NV
d'après laquelle la valeur de'N converge bien vers zéro lorsque la vitesse augmente indéfiniment.
Le Tableau suivant permet la comparaison des valeurs de NV, déduites des expériences et de la formule (B'') :
Vitesse (mètres )
Valeurs de NV ( des expériences
déduites i de la formule ( B" ) .
Différences
6582000 6452000 — i3oooo
Les formules (B), (B'), (B'') permettent de calculer les valeurs de K qui correspondent à un projectile et à une vitesse initiale donnés. On pourra, dans les applications, s'aider de la Table suivante :
Table des valeurs de NX et de ^ -
Vitesses.
VALEURS DE NV
4o84ooo
27000 4IOIOOO „1 , 36ooo
43o5ooo
4384000 ™ooo
OIIQOOO
j33iooo
2IQOOO
ooooooo ;,
4io
oïdJooo
lOlOOO
6356000 f;"" 56ooo
; , i3ooo
JOOO
5oo
§ 18. — Application numérique.
Obus ogival de 24*""".
/?ir=I20'^g, Y = 41*42'.
Diamètre du cercle équivalent à la section de Tâme et des rayures du canon de 24^"*, o™, 242, nombre que l'on adoptera pour valeur de a. Vitesse initiale, V=: 470™-
En supposant le poids du mètre cube d'air A =r l'^s, 208, la formule (B), savoir
— -— . - = — M(i — cosa) 4- N seca, Aa' sm Y
devient
lo^^K X 2675 =1: — M(i — cosa) + Nséca. .
D'ailleurs, pour la vitesse de 470"*, la Table des valeurs de
NV et de ^ donne
NV — 644iooo, ^ — 1 ,943,
d'où
et
lO^'^Kz^ — 10,341 (i — cosa) 4- 5,322 séca.
L'angle %, auquel correspond le minimum de K, est, d'après cette formule, égal à 44°7 6> de sorte que l'angle de plus grande portée est compris entre 44"^' ^t 45".
On obtient alors facilement les valeurs de K qui correspondent aux diverses valeurs de a :
Angle a 3o° , 4^* 1 60°
Valeurs correspondantes de 10'" K 4)7^' 4>49^ ^j^l^
Enfin, les portées se calculent au moyen de la formule
donnée P® Partie, Ghap. IV, § 13, à l'aide de laquelle on obtient :
Angle a
Portée correspondante (mètres).
La différence entre les portées qui correspondent aux angles de 3o** et de 60*^ serait ainsi égale à 448"".
§ 19. — Examen dn cas où l'angle de départ est très faible.
Dans le § 3, on a trouvé que, lorsque l'angle a se rapproche de zéro, la valeur de K se rapproche de la limite ^ :^î
6V2 représentant l'accélération qui correspond à la résistance de l'air, de sorte que l'on a
Or, lorsque, dans la formule (B), on fait converger a vers zéro, on trouve pour cette limite
NAa-siny io*V
Si donc, à cette limite extrême, les formules étaient encore applicables, on devrait avoir
2 Aay(Y) NAa- sin^
3 pT' ~
ou
lo^V
6 v-siriY
Or le Tableau suivant montre qu'il n'en est pas ainsi :
VITBSSB.
VALECft UE N.
VALBUft DE 10 '0 - •{ , • 2 V« 8lnY
3oo
4oo
ii58o
• 5oo
La valeur de 10*® tc ttt-^ — est d'abord supérieure à celle
3 V* siny *^
de N; mais la différence diminue à mesure que la vitesse augmente ; régalité s'établit pour une vitesse voisine de 200°*.
2 /*(V) De 200™ jusqu'à 3oo™ environ, la quantité io*<*^ ' ^ . ^ est
inférieure à N; l'égalité s'établit de nouveau pour une vitesse
2 f(V) voisine de 3oo"*, puis la valeur de io*<*7r ttt-ï — devient su- ^ 3 Y* sm Y
périeure à N. Les différences sont très grandes dans le voisinage de 360"*; mais elles ne tardent pas à diminuer, et l'égalité se rétablit pour une vitesse peu inférieure à 4^0". Enfin, pour toutes les vitesses supérieures à 420™, la valeur
de I o* <* 77 TTT—' — est supérieure à N, et la différence au^rmente
3 Y^ sinY
indéfiniment avec la vitesse.
