cO* V cosacT

(î-f-cô*Vcosaj?)* —

2CÔ* V^cos^a

Vcosa'

/ cB^ Vcosa \

/ , g^ ( a^^r C^Ô^V^COS^a^n

y^tanga-^^J-^(^i + ce^Vcosa^-h 3 );

y ~ a? tan g a -"^ — —

^ ° 2V*cos*a

X (i-h |c62Vcosa^4- ic^e^V^cos^a

sin2a I 2c6*cosa c*6*cos'a

Le nombre 6 doit être compris entre i et (§ 4), et les

formules acquièrent le plus haut degré de simplicité quand on

fait8^cosa = i, d'où 9= — —ê y/cosa

Googk

On a, dans celte hypothèse,

Vcosa

X ( cV^\ V CCS a \ 2 /

•^ ° 2V2cos*a\ 3 6/

sin2a I 2C Y c^X^

. § 9i — Résistance proportionnelle à la quatrième puissance de la vitesse.

Les formules du § 4 deviennent d'une simplicité remarquable lorsqu'on y suppose n^^ ^, L'expression de la résistance de l'air e§t alors

r = cv^.

On est conduit, comme dans les paragraphes précédents, à

remplacer, pour faciliter l'intégration, -r- par sa valeur

moyenne 6, c'est-à-dire à faire rf^ = 8 dx, La projection horizontale du mouvement devient indépendante de sa projection verticale, mais l'hypothèse primitive est altérée et remplacée par la suivante :

^, ds ( dx\^ ^, .

/• = cô3— f— j izzce'ç'^cosH.

Les formules se déduisent de celles du § 4 en y faisant n = 4» On a ainsi

Vcosa tt=: j,

(i-h3ce»y3cos»aO'

Googk

Vcosa

(14- 2C^^\^COS^0LœY

^ (iH-scO^V^cos^aj?)* — I ^"~ ScÔ^V^cos^a '

y' — tanff a — ^jf^^ (i H- 0* V^ cos^a^),

r = ^tanga- ,if^ » ( H- -rr cB'Y^cos^aj? ),

*^ ° 2V2cos^a \ 3 /

La trajectoire est alors remplacée par une courbe du troisième degré ; mais il ne faut pas oublier que l'hypothèse primitive de la résistance de l'air proportionnelle à la quatrième puissance de la vitesse n'a pas été conservée, puisqu'on lui a substitué la suivante :

r = cô^(^*cos'':.

§ 10. — Résistance proportionnelle à la vitesse.

Il est intéressant de supposer la résistance proportionnelle à la vitesse, à cause de la simplicité des formules auxquelles conduit cette hypothèse. On doit prendre

et l'équation du mouvement horizontal devient d}x dx

, ^ d^œ dx

L'équation du mouvement vertical devient de même .

Googk

De là il résulte que le mouvement horizontal et le mouvement vertical sont indépendants l'un de l'autre .

Comme -r- == V cosa quand ^ = o, l'intégration de l'équation (i) donne

(3) -f-^YcosoLe-^'.

Intégrant une deuxième fois et remarquant que ^ = o pour ^ = o,

xnn — -; — (i— e-^'),

d'où

V coso

^ ^ c \ V cosa/

la lettre /désignant un logarithme népérien.

Substituant la valeur de <?"*"' dans l'équation (3), on

—r- -zm V cos a — ex, dt

Mettant pour -j- la valeur précédente dans l'équation

dx^

^dx'

dv'

cosa-

-ex y

il vient

Intégrant et observant que pour x = o, j' = tanga,

(5) /=:tanga-^f,, ' v^— V

^ ' . *^ ^ c\Vco3a — ex Vcosa/

Intégrant une deuxième fois, on a enfin

(6) r^^ftanga-h -^ \ ^ Klf i - ^^iJ).

^ ^ ^ \ ° c Vcosa/ c^ \ Y cosa/

Googk

Développant le logarithme,

, . gx^ ( ex c^x^ \

^^ ' ^ ^ 2V^cos2a\ SVcosa 4V*cos2a /

Quand on fait jk = o dans l'équation (6), celle des valeurs de X qui n'est pas nulle est la portée X. Sa valeur est donc donnée par l'équation

I ,/ cX \ cV g \

:rFqi— TT 1= (tangan ).

X \ Vcosa/ ^\ ° cVcosa/

L'équation ( 7) donnerait

sin2a I /

cX f^x*

SVcosa 4V2cos2a

On aura l'abscisse du point culminant en faisant\;K'= o -dans l'équation (5), ce qui donne

Y V^sinacosa

g -V- C V ces a

Substituant cette valeur dans l'équation de la trajectoire, on trouve, pour l'ordonnée Yj du point culminant

Ysina g { c \

On aura la vitesse au sommet en substituant la valeur de X

"dans l'équation

dx ,

-3- =: V cosa — ex.

Y ces ot On trouve ainsi Il est à remarquer que pour

I 1 V sin a

une valeur de x égale à y -j- s'annule, tandis que les

valeurs de^', dejK et de t deviennent infinies. La courbe a

donc une asymptote verticale située à une distance de rori-

i 1 1 Vcosa gme égale a —

Googk

TRÀJEGTOIRCS MOYENNES DES PROJECTILES 8PHÉRIQUES. 2^^

En prenant pour variable indépendante l'inclinaison t de la tangente à la trajectoire, on obtient la vitesse en un point quelconque en faisant n = i dans la formule (i) du § 5. On trouve

ainsi

-, cosa