CHAPITRE
§ 1. -- Notions préliminaires.
La vitesse que le projectile possède en sortant de la bouche à feu est généralement appelée vitesse initiale^ parce que; c'est celle avec laquelle commence le mouvement dans l'air.
11 serait très important d'avoir des formules au moyen desquelles on pût la calculer immédiatement; de là bien des tentatives, dont le nombre seul montre les difficultés que présente la question.
On la simplifie en supposant l'âme du canon cylindrique dans toute sa longueur et admettant que le chargement se compose uniquement : i*' de la gargousse, également cylindrique, et poussée jusqu'au fond de l'âme; i^ du projectile roulant en contact immédiat avec la charge et maintenu par un léger valet annulaire. Dans la marine, ce mode de chargement a été longtemps en usage pour les boulets massifs; on ne se sert de sabots que pour les boulets creux.
L'orifice de la lumière est placé près du fond de l'âme et
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22 PREUIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I. .
dans la partie supérieure ; T inflammation partant de ce point se propage avec une extrême rapidité à l'aide des interstices qui séparent les graine de poudre et du vide plus ou moins considérable qui règne autour dé la gargousse. Les gaz, à mesure qu'ils se forment, se répandent dans tous les sens, entraînent les grains non encore comburés et agissent à la fois sur le boulet et sur le canon. Une partie de ces gaz sort par la lumière, une autre s'échappe par l'intervalle provenant de la différence qui existe nécessairement entre le calibre de l'âme et le diamètre du projectile, différence à laquelle on donne le nom de vent du boulet. L'inertie du projectile, en s'opposant à la dispersion des grains, favorise la combustion de la poudre, qui, cependant, n'est jamais complète.
Les vitesses initiales des projectiles ne doivent pas être seules l'objet de ce Chapitre, il faut encore connaître le mouvement que l'explosion communique à la bouche à feu.
Les diverses poudres que l'on fabrique en France présentent des qualités très différentes; de là la nécessité d'admettre dans les formules des coefficients dont les valeurs numériques dépendent de la nature de la poudre que l'on emploie.
§ 2. — Notations algébriques. — Rendement des canons.
g^ gravité ou vitesse que la pesanteur communique aux
corps pendant une seconde sexagésimale.
xs, poids de la charge en kilogrammes.
/?, poids du projectile »
P, poids du canon et de l'affût »
\ longueur de la gargousse en décimètres.
a, diamètre du mandrin de la gargousse »
a y diamètre du projectile »
A, diamètre de l'âme »
C, capacité de l'âme du canon exprimée en décimètres
cubes.
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Y y vitesse initiale du projectile, ou vitesse que Texplosion communique au projectile, exprimée en mètres.
V,, vitesse initiale que posséderait le projectile si, conservant le même poids, il avait un diamètre égal au calibre de l'âme. ^
V, — V est la perte de vitesse due au vent A — a.
W, vitesse maximum du recul ou maximum de la vitesse que l'explosion communique au système composé du canon et de Taffût.
W,, vitesse maximum du recul dans le cas où le vent du boulet serait nul.
p— est la quantité de mouvement du projectile, p^- celle
du canon et de Taffût. Souvent, pour les comparer l'une à l'autre, on cherche la vitesse que la seconde imprimerait au projectile ; c'est ce qu'on appelle le recul exprimé en vitesse du boulet.
U, recul exprimé en vitesse du boulet; il est clair que
U,, recul dans le cas où le vent du boulet serait nul, />U,= PW,.
u, — u est la perte de recul due au vent A — a.
Pour n'avoir pas à s'occuper des effets de la pesanteur, on suppose d'abord l'axe du canon horizontal. La gravité g ne disparaît pas cependant des formules, car elle entre dans l'expression de la masse; mais sa grandeur reste arbitraire. Rien n'empêche de la prendre égale à y, 81; alors les quantités TU,/? et P deviennent les poids métriques indiqués parla balance {Préliminaires y § 2).
