:::^ ::^ COS COS

Des considérations analogues conduisent à l'équation

y sinTA-hsiiiT . Ta-i-t Ta — t

-L. z=. =: sm -^ COS — y

de sorte que, en faisant 5 = 5|, on a

— =: ces COS 1

Si 2 2

:^ 1= sin -^ COS — •

.Si 2 2

La durée tt du trajet est donnée approximativement par la formule

Lorsque Tare que Ton considère a une certaine élévation au-dessus du sol, on peut tenir compte de la variation de densité de Pair à Taide de la formule suivante, donnée par M. de Saint-Robert ( * ) :

A'=A(i — o,ooo8Z),

dans laquelle A désigne le poids du mètre cube d'air au niveau du sol et A' le poids du mètre cube d'air à la hauteur Z. On en a déduit la Table suivante, en supposant qu'au niveau du sol le poids du mètre cube d'air était égal à 1^6^208 :

36oo

38oo

56oo

58oo

3ooo

i4oo

5ooo

(*) Mémoires scientifiques, t. III, Hypsométrie, Turin, Vincent Bonna,

Il est clair que les valeurs finales de r et de (^ dans un arc quelconque deviennent les valeurs initiales dans le calcul de Tare suivant.

Quand on transporte l'origine des coordonnées au point de départ, l'extrémité du /i*^"® arc a pour abscisse la somme des valeurs de Xi qui correspondent aux n premiers arcs, et, de même, pour ordonnée la somme des valeurs de jk<- Le calcul s'arrête nécessairement quand cette dernière somme devient négative.

Les ordonnées extrêmes du dernier arc sont alors de signes contraires, et il faut déterminer approximativement le point où il rencontre l'arc des abscisses.

On peut toujours faire en sorte que cet arc n'ait qu'une faible grandeur, et alors, admettant que, dans toute son étendue, les variations de Tabscisse, de la vitesse et de tangT sont sensiblement proportionnelles à celles de l'ordonnée, on obtiendra, avec une approximation suffisante, la portée, l'angle de chute et la vitesse finale.

§ 3. — Application numérique.

Obus de 24*^".

L'accélération correspondant à la résistance de l'air étant représentée par bv'^^ on a

t> = — sm Y A ^'. — '- / p ' smY

et, par suite, dans le cas actuel,

, 0,242- . , ^ / . /(<0 120 smY

296 TBOISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE YIII.

Premier arc: To= 3o% Ti=25% f^o=:474"

Calcul de v\.

On a

, 2 6cOS*T,

26(^2 COS*To j cos*

Prenant A = ir2o8 et attribuant à . la valeur o,366,

sm Y

qui, d'après la Table du Chapitre III, correspond à la vitesse 470"*, on a

logè--o, 15698 —4

log2 ^rr 0,3oio3 log2^ =10,45801 —4

log^ =3,54199 log^ =10,99167

J I or

loe =loff ~ =10,04272 loff-^ 1= 4)53366

log ir— = 0,08544 0, 08544

COS^^Xl

log , «~ 4>6lQ10

log^o^log 470 = 2,67210

'^s c-ir, = ^**«Hrô^ = °'°^"^7 log^'î = 5,34420

log-j =o,6558o — 6

log^^^ — o, 12494 o, 12494

log ■^='4,53366

iQg A / 2 =:o,3i44o-i

^2 6^'JcOS*To

Ci'Z

— =:z , 607QQ

cos^T ^ ibv\ COS*To

Jx»80« , ~^ = o,33i55

log - ^ - — =1 4,61910 log ( '-r^-T' -^- / — T- ) == o,52o54 — 1

°\2 6C0S^T, J^jj. COS'*T/

logç^'/n^ 5,09856 logç''i = 2,54928

Calcul de Tj.

A la vitesse v, = i5A^.2 correspond une valeur de ~. —

égale à 0,8190. Adoptant pour valeur de —. — > dans toute rétendue de Tare, la moyenne de celles qui correspondent à i'o et (^', on est conduit à prendre —. — =o,3475, et Ton trouve

b zizo, 0003247 X 1,208 X 0,3475 =z 0,0001 363,

valeur qui doit être employée pour le calcul détînitif :

log6=: 0,13445 — 4 log2 = o,3oio3

log2 ^ =1: o, 43548 — 4

log^^ = 3,564^2

En continuant comme précédemment, on trouve successi-

vement

^°^26i;jî^. =«.33693-.

log^f r- 5, 10692

logeai — 2,55346 . r, 1=357°», 6

Calcul de Si.

