CHAPITRE VI
§ 1. — Gonsidérations générales.
La courbe que décrit le centre de gravité d'un projectile au sortir de la bouche à feu est appelée trajectoire.
Quelque soin que Ton apporte dans l'exécution du tir, les diverses trajectoires que l'on obtient dans une suite de coups identiques en apparence diffèrent notablement les unes des autres. Il ne sera question dans ce Chapitre que de la trajectoire moyenne, la seule qu'il soit nécessaire de connaître pour la formation des tables de tir.
Lorsque les projectiles sont sphériques et que leur centre de gravité n'est pas systématiquement écarté du centre de figure, cette courbe est nécessairement contenue dans le plan de tir, c'est-à-dire dans le plan vertical qui passe par l'axe du canon. On la rapporte par suite à deux axes coordonnés situés dans ce plan et se croisant au point de départ, l'un Ox horizontal, l'autre Oy vertical.
L'angle de départ a est l'angle que la tangente à l'origine O de la courbe fait avec l'horizontale Ox,
Ordinairement la courbe s'élève au-dessus de cette horizontale et la rencontre en un second point qu'on appel le /?o//i/ de chute,
La portée X est la distance du point de départ dM point de chute.
L'angle de chute to est celui que la tangente au point de chute fait avec l'horizontale Ox.
La concavité de la courbe est toujours tournée vers le sol.
Googk
Lorsque l'angle de départ a, d'abord très petit, vient à croître, tontes les antres circonstances du tir demeurant les mêmes, la portée croît d'abord ; elle finit ensuite par décroître
Fig. 8.
et devient nulle quand l'angle a devient égal à 90**. Il y a donc un angle qui donne la plus grande portée. L'expérience montre que cet angle est toujours inférieur à 45°. Soient
V la vitesse que le centre de gravité du mobile possède au bout du temps t compté depuis l'origine du mouvement;
X el y l'abscisse et l'ordonnée de la position qu'il occupe ; p la longueur du rayon de courbure au point dont les coordonnées sont X etjK; T l'inclinaison de la tangente au même point; .V l'arc parcouru ;
V la vitesse initiale.
Il est clair que v = -j-- >
La longueur p est égale à la valeur numérique de l'exprès-
cls^ dv
sion , 2 1 /> où^' représente ~ • Or, la partie de la courbe
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située au-dessus de 0;r tourne sa concavité vers cet axe, en sorte que la différentielle dy est négative; par conséquent
ds^
^~"d^^dy'
§ 2. — Mouvement dans le vide.
La question devient très simple lorsque, regardant la résistance de Tair comme négligeable, ce qui peut avoir lieu dans certains cas, on suppose que le mouvement s'opère dans le vide.
Le mobile n'est pas soumis à d'autre force que son poids qui, à raison de sa direction verticale, n'a aucune influence
sur la vitesse horizontale —z-] cette dernière conserve donc
toujours la même valeur V cos a qu'à l'origine du mouvement ;
ainsi
dx ,.
-— izr V ces a.
dt
Intégrant et observant que ^ et ^ s'annulent en même temps, on a
(i) ;r~V^cosa.
dt
Le poids du mobile modifie la vitesse verticale -j- el.
comme il agit de haut en bas,
dt' ~ ^'
A Torigine du mouvement / = o et la vitesse initiale est Vsina. Par suite, l'intégration donne
dy ^r . .
-7- — Y sin a — srt
dt • *
Googk
Intégranl une deuxième fois, on a
(2). j=:V^sina — ■
attendu que y s'annule avec t. L'élimination de t entre les
équations (i) et (2) conduit à
(3) ^ = .3?tanga-
2 V '^ cos^ a *
c'est l'équation de la trajectoire, qui se trouve être une parabole du second degré.
En faisant jk =^ o, on obtient pour x deux valeurs, dont l'une est nulle, l'autre est la portée X; donc
De là il résulte que l'angle de plus grande portée est égal à 4^°? et que deux»angles 45°-hy, 4^" — y, l'un supérieur^ l'autre inférieur à 45®, mais s'écartant également de ce dernier, donnent la même portée. C'est le cas des angles de 60® et de 3o".
En di fférenti an t l'équation (3), on a
« dy ^jc
•^ =tan2ra ^
dx ^ V^cos'^a
Pour avoir l'abscisse Xj du point culminant, il suffit
dy d'égaler à zéro la valeur de -^; donc
Y^ sin a ces a X
Cette abscisse est donc égale à la moitié de la portée. En remplaçant x parX| dans l'équation de la courbe, on obtient l'ordonnée Y| du point culminant ou la hauteur du
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a38 PUMIÈIE PARTIE. — CHAPITIB VI.
jet; ainsi
Cette ordonnée est dirigée suivant Taxe de la parabole, comme il est facile de le vérifier; ainsi, elle divise la coarbe en deux parties symétriques.
La vitesse en un point quelconque est donnée par l'équation •
ou, en remplaçant -j- ^^ -j: par leurs valeurs,
r^=\* — 2^(^tanga ■f'^ , ),
^ \ , ^ 2 V*cos*a/
ce qui revient à
Ainsi la vitesse est la même au point de départ et au point de chu le et en général en deux points situés à la même hauteur, Tun sur la branche ascendante, l'autre sur la branche descendante.
