deux fractions seulement, on doit multiplier les deux termes de chaque fraction par le dénominateur de l’autre.— S'il y a un plus grand nombre de fractious, on multi-

se 6

plie les deux termes de chacune d'elles par le produit des dénominateurs de toutes les autres,

2 4 1 3 6 lo Ex. : — — 2° Ex. : — — — 3 5 7

APPLICATION DU PROCÉDÉ AU Î* EXEMPLE.—On multiplie les deux termes 2? et 3 de la première fraction par le dénominateur de l’autre, c. à. d. par 5 et on obtient ainsi}. On multiplie ensuite les deux termes de la sécondé fraction 4 et 5 par 3 le dénominateur de la première et on obtient ainsi +3.

2 2x5 10 1e Fraction. À — = ——— = —

2e Fraction. 4 — = = —

5 5x3 15 APPLICATION DU PROCÉDÉ AU 2 EXEMPLE.—On multiplie les deux termes 1! et ? de la première fraction par 7 X 4 le produit des dénominateurs des deux autres fractions et on obtient #8. —On multiplie ensuite 3 et 4 les deux termes deda deuxième fraction par ? X 7 le produit des autres dénominateurs et on obtient #3. Un multiplie enfin 6 et 7 les deux termes de la dernière fraction par 2 x 4 le produit des autres dénomina-

teurs et on obtient #3.

1 1x4x7 28 1e Fraction. 4 — = — = — 2 Z AxT 56

3 3x2x17 42 2° Fraction. 4 — = EE 4 4x2x'T 56

6 6x2x4 48 3° Fraction, 4 — = — = — 7 1x2x4 56

Te

DÉMONSTRATION.—Mon but. étant de comparer entre elles les fractions données, comme on ne peut comparer entre elles que des unités de même nature, il faut les réduire au même dénominateur mais sans en changer la valeur. Or les deux conditions ont été observées. Elles ont été réduites au même dénominateur; puisque, dans le premier cas nous avonk : 5 x 3 = 8 x 5, et dans le second cas nous avons 4 x 7 x 2 =11x4x2=2xTxA.

, D'un autre côté la valeur n’a pas été changée, puisque d’après les principes on peut:multiplier les deux termes d’une fraction par le même nombre, sans on. changer la valeur. Donc le procédé est bon, et l'opération doit être bonne. C. Q. F. D.

2° MÉTHODE DU PLUS PETIT MULTIPLE.—Comme il importe toujours d’avoir pour dénominateur commun le nombre le moins élevé possible, on doit se servir d'un autre procédé, quand, les fractions étant trèsnombreuses, on veut éviter un dénominateur par trop considérable. Voici quel est ce procédé :

On réduit d’abord chaque fraction à sa plus simple expression; puis on cherche quel est le plus petit multiple commun des dénominateurs ainsi réduits. Ce plus petit multiple est le dénominateur à donner à toutes les-fractions. On le divise par le premier dénominateur de chaque fraction, afin que sachant ainsi par quel nombre a été multiplié ce dénominateur, on puisse multiplier par le même nombre les numérateurs correspondants. De cette façon, les deux termes de la fraction se trouvent être multipliés par

le quotient de la division, et dès lors la fraction n’a pas changé de volume.

8 7 19 53 97 Ex.:— — — — 4 8 24 72 360

APPLICATION DU PROCÉDÉ A L'EXEMPLE.—Les fractions étant déjà réduites à leur plus simple expression, on décompose immédiatement les dénominateurs en leurs facteurs premiers, ainsi qu’il suit :

Cela fait, on prend tous les facteurs différents et à leur plus fort exposant, soit : 25 X 3? x 5 = 360. 360 est le plus petit multiple cherché et par conséquent le dénominateur commun à donner aux cinq fractions. Pour savoir par quel nombre le dénominateur 4 de la fraction + a été multiplié, je divise 360 par 4 et j'obtiens 4 x 90 — 360. Le dénominateur 4 ayant été multiplié par 90, il faut multiplier de même le numérateur 3 par 90 et ainsi du reste pour toutes les fractions et on obtient successivement :

et 0 = Addition des fractions,

Procéné.— Pour additionner plusieurs fractions, il faut d'abord les réduire au même dénominateur ; car on ne pout réunir ensemble que des nombres de même nature. La réduction une fois faite, on additionne les numérateurs et on donne au total pour dénominateur, le dénominateur commun. Quand il y a des entiers joints aux fractions, on les additionne à part, 1 4 7 1 4 7

