SIMILITUDE MÉCANIQUE

corps composés par les points homologues sont de même nature. Le rapport de leurs dimensions linéaires est X.

On peut, dans ce cas, au lieu du rapport des masses, prendre celui de leurs densités. En le désignant par p, on a

(xzzzX^p et, par suite, cp^pX^B^.

Ainsi, quand deux systèmes sont semblables, les forces qui, dans les positions homologues, sollicitent les points homologues, sont proportionnelles aux carrés des vitesses et des dimensions linéaires, ainsi qu'aux densités.

Il y a une observation à faire. Pour que deux corps satisfassent à toutes les conditions de la similitude, il faut qu'on puisse les considérer comme composés d'un même nombre de points matériels semblablement disposés, chaque point de l'un devant avoir son homologue dans l'autre ; mais il est bien clair que cela ne peut donner lieu à aucune difficulté, lorsqu'on admet la continuité de la matière, comme on le fait du reste dans tous les Traités de Mécanique rationnelle.

Considérons le cas particulier de deux corps solides semblables et tels que le rapport des densités de leurs éléments homologues ait une valeur constante p.

Si la similitude mécanique existe et si, dans les positions homologues, les points homologues possèdent la même vitesse, 8 zz: I, et par suite 6 = X et cp = pX', de sorte que le rapport des temps homologues est le même que celui des dimensions linéaires, et les forces sont proportionnelles aux carrés de ces mêmes dimensions, ainsi qu'aux densités.

Ces circonstances peuvent-elles se présenter quand les deux solides se meuvent dans deux milieux de même nature et ne sont soumis qu'aux forces provenant des résistances de ces milieux?

Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que les solides et les milieux dans lesquels ils se meuvent forment deux systèmes tels que l'on passe du premier au second en multipliant simultai^ément les longueurs et les temps par X, les densités par p et les forces par pX*.

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/JOO NOTE I.

Par conséquent, le même rapport doit exister entre les densités des milieux et entre celles des deux solides.

Ainsi, si ces deux corps se meuvent dans un même milieu, la similitude ne peut avoir lieu qu'autant que leurs éléments homologues possèdent la même densité.

Dans ce cas, p 1= i et cp z= X' ; il faut donc encore que les forces qui agissent sur les éléments homologues soient proportionnelles aux carrés des dimensions linéaires.

Or, les seules forces qui puissent entrer dans les équations du mouvement sont les pressions ou tractions provenant des actions moléculaires. Si l'on admet, suivant l'usage, la continuité de la matière, la pression ou traction doit rester sensiblement constante, tant en direction qu'en grandeur, dans une étendue infi^ niment petite ; et l'on est par suite conduit à regarder celle que supporte un petit élément plan comme étant proportionnelle à la grandeur de cet élément. C'est ainsi qu'on agit dans la mécanique des fluides; alors la pression est toujours supposée perpendiculaire à l'élément sur lequel elle est exercée; mais, dans un milieu d'une autre nature, elle peut faire avec cet élément un angle très différent de l'angle droit.

Rien ne s'oppose donc à ce que les forces qui, dans les états homologues, agissent sur les éléments homologues, soient proportionnelles aux carrés de leurs dimensions linéaires. La similitude est alors possible, et si elle est établie au commencement du mouvement, elle subsistera pendant toute sa durée. On passera du premier système au second en multipliant les longueurs et les temps par X, et les forces par X^; il n'y aura aucun changement à apporter aux vitesses, non plus qu'aux densités. Les volumes des parties du milieu qui prendront part aux mouvements des deux corps seront proportionnels à ceux de ces derniers.

Le mouvement pourra faire varier la densité du milieu ; mais, dans les états homologues, elle sera toujours la même autour des éléments homologues.

Lorsque le rapport p, supposé le même pour les deux corps et pour les milieux dans lesquels ils se meuvent, n'est pas égal à l'unité, la similitude ne peut exister qu'autant que, toutes choses égales d'ailleurs, les pressions ou tractions sont proportionnelles aux densités.