L'équation
donne très approximativement la longueur de la gargousse. L'adoption de cette formule revient à prendre, à très peu près, 0,91 pour la densité de la poudre; on sait* que la con-
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fection des gargousses entraîne toujours un léger tassement. Conformément à un usage adopté dans la science des machines, on peut appeler rendement d^un canon le rapport de la force vive que possède le projectile au sortir de Tâme à la force vive totale que le projectile est capable de produire. La première, d'après les notations précédentes, est égale à
— — ; la seconde est nécessairement proportionnelle à la
masse de la charge et peut être représentée par — > la lettre li
désignant une constante. Le rendement a donc pour expression
Il w
Il est ainsi proportionnel à
xs
et peut être représenté par ce rapport.
Lorsque le diamètre du boulet est supposé égal au calibre de Tâme, cette expression se change en
§ 3. — Considérations générales. — Application du principe des forces vives.
Soient dxs le poids d'un élément de la charge, u la vitesse de cet élément au moment où le boulet sort de Tâme; la somme des forces vives du système, à cet instant, est
- (/? V* -h PW^ ^fu'^dxs),
en négligeant les mouvements rotatoires dont peuvent être animés le boulet et le canon.
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Si Ton fait abstraction des résistances et des pertes de chaleur, celte somme doit être égale au double de la quantité de travail développée jusqu'alors par l'explosion.
Quand on suppose le diamètre du boulet égal au calibre de l'âme, les lettres V et W doivent être remplacées par V, et W,, conformément aux notations du § 2. Abstraction faite de la perte, toujours fort petite, qui s'opère par la lumière, aucune molécule gazeuse ne peut alors s'échapper de Tâme avant la sortie du projectile; celles qui touchent ce dernier ont la vitesse V,; les autres, à moins qu'il ne se forme des tourbillons, ont toutes des vitesses inférieures; il en résulte qu'en désignant par 8 un nombre inférieur à l'unité on a, d'après un théorème connu, fu^dm = 8njV,'. L'expression de la somme des forces vives devient, par suite.
Le nombre 8 varie sans doute avec la capacité de l'âme. Quand on suppose que cette capacité croît indéfiniment, la tension des gaz s'affaiblit de .plus en plus et finit par devenir insensible; les vitesses V, et W„ atteignant de certaines limites V^, et W„, cessent de croître, et la poudre, dont la combustion est nécessairement complète, donne dans l'intérieur même du canon toute la force vive qu'elle est susceptible de produire.
Cette force vive, nécessairement proportionnelle à la masse
de la charge, a été représentée par — dans le § 2.
C'est donc à — qu'il faut égaler l'expression de la somme
des forces vives développées. Désignant à cet effet par 0, la limite vers laquelle converge quand la capacité de l'âme croît indéfiniment, on a l'équation
Généralement, la force vive du canon est très petite rela-
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tivement à celle du boulet, et cette circonstance permet de réduire Téquation à
p V 2 ^ ^jsSl ■=! hw oxx î--^ =z —
La suppression du terme PW^ revient à admettre que le boulet a la même vitesse que si le canon était inébranlable.
Lors donc que Pâme du canon s'allonge, le rapport — — -
croît et converge vers une limite représentée par Pexpresh
sion
11 peut se faire que le nombre 8, n'ait qu'une faible valeur, et, comme le rapport - du poids de la charge à celui du pro-
jectile est toujours inférieur à l'unité, le terme 0,— serait alors très petit, et l'on aurait sensiblement
w ou
La vitesse limite V,, serait alors proportionnelle à la racine carrée du rapport du poids de la charge au poids du pro-. jectile.
C'est, en effet, le résultat auquel on doit nécessairement parvenir lorsque, comme on vient de le faire, on suppose que la charge donne dans le canon même toute la force vive qu'elle est susceptible de produire, et que celte dernière passe entièrement dans le projectile.
A raison des résistances qui s'opposent au mouvement du projectile et des pertes de chaleur, dont on n'a pas tenu compte dans ce qui précède, il y a toujours une limite au
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delà de laquelle raugmentation de la longueur de l'âme n'entraÎDe pas un accroissement de la vitesse initiale, bien que la tension des gaz soit encore considérable; mais, dans la pratique, on en est fort éloigné.