1e Ex.: — + -- + — 2° Ex,: 3— + 2— +8— | 2 5 10 2 5 10

APPLICATION DU PROCÉDÉ AU Î*# EXEMPLE.—-On commence par réduire les fractions au même dénominateur par la méthode du plus petit multiple.

1 4 7 5 8 7 Soit —+— += — + + — 2 5 10 10 10 10 On additionne ensuite les numérateurs 5 + 8 + 7 = 20. On donne au total pour dénominateur, le dénominateur commun 10 et on obtient ainsi $ÿ = 2

APPLICATION DU PROCÉDÉ AU 2° EXEMPLE.—La réduction étant faite comme précédemment ona:

1 4 7 b 8 7 3— + 2— + 8— = 3— + 2— +8— 2 5 10 10 10 10 On additionne ensuite les entiers 3 + 2 + 8 = 13, et enfin les fractions d’après la règle, soit $$ = ?, Total général 15.

D'ÉMONSTRATION.—Elle n'offre rien de particulier. Soustraction des fractions.

Procépé.—Pour faire la soustraction des fractions, on commence par les réduiro au même dénominateur,

On retranche ensuite les numératetrs l’un de l’autre et on donne au reste pour dénominateur, le dénominateur commun.

Quand il y a des entiers, on retranche les “entisrs des entiers et les fractions des fractions.

2 4 D'UMIES de Ex : em — ee 29 x 15m 8e at 8. 9

APPLICATION DU PROCÉDÉ AU Î*" EXEMPLE.—On comménte par fairela réduetion des deux fractioné par lé moyen du plus petit multiple et on'nbtient aïnsi 2 —# — 4 = 4. On rètranche l’un de l'autre les numérateurs ni et 6 réste 2. On donne à ce reste pour dénominateur, le dénominateur commun 9, On a donc 4 pour reste.

APPLICATION BU PROCÉDÉ AU 2° EXEMPL8.—La réduction au même dénominateur étant faite comme précédemment, on retranche d’abord 3 dé 5 et ensuite & de $ reste ? + 3.

REM«RQUE.—Si la déuxième fraction était plus grande que la première, il faudrait ajouter à céllé-ci tn entier et tenir compte ensuite de cet emprunt danS la soüstraétion des entiers.

4 C1 19 ñ 12 Ex. : 9— — 2— = 8— — 2— — 6—- 15 15 15 15 15

DéMonsrRATion.—Elle n’offre rien de particulier. Multiplication des fractions.

MUZTIPLICATION D'UNE FRACTION .PAR UNE FRAC- TION.—Nous considérerons les nombres entiers comme des fractions dont le dénominateur est 1: Caÿ, cela étant admis, il en résulte une grande simplification,

BE

puisqu'il n’y a plus à examiner qu’un seul cas, savoir: multiplication d'une fraction par une fraction.

2 4 Ex. :— x — 3 5

PRocfpé.—On multiplie les numérateurs l’un par l’autre, et les dénominateurs également l’un par l’autre. |

APPLICATION DU PROCÉDÉ À L’EXEMPLE.—Soit à multiplier 2 par # je multiplie ? par 4 et ensuite 3 par 5 et j'obtiens ainsi :

-D£MONSTRA:ION—Mon but est de chercher un nombre, qui se compose avec le multiplicande # conime le multiplicateur # se compose avec l'unité, mais le multiplicateur se composant de 4 fois le cinquiéme de l'unité, le produit cherché devra se composer de 4 fois le cinquième du multiplicande. Le cinquième de ? est un nombre 5 fois plus petit, et par

| 2 2 conséquent -——, Les quatre cinquièmes de —

2x4 seront: eut C. Q. F. D.

