XV.- J

La seule condition imposée à la fonction /{x) est la continuité entre zéro elX'f n est un nombre entier pq/sitif.

Quand cette fonction se réduit à une constante, et que Ton fait en même temps X = I, on a

/** sinUo) /sinaY x

Cette expression ne se trouve dans aucun traité de Calcul intégral. Quand

/•sin^a , ic ^ ,

— j— rfa = - » formule connue.

Googk

4l6 . NOTE II.

Substituant cette valeur dans la formule de Laplace, on a n— -/ dx I doicos{oLx)e *"'.

11 est connu que

' aacos(a^)e zzz — ^^e " .

par conséquent

(!) ^^-Pr dxe -^ ; .,

c'est la probabilité que l'écart de la moyenne arithmétique reste

œ X compris entre et - •

Lorsque n=:i, on retombe dans le cas d'une seule épreuve, et l'on retrouve, comme cela doit être,

La formule précédente suppose donc essentiellement que

sJtz Cela posé, il est clair que l'expression

' dxe

trouve compris entre — X et X. En faisant - = j?' et supprimant

donne la probabilité que l'écart de la moyenne arithmétique se trouve compris entre — ) ensuite les accents, on a

v/ïc J„

^ ^ rfare-""'*'.

Googk

PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS DES OBSERVATIONS. 4l7

Si «p»(^) représente la loi de probabilité des écarts de la moyenne arithmétique de n épreuves, on doit avoir

Par conséquent,

SJTZ

en sorte que, pour passer de l'expression de cp(^) à celle de <p;t(^), il suffît de changer a en a \Jn,

Par conséquent, si y» et r* représentent respectivement l'écart moyen et le carré moyen des écarts des moyennes arithmétiques prises sur n épreuves,

La seconde égalité n'est qu'un cas particulier du théorème démontré dans le § 5.

§ 8. — Application à la loi de probabilité

Poisson a examiné le cas où

cp(^):

aucune limite n'étant d'ailleurs imposée aux écarts, X = oo ,

donc

/ ^{x)dxz=ic'^ l ^ ^izc*arctang^:

Cette intégrale devant être égale à -> il faut que c*== -•

4l8 NOTE U.

Par conséqueut,

^ ir I 4- ^*

la lettre / désignant un logarithme népérien. Donc / X(j^{x)dx^=^oo ,

j X^<^{x)dx:=:CO ,

De même

L'écart moyen est donc infini, ainsi que le carré moyen des écarts.

Appliquant la formule de Laplace, on a d'abord

Jf <ij7C0s(aa?)cp(^)=zz - / ^^ — ^dx.

On sait que

r^^cos(a^)^.

donc

H:=i-I dx I doL cos( a x)e~'^'^:

or rfacbs(a^)e"'*» est la différentielle de

n^-\- ce Par conséquent,

-^ [^sin(ajr) — ncos(aa?)].

„ 1 C ndx 2 X

n =: - / 5 = - arc tang -:

TzJ^ n^-\- x^ 7c ^ n

c'est la probabilité d'avoir pour la moyenne arithmétique un

écart compris entre et - •

Googk

Faisant — ^i= x\ on a

n =- arc tango?'.

TT

Telle est donc la probabilité d'avoir un écart compris entre — x' et x' \ on voit qu'elle est indépendante du nombre d'épreuves. Les chances d'erreur seraient donc absolument les mêmes pour un nombre quelconque d'observations et pour une seule.

§ 9. — Cas où la loi de probabilité des écarts est inconnue.

En général, dans les expériences que l'on a à exécuter, la loi de la probabilité des écarts est inconnue; de sorte qu'on ne peut faire usage de la formule de Laplace qu'en admettant relativement à la fonction ^{x) quelque hypothèse, sauf à la déguiser sous le nom d'approximation.

Les faibles écarts sont ceux qui se présentent le plus souvent dans les observations ; de là on est autorisé à conclure que la fonction cp(^) décroît à mesure que x augmente.

L'intégrale

2 I dx COS{0LX)(f{x)

est numériquement inférieure à

2 / dx(f{x)y

et par conséquent à l'unité (§ 3). Il en résulte que

2 / dx cos{oLx)^{x)

n'a qu'une très faible valeur numérique lorsque le nombre n des épreuves est très grand. On peut même dire que cette valeur n'est réellement sensible qu'autant que a diffère peu de zéro. En conséquence, Laplace, en développant cos ( a jr), s'arrête au second

Googk

4aO NOTE II.

terme de la série et remplace cos(aa?) par i ; ce qui donne

f dxcos{oLœ)(^{x)^=:^ 2 I dx^(x) — a'/ x^<ù{x)dx\

or

2/ €ia?cp(^)=:i et 2 / ;r*^(^)û?^zi= r*;

par conséquent

a^COS(a:iî)cp(j?):zz i .