§ 4. — Suite. — Application du principe de la conservation du mouyement du centre de gravité.
La somme des quantités de mouvement du système, comptées parallèlement à Taxe, nulle avant l'explosion, doit l'être
pV PW également après. Les quantités de mouvement ^-— et du
boulet et du canon sont de sens différents; la presque totalité des gaz et des grains incomplètement comburés se meut dans le même sens que le boulet; en désignant donc par Q leur quantité de mouvement, on a
PW pS ^
ou, si le diamètre du boulet est égal au calibre de l'âme,
Quand l'âme s'allonge de telle façon que la tension des gaz y devienne insensible, toutes les vitesses cessent de croître; V, et W, atteignent les limites désignées par V,, et W„ dans le § 3; les molécules gazeuses en contact avec le boulet ont la vitesse V,, et toutes les autres des vitesses moindres, de sorte que, en désignant par un nombre inférieur à l'unité, la somme des quantités de mouvement de la poudre peut être représentée par ^
et Téqualion devient
Ainsi I -|-0— est la limite vers laquelle converge le rap-
PW U port — ^ ou -~ lorsque Tâme croît indéfiniment. Cette limite
différerait très peu de Tunité si le nombre B n'avait qu'une
faible valeur, attendu que le poids de la charge est toujours
inférieur à celui du projectile. •
§ 5. — Sur le mouvement des gaz dans le canon. — Formation des équations dinérentielles lorsque la combustion est complète avant le déplacement du boulet.
On a souvent cherché à déterminer, par des considérations prétendues théoriques, les lois du mouvement des gaz à l'intérieur du canon; les expressions des vitesses initiales -en seraient les conséquences.
Si la question est réellement accessible au calcul, ce doit être surtout dans le cas où la combustion de la charge peut être considérée comme complète avant que le projectile ait éprouvé un déplacement sensible. On y apportera d'ailleurs quelque simplification en admettant que le canon, à raison de sa masse, ne prend de mouvement appréciable qu'après la sortie du boulet.
Décomposant toute la masse gazeuse en tranches infiniment minces et perpendiculaires à l'axe, tous les auteurs sont d'accord pour supposer, si aucun vide n'existe entre les parois latérales de l'âme et le projectile, qu'à chaque instant la densité est la même dans toute l'étendue d'une tranche, et que les diverses molécules qui composent cette dernière sont animées de la même vitesse parallèlement à l'axe, sans avoir d'ailleurs aucun autre mouvement.
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Soient alors, au bout du temps t,
X la distance d'une tranche au fond de Tâme :
a la vitesse de cette tranche ;
p la densité »
r la tension »
po la densité de la tranche immobile au fond de Tâme ;
l'o Ifi^ tension >>
i' la vitesse du boulet ;
X la distance qui le sépare du fond de Tâme;
p, la densité de la tranche en contact avec le boulet ;
j\ la tension »
S la section transversale de râmc.
Quand on considère toujours la même tranche, x est une
l'onction de t\ si Ton veut passer d'une tranche à une autre,
il faut faire varier x indépendamment de /.
,, , . dx d\
11 est clair que u=z — , (==:—-.
Les quantités w, p,y sont des fonctions de x et de t, tandis» 4^6 P01 J^oi ^'> ^j PxiJ'x ^^ dépendent que de t.
Les tensions sont, suivant Tusage, rapportées à Tunité de surface.
S Sdx est le volume, et —pdx la masse de la tranche qui se
trouve à la distance x.
Pendant l'instant dt, la position de cette tranche varie, et sa vitesse w, qui dépend à la fois de x et de t, prend un accroissement représenté par
du , du dx / du du\ ,
dt dx dt \dt dx]
La quantité de mouvement acquise est, par suite,
S (du du\ , ,,
— P -77 + « j- ) dxdt.
g \dt dx J
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rieure
3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
La tranche éprouve sur sa face postérieure une pression égale à Sj- dans le sens du mouvement et sur sa face anté-
la pression S (^ + -^ dx ) en sens opposé. La différence
dy — S-^ dx est la force motrice ; elle produit pendant Pin-
dv stant dt une quantité de mouvement égale à — S-^dxdt.