Pour avoir la durée T du trajet, il suffit de remplacer x par X dans Téqualion (i); ainsi
\ cosa
ou
2Vsîna 1 1= ,
ou encore
'r = i/iv/^langa,
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TRAJECTOIRES MOYENNES DES PROJEGTOES SPHÉRIQIES. 289
§ 3. — Formules du mouvement lorsque la résistance de l'air est dirigée suivant la tangente à la trajectoire.
Le projectile, dans son trajet, est soumis à deux forces : l'une est son poids/?, l'autre la résistance de l'air. On suppose ordinairement cette dernière dirigée suivant la tangente à la trajectoire, et dès lors il est facile d'établir les équations du mouvement.
Le poids p peut être décomposé en deux forces : l'une dirigée comme la résistance de Pair, suivant la tangente, l'autre suivant la normale. La seconde doit être égale et opposée à la
force centrifuge - — ; sa valeur numérique étant d'ailleurs p -f^ on a immédiatement l'équation
p —^ ds'
or,
ds^ ds
et r 1= -r :
donc
dx^df dt'
dy djâ 'dt 'dt
y étant une fonction de ;r, -^ = -^ -i-; l'équation précédente revient donc à
dy (dœ^ ^'^ dx \dt) ~
Soit maintenant r l'accélération que la résistance de l'air fait perdre au mobile. Cette résistance peut être décomposée en deux forces : l'une verticale, l'autre horizontale. La seconde modifie seule le mouvement horizontal du corps, et l'accélération qu'elle fait perdre est r-j-* On a, par suite,
, ^ d^ X dx
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Les équations (i) et (2) servent de base à toutes les théories proposées jusqu'à ce jour; mais, pour en faire usage, il faut nécessairement introduire une hypothèse relative à la résistance de Tair.
L'élimination de p entre les deux équations
conduit à
dîc ds^
ds ^ dx^ dy'
, __ ^ ds^
D'autre part, l'équation (i) peut s'écrire
\dt) ~ y"'
l la différ
entiation donne
/dx\ dKv y" dx
'^[dtj df' ~~^ f dt'
l'oii
dt^ ~ 2 7'^2
)'ailleurs
' ~ dt^ di'
d^x Remplaçant --— par sa valeur,
V" dx
ou enfin
' "" " 2/'^ ds '
• co
Ainsi, si l'équation de la trajectoire était connue, on pour-
DigJtlzed by
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rait à chaque instant déterminer par Téquation (3) la vitesse du projectile et par l'équation (4) l^i valeur de la résistance de l'air.
§ 4. — Résistance proportionnelle à tine puissance quelconque de la vitesse.
Dans ce cas.
et l'équation (2) du paragraphe précédent devient d^œ ^ dx
ou
, . d^x ds^~^ dx
Les difficultés qu'offre l'intégration obligent à recourir à des méthodes d'approximation, ce qui revient, comme on le verra plus loin, à altérer l'hypothèse primitive sur la résistance de l'air.
Admettant que, quand l'arcr que Ton considère n'a pas une
très grande étendue, le rapport variable -7- puisse être représenté par sa valeur moyenne désignée par 6 et posant par suite ds = dx, on a
(Px dt^
Cette équation, qui ne renferme que x et ^, rend la projection horizontate du mouvement indépendante de sa projection verticale.
Il est clair que l'expression de la résistance de l'air a été changée et est devenue
>cos"-'t.
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dx Soit u la vitesse horizontale, u=^-t-7 et l'équation précédente devient
ai Coinme ?^ = V cosa lorsque ^ == o, l'intégration donne
[H- (/i — i)c(e V cosa)«-i^]«-*
Remplaçant dt par — dans l'équation -j- = — cO''~* u" y on obtient
Intégrant et observant que «^ = V cosa lorsque a; = o, on trouve
V cosa " = -j-.
[i-h(/i — 2)ce«-i(Vcosa)«-*^]'»-*
dx Remplaçant u par -^ j il vient
[i 4- (/i — 2)c6'*-* (V cosa)'»-2 j;]''-» dx^i^y cosoidt,
La distance a; s'évanouissant avec t, l'intégration donne
/i— 1 [i-\-(n — 2)ce^-^( V cosa)^-^^]^-» -^ i ^~~ (/i — i)c(eVcosa)«-»
<fy' f dx\^ Portant dans l'équation -^ ( -7- j = — ^ à la place de
-1- ou w, la dernière valeur obtenue, on a
Comme ^' = langa, lorsque x = o, rinlégrale est
y ^ tanga - ,^^^a-i^y^ ^osol)-
X j[i-h(/i — 2)ce'*-i(Vcosa)«-2^]«-^— I Attendu que jr s'annule avec Xy l'intégration conduit à ^
i in — i [i 4- (n — 2)ce«-i (V cosa)«-«^] «-«
— (2/1 — 2)c6«-i(Vcosa)«-2j? — ij.
Si l'on pose, pour simplifier,
{n — 2)ce'»-i( Vcosa)«-« = ^,
l'équation précédente peut s'écrire
(/i— 2)' ^ I r — j? tanga ^;^ : ttt- — 7-7-;
(i-f-Ao?)"-* — ^^JJ^ Aj? — I ,
et, en développant la puissance du binôme comprise entre les parenthèses,