Remarque.—La multiplication d’une fraction par un nombre entier, d’un nombre entier par une fraction d’un nombre frac-

tionnaire par un nombre fractionnaire rentre dans le cas précédent.

Multiplication d’une 4 4 TT A4X7 78 3 fraction par un —XT1=—-X—=—=——=5— nombre entier. 5) ER 5x1 ù 5

nombre entier SX—=-xX— = — = ——=1)—

Multiplication d'un { 2 5 2 5x2 10 l par une fraction. 3 1 3 1x3 3 3

Multiplication d’un

nombre ne ere 17 39 17x39 663

par un nombre 5 3 5 3x5 15

fractionnaire.

Division des fractions.

DIVISION D'UNE FRACTION PAR UNE FRACTION.—Les nombres entiers pouvant être considérés comme des fractions dont le dénominateur est 1, comme la division des fractions offre de réelles difficultés à quiconque ne procède pas par raisonnement, nous n’établirons qu'un cas, auquel il est facile d’ailleurs de ramener tous les autres. Ce cas : c’est la division d'une fraction par une fraction.

8 2 Ex. : —: — 9 3

ProcÉDÉ.—Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.

APPLICATION DÜ PROCÉDÉ A L'EXÉMPLE.—J'ai $ à diviser par à. Pour cela je multiplie la fraction dividende $ par la fraction diviseur ? ainsi renversée 3 et j'obtiens :

:DéuonsTRATION.—-JLe dividende #4 étant le ‘produit du quotient multiplié par le diviseur $, comme multilier un nombre par ? n’est autre chose qu’en prendre es ?. ( Voir la multiplication des fractions.) Les 3 du quotient — $. Le tiers du quoticfit est donc un nombre deux fois plus petit = —— ; les trois tiers 1X?

ou le quotient tout entier, un nombre trois fois plus

8x3 2 4 # fort = ms, On a en effet = x —- = — ox? 3 3 9.

Remarque — La division d’une fraction par un nombre entier, d’un entier par une fraction, d’un nombre fractionnaire par un nombre fractionnaire rentre dans le cas précédent.

Division d'une ! 5 D: Gxt .::5 ?

fraction par un —:1=—-;—-=——=—-=8—

nombre entier. 6 6 1 6x7 42 5

Divisiond'un . & 8. 4 8x7. 56

nombre entier 8'—=—: ——— —=——14 par une/fractiôn, 7 ROC NNTE

Done un à 3. 26 15 27x4 108

mt === —

par un nombre

fractionnäire,

nombre os 9 11 4 11 4 11x15 165

Conversion des fractions ordinaires en fractions écimales.

Protépé.—Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, on divise le numérateur de cette fraction par son dénominateur, d’après les règles déjà exposées au chapitre des nombres décimaux; et s’il est possible, on continue l'opération jusqu’à ce qu'on ait zéro pour reste,

—$ÿti- Dans co cas, la fraction décimale est équivalente à

la fraction ordinaire,

Ex: — = 065: 8— 0,625.

Numérat. 5, 0 8 Dénominateur.

2 0 0, 625 Evaluation en 4 0 [décimales

Mais il arrive souvent, après des divisions plus ou moins nombreuses, que l’on retombe dans un des dividendes partiels déjà obtenus. Dès lors les mêmes chiffres du quotient se reproduisent indéfiniment dans le même ordre. C’est ce qu’on appelle la période.

On dit que la périodé est simple, quand elle commence immédiatement après la virgule.—On dit qu’elle est mixte, quand elle ne commence pas immédiatement après la virgule.

Période simple. l'ériode mixte.

12 7 — = 12:37 = 0, 324. 324] — = 7 : 55 = 0, 12721. 37 59 12, 6 37 70 55 90 ee ——— 160 (, 324.324 400 0, 12727 120 150 | 90 400 160 15

Dans le {er cas la période est 324.—Dans le de cas la période est 27. |

mt 85 —+ CHAPITRE SIXIÈME,