En égalant cette dernière expression à la quantité de mouvement acquise, on obtient une équation qui, après la suppression des facteurs communs aux deux membres, se réduit à
, . dy p /du du\
Cette équation cesserait d'être exacte si la combustion
n'était pas complète, car alors chaque tranche se composerait
de parties fluides et de parties non comburées, auxquelles
on ne pourrait guère attribuer la même vitesse; de plus, p
S désignant spécialement la densité des gaz, -pdx ne repré-
sèmerait plus la masse de cette tranche.
On trouve une seconde équation en observant de quelle manière varie avec le temps la masse de fluide contenue dans la tranche qui se trouve à la distance x du fond de Tâme.
La combustion étant complète, cette masse ne peut varier que par les quantités de fluide qui entrent dans la tranche ou qui en sortent.
Le fluide qui, pendant l'instant dt, pénètre dans la tranche par la face postérieure a une densité p et une vitesse it ; son poids est donc Spudt,
Quant à celui qui en sort par la face antérieure, sa densité
est p-\--T- dxj et sa vitesse « -f- ;y- dœ ; il a donc un poi
égal à
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VITESSE INITIALE DES PROJECTILES. 3l
S (pu -{- u — dœ-\- p-^dûo] cltj
en supprimant rinfinimenl petit du troisième ordre. La différence des poids entrés et sortis est
-^rd^'^^-^^d^"^')
dt\
en la divisant par le volume Sdœ, on doit avoir la différentielle de la densité relativement au temps; ainsi
tla , dû y du ,
— dt^=i — u-r-dt — o—-dt dt dx dx
, , dp dp du
(2) • 777 + ":7^-+-?:7-'=^^• ^ dt dx ^ dx
Les équations (i) et (2) se trouvent dans tous les Traités d'Hydrodynamique. On n'en a rappelé la démonstration que pour fixer l'attention sur les principes qui servent à les établir.
Pendant la détente des gaz , il existe dans chaque tranche une relation entre leur tension et leur densité. Cette relation est inconnue; elle diffère certainement de celle qui s'établit lorsque l'expansion des gaz s'opère en vase clos. On ne peut donc songer à se servir ici des formules qui résultent des expériences de Rumford ou de celles de MM. Noble et Abel.
Quoi qu'il en soit, la plupart des auteurs ont adopté l'expression
K et /i étant deux constantes positives. Elle peut être admise lorsque la densité ne varie qu'entre des limites un peu resserrées.
Le boulet, dont le vent est supposé nul et dont p désigne le poids, n'est mis en mouvement que par la pression de la
tranche avec laquelle il se trouve en contact; par conséquent,
Si T«j désigne le poids de la charge et si toutes les parties (jui composent cette dernière sont comburées, il faut que
" =1 S / ^dx.
Le théorème des forces vives fournit une équation dont on fait souvent usage.
Au bout du temps t^ la force vive du boulet est ^— et celle
(le la charge est représentée par — / ^u-dx. Chacune d'elles
doit être égale au double de la quantité de travail qui la produit.
11 faut distinguer : i*^ le travail extérieur de la charge, c'est-à-dire celui de la pression qu'elle exerce sur le boulet (ît auquel est due la force vive de ce dernier; 2^ le travail intérieur, provenant des diverses actions exercées par les tranches les unes sur les autres ; c'est celui-ci qui produit la force vive que possèdent les gaz.
La pression que supporte le projectile est Sj\^ elle développe pendant l'instant dt un travail égal à Sy^dx^ en sorte que, \ désignant la loi^ueur primitive de la charge, le principe des forces vives donne
(G) ^=^S j.rfx
C'est, au reste, le résultat auquel on parviendrait en mul-
dx tipliant l'équation (4) par la suivante, v=z—, et intégrant
ensuite.