Formule : ,. = ^1^^ bg ^^'-'<=»^'^o l. <^o^'^

26(^5 COS^To

^^K^^fc-Ho :^£° cSx) = °'^347. ~ .

'°g 2KWxo = »'3369^ --

Différence =: c, 19778 logo» 19778 = o, 29619 — I log2,3o259=zi 0,36222

log-^. -zi 3,56452

log^i =13,22293 Si — 167 1™.

Calcul de x^.

Formule : œ^^^zs^ cos ""^ — * cos ^^5-=^ .

On doit prendre

log5, r= 3,22293

log COS27030' — 0,94793 — I log cos 2^ 3o' rn o , 99959 — I

log.Ti ~ 3,17045

Formule

Calcul de

Formule : y, = 5. sin ~ ^ cos -- '^

log^i —.3,22293

logsin27*>3o'"0,6644T — i log cos 2** 3o' z:^ o , 9995 9 — î

logji — 2,88693

Calcul de t^.

ti — }

(Vj- ^'1 470 + 357,6

log^i rnz 3,22293

log ^^^^* =12,61679

log^i = 0,6061 4

^lZ=:4s,o4. ,

Deuxième arc : To=i25°, Ti=2o°, 1^0= 457,6.

A la hauteui* de 770"*, 8, qui est celle de Porigine de Tare, la Table des poids du mètre cube d'air du paragraphe précé-

3oo

dent donne A'=i,i46. Attribuant d'abord à *^^ la valeur qui correspond à Vq^ savoir o,325i, on a

et un calcul semblable à celui qui a été fait pour le premier arc donne d'abord ç\ = 3o4™,o, puis ç^, = 3ii™, o. On trouve ensuite sans difficulté St = 1068°*, Xi = 987", jKi = 4o8™,6, ^, = 3% 19.

Les calculs relatifs aux autres arcs ne donnent lieu à aucune observation nouvelle. Le Tableau suivant renferme l'ensemble des résultats :

Vo (mètr.)i^, (mètr.).

5, (mètr.) a?, (mètr.).

y, (mètr.).

t^ ( sec. ) . .

3ii,o

io3,6

Lorsqu'on fait passer l'origine des coordonnées par le point de départ, on obtient l'abscisse et l'ordonnée de l'origine du septième arc en faisant la somme des six premières valeurs de Xt et celle des six premières valeurs de jKi. Pour avoir les coordonnées de l'autre extrémité, il faut faire la somme de toutes les valeurs de Xi et celle de toutes les valeurs de ji :

Abscisses ! ^^ l'origine 9392,0

j de rextrémité 9622,0

Ordonnées ff!;"'''^^:-; ^9'«

( de 1 extrémité — '49» 7

Admettant alors que, dans toute l'étendue de ce petit arc, les valeurs de x, y^ v^ tangT et t varient proportionnellement, il est facile de calculer celles qui correspondent au

CALCUL APPROXIMATIF DE LA TRAJECTOIRE MOYENNE. 3or

point de chute. Ainsi la portée est déterminée par la relation

9622 — 9892 49,8 -t- 149,7' d'où

On trouve de la même manière la valeur de la vitesse finale

et celle de l'angle de chute

Enfin, en appliquant un calcul semblable à la variable t dans le temps que le projectile met à parcourir la portion du septième arc comprise entre son origine et le point de chute, et en y ajoutant la somme des six premières valeurs de t^, on a la durée totale du trajet. On trouve ainsi

Comme le quatrième arc se termine au sommet de la trajectoire, la somme des quatre premières valeurs de x^ donne l'abscisse du point culminant, et la somme des quatre premières valeurs àe y^ donne son ordonnée. On trouve

Xi~5i32»^, Y,:^i678'",4.

Dans le Tableau suivant, les résultats que l'on vient d'obtenir sont comparés à ceux auxquels on est parvenu, dans les Chapitres précédents, soit en faisant usage de la formule des portées, soit en substituant une courbe du troisième degré à la trajectoire réelle.

Procédé d'approximation.

Courbe du troisième degré.

Différences

DuaiB

ANGLB

PORTÉE

trajet T.

Chute