c2e2'»-HVcosa)2«-*X«H
Il est à remarquer que le nombre 6 doit être compris entre I et ; les formules atteignent le plus haut degré de simplicité quand on a
ô'*-* cos'*-^ a =-- 1 ou 6 "
On a alors
cos"~*a
y == tanga — :^ — —
y = a? tanga ^ —
X (^i -h |cv«-«^4- ^^c*v«»-*^2^. . .y
sin2a . I / 2 ^, ,^ 4 — ^ «xr»» tv» \
§ 5. — Suite.
On peut, en prenant pour variable l'inclinaison t de la tangente à la trajectoire, ramener le problème à des quadratures . L'équation du mouvement projeté sur l'axe des x peut s'écrire
dt
= — Cf''*C0ST.
Le rayon de courbure p a pour expression
ds
Googk
par suite,
v^ • ds i dT
p de ds dù^
dz
on a donc pour l'équation du mouvement projeté sur la normale
dz
Éliminant dt entre cette équation et la première,
d(vcosz) c ^ vdi g
ou
d{vco^'z) c di
(;«-•-» COS'*"^* X g C0S'*"'"*T
Intégrant entre les limites a et t, et remarquant que pour T = a on a p cost =: V cosa,
I I ne r^ di
ç;'*COS'*x V'*cos'*a ~ g J C0S'*"^*t'
d'où
^cosa
.«/ ne,, r^ C d-z
La valeur de v est ainsi ramenée à une quadrature. On calculera t en remarquant que l'on a
. g cosx d'où
~ gJ^ cosx
Googk
On a ensuite
dx =: V cosx dt ^=: dz,
t/y =z V sin 'zdt^=i tanffT dx.
Le problème peut donc être entièrement résolu par des quadratures.
§ 6. — Résistance proportionnelle an carré de la vitesse. Il faut prendre
et la formule (i) du § 4 devient
d^x dx ds
~d^ ~~" li'dt
Les difficultés de l'intégration conduisent encore à remplacer -7- par sa valeur moyenne 0, ce qui revient à substituer à l'hypothèse primi^ve /'= hç'^ la suivante
- ^ ( dx\^ ds , - -
\dt J dx ,
On n'a jamais appliqué les formules auxquelles conduit cette
méthode que dans le cas du tir très surbaissé. Gommé alors
ds le rapport -r- diffère peu de l'unité, on a eu l'idée de faire
Ô = I , ce qui revient à remplacer ds par dx et rend la projection horizontale du mouvement indépendante de sa projection verticale. L'équation précédente devient alors
dt^ ~"
et par l'intégration on obtient dx
fdxY
'Uj'
, — Vcosae"''^.
dt
Googk
Portant cette valeur dans Téquation (i) du § 3, on a
dx V*cos*a
^Ux^
Corame à ^ = o correspond y = tanga, l'intégration conduit à
y=tanga ^-—jf — — (e«6a:__i).
Une seconde intégration donne
r=:^tanga— . , , . ,f — — ie^^^ — ibx — i).
Quand on fait jk = o, celle des valeurs de x qui n'est pas nulle est la portée X; ainsi
ou, en développant, ^
Y^sin2a I / 4^^'X^ Sg^X^
g ~'262XV 2 "^ 6 "^'
ou encore
' V^ sin 2 a 2 , ^
enfin
sin 2 a I 1 b ^
T désignant toujours l'inclinaison de la tangente, il est clair que
tangT = >
dx et, comme (^cost= -j-j at
