COST

(i -h pe V cosaje^"-^- — pO V cosa On obtient le temps t en intégrant l'équation (A) :

t— ^7 (i-hpeVcosa) — 86 V cosa .

Vcosa L , ^^^ J

Les valeurs des coefficients c et ^ sont données dans le Chapitre II, § 5.

Ces formules sont fort compliquées. Le général Didion a pensé néanmoins qu'il les rendrait usuelles au moyen d'une suite de Tables qu'il a pris la peine de calculer.

Mais elles ne s'accordent pas suffisamment avec l'expérience, et il faut encore, comme précédemment, faire varier la vitesse avec l'inclinaison de la bouche à feu, lorsqu'on conserve aux autres données du calcul la même valeur numérique.

Pour éviter l'emploi d'un pareil expédient, le général Didion a recours à l'introduction d'une force verticale; en d'autres termes, il faut varier la pesanteur. Cela revient encore à admettre que la résistance de l'air n'est pas dirigée suivant la tangente à la trajectoire.

Lorsque l'inclinaison ne surpasse pas i o° à i a^, on admet assez généralement que la valeur du rapport moyen peut être supposée égale à l'unité.

Quand l'angle devient plus grand, le général Didion partage la trajectoire en une suite d'arcs déterminés par les inclinaisons de leurs tangentes extrêmes. Soient A5 la longueur et ^x la projection horizontale de l'un de ces arcs, Tq et t, les inclinaisons respectives de la première et de la dernière ^ tangente, les angles To et t^ positifs dans la branche ascen-

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dante, négatifs dans la branche descendante, et, par suite, la différence t© — T| toujours positive. La valeur de

devrait être donnée par l'équation 8 = — ; mais la longueur

As est inconnue.

Si, au lieu de Tare de la trajectoire, il s'agissait d'un arc appartenant à une parabole du second degré et à axe vertical, on aurait

= - ( sécTo — séCTi ) H — cotxo / tang ( 4^° + ~ )

-^cotT^/ tangU5**-H^j L

la lettre / désignant un logarithme népérien.

C'est cette valeur que le général Didion prend pour celle de 9|, substituant ainsi l'arc parabolique à l'arc inconnu de la trajectoire.

Qu'il s'agisse maintenant de calculer une portée. Dans le premier arc, commençant à l'origine de la trajectoire, on connaît l'angle de départ, la vitesse initiale et l'inclinaison prise arbitrairement de la tangente extrême. Ces données suffisent pour que, à l'aide des formules établies, on puisse calculer l'abscisse et l'ordonnée de l'extrémité de l'arc, la vitesse en ce point et la durée du trajet. Cette extrémité est l'origine du second arc, sur lequel on peut opérer de la même manière. Il n'y a plus qu'à continuer ainsi jusqu'à ce qu'on ait obtenu l'horizontale du point de départ.

On trouve dans la seconde édition du Traité de Balistique du général Didion une application de cette méthode à la trajectoire d'une bombe lancée par le mortier de o"*,32 à plaque, la charge totale étant de i4^^.

Données du calcul.

Angle de départ a = 42" 3o'

, , t Diamètre « = o", 8206

Bombe, i ^ .,

( Poids p = Q2^«

Vitesse initiale V = 420™

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Dans le premier arc la différence To — T| a été prise égale à 2°3o', et dans tous les autres à 5°. Nombre total des arcs 25.

Résultats du calcul.

Portée 3997", o

Hauteur du jet i44 1"> ^

Vitesse finale ' i44"> 8

Durée du trajet 33% 4?

Le poids du mètre cube d'air a été supposé égal à i''s^2o8 dans toute l'étendue du trajet.

La charge de i4^^ diffère très peu de celle qui produit le maximum d'effet. Dans les expériences exécutées à Gâvre, elle a donné une portée moyenne égale à 8980"^ quand on se servait de bombes de siège pesant 75^^, et à 4<^9o"^ lorsqu'on faisait usage de bombes de côté dont le poids était de 94^s, mais dans les expériences rapportées au Chapitre I, § 37, la charge de i3^s n'a donné qu'une vitesse de 269"^, i, et, bien que dans ces expériences la disposition du chargement ne fût pas absolument la même que dans le tir ordinaire du mortier, on peut en conclure que la vitesse imprimée par la charge de i^^^ est fort inférieure à ^'10°^,

Ce n'est donc qu'au moyen d'une exagération de la vitesse initiale qu'on rencontre ici un certain accord entre les résultats du calcul et ceux de l'expérience.

Quant à la durée du trajet, l'expérience n'a donné que *3o% 8.

§ 8. — Résistance proportionnelle au cube de la vitesse.

Dans ces derniers temps, on a souvent considéré la résistance de l'air comme proportionnelle au cube de la vitesse.

On a alors

r =1 cv^.

En suivant la méthode développée dans le § 4, on est encore

ds conduit, pour faciliter l'intégration, à remplacer ^ par sa

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254 PREMIÈRE PARtlE. — CHAPITRE VI.

valeur moyenne 8, c'est-à-dire à faire ds = ^dx. Mais Thypothèse primitive est altérée et remplacée par la suivante :

., ds (dx \' -, , dx \dt )

cos^

La projection horizontale du mouvement devient alors indépendante de sa projection verticale (§ 4).

Le calcul s'effectue comme il a été indiqué et les formules se déduisent de celles du § 4 en faisant n = 3. On a ainsi

Vcosa

(H-2ce«V2cos»aO'