Dans les limites où varient d'ordinaire les vitesses initiales des projectiles de l'artillerie, qui ne deviennent guère infé-
2 /"(Y) rieures à 3oo", on peut dire que la quantité lo***^ ^^ . ^ -
est supérieure à N lorsque la vitesse initiale est très grande, tandis que le contraire a lieu quand la vitesse initiale est inférieure à 420".
De là il faut conclure que les formules obtenues au § 17 ne donnent pas exactement les valeurs de K qui correspondent aux petits angles.
Il est donc intéressant de rechercher la manière dont varie le coefficient R lorsque l'angle de départ a est très petit.
Lorsque, dans toute l'étendue de la trajectoire, la vitesse du projectile reste supérieure à 4oo™î on sait, d'après le Chapitre IIT, que la résistance de l'air est à peu près proportionnelle aii carré de cette vitesse.
L'accélération correspondant à la résistance de l'air a été
représentée, en général, par 6(^^ ; et, dans le cas actuel, b est
une constante. Comme il ne s'agit ici que de très faibles
ds . .
valeurs de a, le rapport -j- diffère toujours extrêmement peu
de l'unité : on n'altère donc pas sensiblement l'a valeur de
l'accélération bi^^ en la multipliant par ce rapport; elle de-
*ds vient bv'^-r-y et l'on sait que, dans ce cas, la formule qui
donne la portée est
sin2azz. ^-^f^^^ (e^^^^2^^X-i)
(F« Partie, Chap. VI, § 6).
Développant é^^^ et négligeant les puissances de b supérieures à la quatrième, on obtient
smsa I
gx -\^
f ib b^X \ V3V2 + 3Y2J'
Le coefficient de X, dans le second membre, est la valeur de K; on a donc
b{2-hbX)
2 b La valeur de K, égale à ^ ^^^ lorsque la portée X est nulle,
va nécessairement en augmentant avec celte portée, du moins tant que la valeur de b peut être regardée comme constante.
L'analyse précédente, cesse d'être exacte lorsque la vitesse devient inférieure à 4oo™; en effet, la valeur de b ne peut plus être considérée comme constante dans toute l'étendue de la trajectoire. On aurait sans doute une approximation suffisante si l'on attribuait à cette quantité une valeur moyenne parmi toutes celles qu'elle peut affecter. Pour calculer cette moyenne, on pourra calculer la vitesse finale v en négligeant l'action de la pesanteur et faisant usage de la Table du Chapitre III, § 12.
La valeur de {^ étant connue, on en déduira celle de b au moyen de la formule
et cette valeur de 6, introduite dans la formule (C), déterminera la valeur de K.
Il est bien clair que les résultats que l'on obtient dans ce dernier cas ne peuvent être considérés que comme purement approximatifs ; cependant on peut s'en servir pour apprécier l'influence que les variations du coefficient K exercent sur les petites portées. On va en donner quelques exemples.
i** Obus ogival de 2 4'^"*.
Résultats des calculs.
PORTÉE X
ANGLB DB DÉPART a.
▼ALBUR DE 10'*>K.
r II
5oo
i5oo * i
La valeur de io^<*K se montre croissante jusqu'à 3°, où elle devient peu inférieure à la valeur donnée par les formules (B), (B'), (B"), savoir 5,3i2.
2^ Même projectile, V zzz 36o°*.
Résultats des calculs.
PORTÉE X
A5GLB DE DÉPABT «.
VALEUR DE lO'OR.
5oo
i5oo
25oo
3ooo
La valeur de K diminue d'abord très rapidement, puis plus lentement; pour l'angle de 6**, elle devient sensiblement égale à celle qui est donnée parles formules (B), (B'), (B''), savoir 5,128.
On voit, par ce qui précède, que les valeurs de K données par les formules (B), (B'), (B") peuvent s'écarter de la vérité lorsque l'angle a est inférieur à 5°. Il reste à examiner à quelle erreur on s'exposerait en continuant à s'en servir, même lorsque l'angle de départ est très petit.
Dans le Tableau suivant, on a mis en regard les portées obtenues en employant tour à tour la valeur de K fournie par les formules (B), (B') et (B'') et celle qui résulte delà formule (C).
Obusde24°"'- /
VALB0BDBIO«>K
PORTÉE
donnée par
corres-
ia formule (C).
pondante.
Ul
i5oo