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BHOBABILITfi DES RÉSULTATS MOYENS DES OBSERVATIONS. 4oi

Souvent, avant de construire une machine, on veut procéder à des essais en opérant sur un modèle de faibles dimensions. Il est clair qu'alors la similitude mécanique doit être établie entre les deux appareils. Les équations

expriment les conditions auxquelles il faut satisfaire; mais la nature des forces que Ton met en jeu oppose des obstacles à leur réalisation. Ce doit être dans chaque cas l'objet d'une discussion particulière.

§ 1. — Notions préliminaires.

En général, toute épreuve entreprise en vue de déterminer une grandeur est entachée de quelque erreur ou écart.

On supposera dans tout ce qui va suivre que chaque écart, quelle que soit sa grandeur, peut être indifféremment positif ou négatif, c'est-à-dire par excès ou par défaut.

La moyenne arithmétique des valeurs numériques des écarts est ce qu'on appelle Vécart moyen. On le désignera par y.

Le carré moyen des écarts est la moyenne arithmétique des carrés de tous les écarts. On le représentera par P.

(•) Cette Note est la reproduction d'un Mémoire inséré dans le tome III du Mémorial de V Artillerie et de la Jfart/ie (année 1875), et publié ensuite séparément. ♦

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Soient

les valeurs numériques des divers écarts ; m leur nombre.

Lorsque ces valeurs sont également possibles, en sorte qu'elles se présentent le même nombre de fois dans une suite indéfinie d'épreuves,

.r, -f- J?9 -I- .Tr. H- . . . -h X,n ^— z ,

ou, suivant une notation usitée,

§ 2. — Gonconrs de plusieurs causes à la production des écarts. — Théorème concernant le carré moyen des écarts.

Souvent deux causes indépendantes l'une de l'autre concourent simultanément à la production des écarts. Soient

^1? "^î? *^3 ) •••1 ^mn

les valeurs numériques des écarts que produiraient ces deux causes, si elles agissaient séparément ; r'* et r''* les carrés moyens de ces écarts. Les valeurs numériques étant supposées également possibles,

Les deux causes agissant simultanément, chaque écart dû à l'une d'elles vient se joindre successivement à chacun des écarts produits par l'autre.

Dans les hypothèses admises, ces accouplements, dont le nombre est m' m" y sont également possibles et, dans une suite indéfinie d'épreuves, ils se reproduisent le même nombre de fois.

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L'accouplement des deux termes a^\ et œ\ donne lieu à un écart dont la valeur est égale à leur somme ou à leur différence, suivant que les deux causes agissent dans le même sens ou dans des sens opposés. Dans le premier cas le carré de l'écart est a:\^ -+- ix\ x\ -f-^7> ^^ ^^^^ le second œ'I — 2x\ x\ h- ^7» ^^ somme des carrés de ces deux écarts est donc 2(a?|* ■+- x"f).

Le même terme x\ se joignant de la même manière à chacun des termes de la seconde suite, le nombre des écarts devient 2 m" et la somme de leurs carrés est

2/nV*4-2S(a7''2).

Les autres termes x\, ojg, x^, de la première suite s'accouplant de même avec chacun des termes de la seconde, le nombre des écarts s'élève à im' m"^ et la somme de leurs carrés est

im"{x',' -h x'I -+- a?;^ -4- . . . 4- oj'iJ) -h 2m'2(;r^2)^

ou

2m"I.{x'^) -h ^m'^Li^x"^).

Divisant cette somme par im! m!\ on obtient le carré moyen des écarts r* ainsi ;

pj __ 2^2 j Y"^,

Il est aisé d'étendre ce résultat à un nombre quelconque de causes perturbatrices, indépendantes les unes des autres et agissant simultanément; r'*, r''^, r^2^ ^ désignantes carrés moyens des écarts qui leur correspondent,

En général, le nombre des écarts que peut produire une cause perturbatrice est infini, et leur possibilité varie suivant leur grandeur numérique. Le théorème que l'on vient d'établir n'en subsiste pas moins. Il suffît, pour s'en assurer, de faire croître indéfiniment les nombres m', m" ^ m!\ ..., et de supposer en même temps que, parmi les écarts de chaque suite, il s'en trouve plusieurs qui deviennent égaux.

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4o4 NOTE H.