Cette expression exclut nécessairement le cas où r' est infini, lequel s'est présenté dans l'exemple du § 8, mais qui vraisemblablement ne se rencontrera jamais dans la pratique ; elle suppose de plus que la série qui forme le développement complet de l'intégrale est assez convergente pour que Ton puisse se contenter des deux premiers termes.

En continuant de supposer a peu différent de zéro, on a, à très peu près,

D'après cela, Laplace pose

2/ dlrcos(aa?)<f>(a7) =:=: e *

Lorsqu'on prend r*=i — j, cette équation devient

X ha*

dxcos{oLx)(^{x)=ze •' >

expression qui, comme on l'a vu dans le § 7, conduit à la formule

dxe n.

laquelle suppose la loi de probabilité (f{x)-=z -p e"**'*'- On sait

d^ailleurs qu'alors on a en effet r':z= — r*

Ainsi Tapproximation de Laplace revient à admettre que la loi

de la probabilité des écarts est -— 6-«'*'. Les raisonnements sur

lesquels il s'appuie supposent que le nombre des écarts est très grand ; ils perdent nécessairement de leur valeur quand ce nombre est restreint.

§ 10. — Argument de Gauss en favenr de la loi de probabilité a

Gauss a apporté à l'appui de la loi de probabilité,

y/it

un argument d'un autre genre.

Soient

(Oi, Oij, 0)3, . . ., a)„

les valeurs données par n observations entreprises en vue de déterminer une grandeur w ;

"^D ^tf ^Zi • • • > ^n

les écarts correspondants, en sorte que

(j) — (»)£=: J?i, Oi — (02 = ^2, (Ji — (j)3=:jr8, ..., (si — (fif^z=.Xn'

D'après ce qui précède, les probabilités de rencontrer un de ces écarts dans une épreuve sont respectivement représentées par

cp(^i)ûfj7, f^{x^)dx, <:^{xz)dx, ..., ^{Xn)dx.

La probabilité de leur concours est donnée par le produit

?('2?i)t(^j)?('3?3) . . . ^{Xn)dx'',

Googk

d22 NOTE II.

La valeur de to qui assigne à ce concours la plus grande probabilité est celle qui donne le maximum du produit

cp(a?i)?(^2)?(.^3)...?(-3?„), ou

cp(w — a)i)cp(to — t02)cp(w — 0)3) . . . cp(to — w,,),

et qui, par conséquent, satisfait à l'équation

cp'(a)— (Ot) cp^(co — coa) çp^( w— W3) (p^((o— (0,^) ^

<p (cD — Wi) cp (to — Wj) cp (to — tOs) cp (10 (»)n)

£(£^ cf'(^') .<f'(^,) , ?'(^«) „

Admettant que cette valeur soit précisément la moyenne arithmétique des résultats observés, la somme des écarts pris relativement à cette moyenne étant nulle, on doit avoir ^j -+-.^2-1-^3-1- . . . -}-j?„=io; et,en supposant ^2 = ^3 = ••• ~^^ni ce à quoi rien ne s'oppose, on a

L'équation précédente devient alors

et, en la divisant par l'équation ci-dessus,

ce qui indique que la valeur de -^—^ — est indépendante de celle de œ. On peut donc écrire

' \ \ = H ou ^-7 — f = H^.

^cp(^) «p (^)

Googk

L^intégration donne

La fonction cp devant devenir nulle quand a; z= oo , la constante H

ri

est nécessairement négative, et Ton peut poser — = — a*. Observant que Ton doit avoir 2 1 cparûfo? = i, on trouve que c :== — = (§4) et, par conséquent,

sJtz

Ainsi, pour que les écarts pris relativement à la moyenne arithmétique soient ceux dont le concours offre la plus grande

probabilité, il faut que «p(^) = -p e"**'^'.

D'après cela, Gauss pense que cette loi doit être adoptée préférablement à toute autre.

Mais, bien que l'usage soit de prendre la moyenne arithmétique pour la valeur de la quantité que l'on cherche, il n'a été donné jusqu'à présent aucune raison d'admettre que cette moyenne jouisse de la propriété de donner les écarts les plus probables. ^

§ il. — Adoption de la loi de probabilité

Quoi qu'il en soit, on s'accorde généralement à adopter l'hypothèse cp( a?) =—= e"**'^'; du moins les formules qu'elle fournit

sont les seules qu'on emploie.

On a vu dans le § 7 que la probabilité d'obtenir pour la moyenne arithmétique des résultats de n observations un écart compris entre — X et X est alors donnée par la formule

Vît Jo

Googk

faisant a â7y^/i =:^, cette équation devient

Le §12 contient une Table des valeurs de la fonction—^ / e ^dt,

au moyen de laquelle on obtient immédiatement la valeur de II , <|uand celle de a est connue.

On peut remplacer a soit par — -= , soit par — =. ; on a alors les deux formules

Googk

Valeurs de la fonction --= I e-^*dt correspondant

VTZ Jq

aux valeurs de t.

v-Jr'"'-

blFFiRENCE.

TALBUR DE

-yr / e-i*dt.