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11 reste à trouver Texpression du travail intérieur. On peut supposer les épaisseurs des tranches tellement réglées que, pendant un instant infiniment petit, chaque tranche vienne prendre la place de celle qui la précède. A raison de l'inégalité des vitesses, les dx seront alors inégaux; mais deux dx consécutifs ne difierent que d'un infiniment petit d'ordre supérieur, et par conséquent négligeable, de sorte que chaque tranche, en remplaçant celle qui la précède, parcourt un espace représenté par dx. Ainsi qu'on l'a vu plus haut, la force motrice qui agit sur la tranche placée à la distance x
est — S -^ dx\ elle développe pendant l'instant dt une quantité de travail égale à — S-j-dxdx,
L'intégrale de cette expression est indépendante du mode de division des tranches. Ainsi, pour la trouver, on peut sup« poser l'égaKté des dx. Une première intégration donne .
Sdx I r-dx ou S d\ 1 ,— dx .
j dx J dx
C'est l'expression du travail intérieur de la charge pendant
un instant infiniment petit. Or, / — -^- dx n'est autre chose
que la somme des décroissements successifs qu'éprouve la pression y à partir de ^ = o, somme qui est égale à^^o — y y.- Le travail intérieur se trouve donc représenté par
On peut parvenir à ce résultat d'une autre manière. La présence du boulet équivaut à une pression égale à Sjk»? exercée sur la tranche avec laquelle il se trouve en contact et dans le sens opposé au mouvement, tandis que la pression que supporte la tranche placée au fond de l'âme e^t Sj^© î c'est la différence S(7o — JKx) q^î produit l'accélération du mouvement, en sorte que cette dernière serait nulle si l'on appliquait sur I. 3
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la tranche qui touche le projectile une nouvelle pression égale ^ S(jo — JTx)» Le travail de cette pression pendant l'instant dt doit donc être égal au travail intérieur de la charge.
L'intégrale de l'expression précédente doit être prise à partir de x=^\ et son double est alors égal à la force vive de la charge. On a donc
(7) -/ pu^dœ=i2S:f (jo— j,)t/x.
En ajoutant les équations (6) et (7), on obtient
,s. ez
-H / p M* dœ := 2S j yodx.
Sur quoi il faut observer que les quantités j^o et x, ne dépendant que de t^ peuvent être considérées comme des fonctions l'une de l'autre.
tra-
L'expression S / y^di^. représente, par conséquent, le
vail total de la charge : c'est ce dont il est facile de se rendre compte à l'aide d'un raisonnement qu'on a employé tout à l'heure.
Lorsqu'on intègre par rapport à x l'équation (i), on a
I /•* (du du\ ,
par suite,
I /•* (du du\ -
I r (du du\ ,
"Sy est la pression qu**exerce la tranche placée à la distance œ ; SpcLv (du g
( -7 — ^ ^ zr) ^^^1^ produit de la masse de cette
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tranche par l'accélération qu'elle acquiert pendant l'instant dt\ Sjo ^^ Sj^x sont les pressions respectives des tranches placées l'une au fond de l'âme, l'autre près du boulet. En multipliant donc les équations précédentes par S et se rappelant queSjKx=- ;t-' ^^ ^st conduit au principe suivant,
employé par le général Piobert.
La pression totale d'une tranche est, à chaque instant, égale à la somme des produits des masses placées en avant d'elle, en y comprenant celle du boulet, par leurs accélérations respectives.
Tel est l'ensemble des formules que'fournit la Mécanique pour le cas purement hypothétique de la gazéification complète de toutes les parties qui composent la poudre avant que le projectile ait éprouvé un déplacement sensible. Il reste à examiner quel parti on en a tiré.
§ 6. — Suite.