Ainsi, lorsque plusieurs causes perturbatrices indépendantes les unes des autres concourent simultanément à la production des écarts^ le carré moyen de ces derniers est égal à la somme des carrés moyens des écarts qu'elles produiraient si elles agissaient séparément.

Lorsque toutes ces causes sont équivalentes,

et, en désignant leur nombre par n, on a

Soient maintenant y'> t"» "i" y • • • les écarts moyens que produiraient les causes perturbatrices agissant isolément, et y l'écart moyen résultant de leur concours. Lorsque les rapports

— 5 -j^y —^y ••• sont égaux, on peut, dans l'équation précédente,

remplacer r*, r'*, I^*, . . . par y*, y'S y'^S . • . et Ton a

Alors le carré de l'écart moyen est égal à la somme des carrés des écarts moyens que produiraient isolément les diverses causes. Quand, de plus, elles sont équivalentes,

§ 3. — • Hjrpothéses et formnles fondamentales.

Admettons qu'on exécute une suite indéfinie d'épreuves, en sorte que leur nombre, désigné par N, soit infiniment grand.

Soient — X et X (la lettre X représentant une quantité positive) les limites extrêmes entre lesquelles sont compris les écarts qui se produisent.

En divisant le nombre de fois qu'un écart x apparaît dans cette suite d'épreuves par le nombre N de ces dernières, on a la probabilité de rencontrer cet écart dans une seule épreuve.

PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS DES OBSERYÀTIONS. 4o5

Cette probabilité est toujours infiniment petite : on peut donc a représenter par (^{x)dx (*).

Le nombre de fois que l'écart œ apparaît dans la suite des épreuves est par conséquent égal à ^^{œ)dx,

La probabilité d'un écart est supposée ne dépendre que de sa grandeur numérique; ainsi les écarts — œ Ql x ont la même probabilité ©(a?) dx.

Le nombre des écarts qui ont une même valeur numérique x est donc égal à i^^{x) dx,

La fonction «p(^), dans laquelle chaque écart ne figure que par sa grandeur numérique, est supposée continue, en ce sens qu'elle n'a qu'une seule valeur pour chaque valeur de x et qu'elle n'éprouve qu'une variation infiniment petite, lorsque x prend un accroissement infiniment petit. Les dérivées «p'(^), ^" {x)^ ... peuvent être discontinues.

L'expression algébrique de «p(^) reste entièrement arbitraire; elle peut même varier dans Tintervalle de zéro à X; elle n'est pas assujettie à la condition de conserver la même valeur quand on y change x en — x, puisque chaque écart n'y entre que par sa valeur numérique ; si elle présentait des valeurs au delà de la limite X on n'y aurait pas égard.

La probabilité d'avoir dans une épreuve un écart d'une valeur numérique égale à o^ ou, en d'autres termes, un écart égal soit à x^ soit à — Xy est évidemment

i<f{x)dx.

Par conséquent, celle d'avoir un écart numériquement inférieur ou égal à X est

2 / Cp(j?

)dx.

Cette probabilité se change en certitude quand j? =: X; il faut donc que

/ ^{x)dx = 1,

(*) Plus rigoureusement (f{x)dx représente la probabilité d'obtenir un écart compris entre x et /c-h dx.

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4o6 NOTE II.

L'expression 2Ny(a:) dx représentant le nombre des écarts numériquement égaux à x, la somme de ces écarts est égale à i^x^{x)dx^ et la somme des valeurs numériques de tous les écarts qui se produisent dans la suite des épreuves

est 2N / x^{x)dx. Divisant cette somme par le nombre N des

épreuves, on a l'écart moyen ; donc

Y :=:: 2 f X<f{x)dx,

De même 2 N^'cp(^)<fj7 représente la somme des carrés des

écarts égaux à x^, et par conséquent 2N 1 x^^{x)dx est la

somme des carrés de tous les écarts. En la divisant par N, on a le carré moyen ; donc

nzz:2 / X^^{x)dx,

Quel que soit le lieu géométrique de Téquation y =: <^{x), on n'a à s'occuper que de la partie de la courbe comprise entre les

abscisses a? = o et ^ = X. L'intégrale / <^{x)dx donne donc

la valeur de l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses ;

il en résulte que cette aire est égale à - •

L'abscisse du centre de gravité de cette aire, laquelle est

/ xf{x)dx donnée par l'expression générale ^^ y se trouve égale

Jf ^{x)dx o

I X(f{x)dXy et par conséquent à l'écart moyen y*

Cette courbe est appelée courbe des probabilités des écarts.

