IX

par 00 dans la limite supérieure de l'intégrale relative à a. Le nombre / peut être aussi infiniment grand et rien n'empêche de remplacer / dx par x» On a ainsi

kz=z—l ûfacos(aj?) 2 1 (p(^)cos(aj?)ûfa7|

Attendu qu'on a fait ldx=:x, 2 A est la probabilité d'avoir une somme d'écarts numériquement égale à x.

Si donc n désigne la probabilité de rencontrer une somme

Googk

4l4 NOTE II.

d'écarts numériquement comprise entre zéro et x ou, en d'autres termes, comprise entre — a? et a?,

U zzz - I dx j doLCO%{oLx)\i l (^{x)cos{aLx)dx\ ,

ou

2 r* , sin(a^)r r* , , , X ^ 1'* n^=z~l doL — ^^ ^|2l f^{x)cos{aLx)dx\ ,

en effectuant la première intégration relative à x. Telle est la formule remarquable obtenue par Laplace, dont

on n'a fait ici que reproduire l'analyse en y apportant quelques

légères modifications.

Cette formule donne la probabilité que l'écart de la moyenne

arithmétique reste compris entre et — (*).

(*) Lorsque dans la première expression de II on fait /i = i, on doit retrouYer la probabilité d'obtenir, à une épreuve, un écart numériquement

inférieur ou égal à ar, laquelle est égale k 2 I ^{x) dx.

Par conséquent,

cp(ar) = - / daLCO%{aLx) 1 <p{x)cos{cLx)dx,

La somme des écarts étant nécessairement comprise entre — n\ et nX, la probabilité se change en certitude, et Ton doit avoir n = i, lorsque dans la seconde formule on fait x = nX, 11 en résulte

/ ^(xsin(naX) 3 / <f{x)cos{(xx)dx\ —-•

1 ,if{x)dx = -' Cette condition étant ^

f(x ^ / /{x)dx

fix's remplie quand on fait<p(a7) = — —^ , on peut remplacer <p(ar) par

Googk

§ 7. — Application à la loi de probabilité Soit maintenant, comme dans le § 4, Alors X zz: 00 et

on sait que "

Jo .2«

Par conséquent,

/ dœ cos(oLœ)(f{œ)=z -e *" .

cette quantité. On a alors

f(x) = - I doLCos{oLx) I /{x)cos{aœ)dXj

[I /(x) cos ( OL x) dx I ' -i s =î.