La première idée qui s'est présentée a été de supposer la combustion instantanée et de regarder à chaque instant la densité comme constante dans toute l'étendue de la masse fluide. Soit alors A la densité des gaz au moment de leur formation, quand ils n'occupent qu'un espace d'une longueur égale à celle de la gargousse. Lorsque le boulet se trouve à la distance x du fond de l'âme, leur densité est donnée par l'équation
Adoptant la loi de Mariotte, ce qui revient à faire n^=^\ dans l'équation (3), on a
En se servant de l'équation (6),^— =i 2S 1 y^dx^ et re-
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marquant que y^ = y, puisque la densité est supposée la même dans toutes les tranches, on obtient
^ = 2SXAK g
sy-
Or, SX A est le produit du volume des gaz par leur densité au moment de leur formation ; ce n'est donc autre chose que le poids xs de la charge ; d'ailleurs,
la lettre / désignant un logarithme népérien ; donc
Telle est la formule donnée par les premiers auteurs qui se sont occupés de la question. Mais l'hypothèse d'une densité rigoureusement égale dans toutes les parties de la masse gazeuse est incompatible avec l'équation (i), savoir
dy p /du du\
dx §\^^ ^^ )
dy En eflTet, elle s'exprime en posant ~ == o, et il est bien clair
qu'aucun des deux facteurs du second membre ne peut être nul : l'un, p, est la densité des gaz ; l'autre, —n-^u -7-5 est l'accélération du mouvement..
Le général Piobert suppose que les différentes tranches qui composent la masse gazeuse doivent avoir à chaque instant des vitesses proportionnelles aux distances qui les séparent
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du fond de l'âme ; il pose, en conséquence ( * ),
De là résulte
— = — > et par conséquent /(j?) 1= /(x) -t- const.
Soit z la valeur de Xy à Torigine du mouvement, lorsque t était nul et x égal à X; il est clair que /(z) = iÇk) + const. L'élimination de la constante entre ces deux équations conduit à
en sorte que les distances des tranches sont, à un instant quelconque, dans les mêmes rapports qu'à l'origine du mouvement.
Pour développer les conséquences de son hypothèse, le général Piobert s'est borné à faire usage du principe énoncé à la fin du § 5; il n'a pas songé à se servir de l'équation (2), avec laquelle elle s'accorde néanmoins, et qui lui eût évité de bien longs calculs.
En diflFérentiant, en effet, l'équation — = — par rapport à Xj
on a, attendu que i^ et x ne dépendent que de f,
du V I t/x ^
dx X X dt^
portant cette valeur de --t- dans l'équation (2) et y rempla-
dx dt
dx çanl en même temps u par -j--, on trouve, après avoir divisé
(*) Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, année 1869.
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par p,
ç[p , dp dx ^
dt dx dt d\
Le premier membre est une différentielle complète dont rintégrale est /(px). La valeur de p est celle qui convient à la tranche qui, au bout du temps tj se trouve à la distance ûc du fond de Pâme, et qui, à l'origine du mouvement, en élait éloignée d'une quantité égale à z. L'intégrale de l'équation est donc
F(z) désignant une fonction arbitraire.
Soient ro, r, r^les valeurs respectives de po^ p^ Px> à l'origine du mouvement, quand x = X ; il est clair que
par conséquent
Ainsi, les densités des diverses tranches sont, à chaque instant, proportionnelles aux valeurs qu'elles avaient à l'origine du mouvement.
Cela posé, la différentiation de l'équation iix = vx par rapport à t conduit à
(du du dx\ dx dv dx
dx t/x
ou, à raison de ce que m = -j- ? ç; = — ,
(du du\ dç dt^'^dij-'^di'
La valeur ^^ 77- + ";/-» portée dans l'équation (i), la ré-
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duit à
dy ^x dç
dx ^x dt
Mais, d'après Téquation (3),
donc
iA\ I dy dv X
^ ^ idx~ dt ^ '
De là on tire, par l'intégration relative à x^
^^ îi^ n-^i x^ dv 1/ ^ — 1/ " •
Or
donc
.7 — "- ro î
2 /l^ K X cf^
Le cas où l'on supposerait n = t demande à être traité séparément; alors jk == K.p, et l'équation (i) devient
1 dy X dv
y dx g^^ dt
L'intégration donne
D'ailleurs,
'fâ=-^°^'-