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§ 4. — Application à la loi de probabilité des écarts :

sJtz Pour application des formules générales, soit

e désignant la base des logarithmes népériens. Aucune limite n'est imposée aux écarts ; de sorte que X = oo . Dès lors

/» i/'ît

Q-a*x* ^j. gst connue ; elle est égale à — • Ainsi

Cette intégrale devant être égale à -^ il faut que c*= — n-

Par conséquent, par suite^

or

^0 par suite

i x^{x)dx^=^ — I xe-'^*^*dx]

f xe-^'^'dx^-^ et f x^{x)dx:=z—^' Par conséquent,

ay/iï

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4o8 NOTE II.

On a de même

/ ^*cp(j7)c^j7=: -^ I œ^e-'^^^^dûr;

or

donc

Jo 2aV, 4a'

Par conséquent,

r«=~ et r=-L.

Ainsi

et

La probabilité d'avoir, à une épreuve, un écart numériquement égal à œ est

et celle d'avoir un écart d'une valeur numérique égale ou inférieure à or, par conséquent compris entre — x et x, est

v/ir,

La courbe des probabilités des écarts a pour équation

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PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS DES OBSERVATIONS. 4o9

on en tire

C'est quand ;r = o que l'ordonnée y atteint sa plus grande valeur; la tangente en ce point est parallèle à Taxe des abscisses, et dans le voisinage la concavité de la courbe est tournée vers cet axe; plus loin il y a un point d'inflexion, et le sens de la courbure change. La courbe a pour asymptote Taxe des abscisses.

L'expression de -7-=^ montre que l'abscisse du point d'inflexion

est égale à — -~ et par conséquent à r.

Une loi de probabilité qui ne laisse aucune limite aux écarts

semble d'abord inadmissible; mais la rapidité avec laquelle la

courbe se rapproche de son asymptote fait disparaître cet

inconvénient.

§ 5. — Moyenne arithmétique des résultats des obseryations.

Lorsque plusieurs épreuves entreprises en vue de déterminer une grandeur oi. ont donné des résultats différents (oi,toj, ai3,...,i«rt, on est naturellement porté à penser que les écarts par excès ou par défaut se compensent à peu près, surtout si le nombre n des épreuves est considérable, de sorte qu'on prend pour (o la moyenne arithmétique des résultats, et l'on a

(0| -f- (02 -h l«3 -h . . . -1- iiiri

Cela revient à déterminer ai de telle sorte que la somme des carrés des diff*érences w — toi, w — w,, co — (03, ... soit un minimum. En eff*et, en difl^érentiant par rapport à w la somme

(co — toi)2H-(ai~-ai2)'-h. . . + ((0 — 03»)%

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et égalant la différentielle à zéro, on a

(o£ -h («2 -h oij H- . . . -H (jjf^ — ntij = o.

Il est clair qu'on ne peut jamais compter sur une parfaite compensation des écarts positifs et des écarts négatifs. La valeur donnée par la moyenne arithmétique ne doit donc pas être regardée comme exacte. En s'appuyant sur le théorème démontré dans le § 2, on peut trouver Texpression du carré moyen des écarts dont elle peut être entachée.

Lorsqu'on fait la somme des résultats de n observations, les divers écarts possibles se groupent absolument de la même manière que dans le § 2, et les choses se passent comme s'il n'y avait qu'une épreuve soumise aux influences de n causes perturbatrices indépendantes les unes des autres. Toutes ces causes étant d'ailleurs équivalentes, la somme des carrés moyens des écarts qu'elles produisent est représentée par n r*. Tel est donc. le carré moyen des écarts dont peut être affectée la somme des résultats des n observations ; mais, pour arriver à la moyenne arithmétique, on divise cette somme et par conséquent chaque écart par n] les carrés des écarts sont donc divisés par /i^,

et Texpression précédente devient — •

Tel est donc le carré moyen des écarts dont peut être affectée la moyenne arithmétique. En le désignant par rjj, on a

§ 6. — Probabilité de la moyenne aritbmétique, formule générale de Laplace.

La question à résoudre est la suivante :

Lorsqu'on fait un nombre n d'observations, quelle est la probabilité d'avoir une somme d'écarts qui ne dépasse pas certaines limites ?

Partageant l'intervalle de zéro à X en m parties égales à djc.

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on peut former le polynôme

-h cp[(/n — i) dx'\dx.e^"'-^^'^'''^s/-^ 4- (f{mdx)dx.e'^^^'^^-^]

e représente la base des logarithmes népériens; m est un nombre entier infiniment grand; mdx^=X, Chaque terme est de la forme

e^^d^''^^^^rf{kdx)dx.

L'exposant de e est le produit de a \/ — i par un certain écart ±kdx et le coefficient <^{kdx)dx est la probabilité de rencontrer cet écart dans une épreuve. Le nombre k est entier.

La somme de deux termes également éloignés des extrêmes est de la forme

(^-Ma:aV^^ ef^d^^\/~^)^{kdx^)dx,

ce qui revient à icos{kfxdx)<^{kdx)dx.

En négligeant le terme infiniment petit <^{o)dxe^'^y/~^, on peut donc mettre le polynôme sous la forme

i[^{dx) co^{ct. dx) dx -h cp(2 dx)cos{2 0Ldx)dx

-h <f{3dx)cos{3oLdx)dx H-, . .+ (f{mdx)cos{moLdx)dx'],

La suite comprise entre les parenthèses est le développement de l'intégrale

2 / (f{x) cos {oLx)dx,

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4l2 NOTE II.

Ainsi le polynôme est égal à

cos{oLx)dx»

Cela posé, le développement de la puissance n de ce polynôme se compose de termes de la forme

(f{kidx)dx<^{kidx)dx . . . ^{kndx)dxj

Les n facteurs dont se compose le coefficient sont des probabilités d'avoir dans une épreuve l'un des écarts kxdx^ k^dx,. , ., kndx. Leur produit, d'après un principe connu (*), est la probabilité d'obtenir leur concours dans une série de n épreuves, auquel cas la somme des écarts est égale à

kidx -h k^dx -^. . .-h k,idx=zl dx.

L'exposant de e devient alors IdxoL^ — i. Il y a un certain nombre de termes qui reproduisent la même somme Idx. On peut les réunir en un seul qui sera nécessairement de la forme ^gidx.a>J-\^ et le coefficient A sera la probabilité d'obtenir dans n épreuves une somme d'écarts égaie à Idx, Tous les termes dans lesquels le coefficient de ^ — i offre la même valeur peuvent être de même réunis en un seul.

Le coefficient A est aussi celui de e~'''^*v^~*. Ainsi 2 A est la probabilité d'avoir une somme d'écarts numériquement égale à Idx.

Lorsqu'on multiplie le développement par

OU cÔ3{loLdx), A devient le terme indépendant de a. Quant aux autres termes, en réunissant ceux dans lesquels les exposants

(') La probabilité d'obtenir le concours de plusieurs événements est le produit de leurs probabilités respectives.

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PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS DES OBSERVATIONS. 4l3

de e ne diffèrent que par les signes, on obtient des groupes de la forme

ce qui revient à

2Kcos(A:aûfj?),

k désignant un nombre entier. Par conséquent le développement du produit ainsi obtenu peut être présenté sous la forme

A-h B cos{%dx) -h C cos(2aûfj?) -h Dcos(3aûfj?) -\- . . . ,

Multipliant par d% et intégrant entre les limites a =: o et a = -T- j on obtient simplement

dx On a vu plus haut que le polynôme est égal à

2 / ^{x)co?>(pLx)dx\ on a donc

— ^ =z / d<xco?>{loLdx)\2 \ t^{x)coç>{(x.x)dx\ • -7- est un nombre infiniment grand : on peut donc le remplacer