CHAPITRE YII

SUBSTITUTION d'uNE COURBE DU 3® DEGRÉ A LA TRAJECTOIRE DANS l'air. — FORMULE DES PORTÉES.

§ 1. — Considérations conduisant à cette substitution.

Il résuite du Chapitre précédent qu'en se servant pour déterminer la trajectoire des formules employées jusqu'à présent pour représenter la résistance de l'air, on est conduit à des calculs très compliqués et qui ne peuvent être effectués qu'à l'aide d'approximations souvent fort douteuses. 'Ces formules, d'ailleurs, ne sont pas fondées sur des considérations purement théoriques. Chacune d'elles, établie d'après le résultat d'expériences plus ou moins étendues, doit nécessairement être remplacée par une autre dès que de nouvelles observations viennent modifier les conclusions tirées des premières. C'est ainsi que la résistance de Fair, longtemps regardée comme proportionnelle au carré de la vitesse, a été ensuite représentée par une expression composée de deux termes proportionnels, l'un au carré, l'autre au cube de la vitesse, et dont rinsuffisance a été récemment reconnue. On n'est peut être pas disposé à regarder comme définitive la formule à laquelle on est parvenu dans le Chapitre II.

Cessant donc de s'occuper de la résistance de l'air, il est naturel de chercher si, à l'aide des seules données fournies immédiatement par l'observation, il ne serait pas possible d'établir quelque relation simple entre les vitesses initiales, les angles de départ et les portées.

L'approximation serait d'ailleurs suffisante si les erreurs auxquelles donnerait lieu l'emploi de la formule ne surpassaient

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SUBSTITUTION D'uNE COURBE DU TROISIÈME DEGRÉ. ,261

pas les différences que, dans des tirs exécutés avec soin, peuvent offrir des moyennes prises sur quarante ou cinquante coups. Mais de grandes difficultés se présentent; souvent les résultats dont on dispose n'ont pas été déduits d'un assez grand nombre de faits; d'autres fois, des circonstances inconnues ou qu'il n'a pas été possible de prévoir ont fait varier les vitesses initiales et les portées : de là des discordances qui rendent ce travail aussi pénible qu'ingrat.

Si le mouvement avait lieu dans le vide, l'équation de la trajectoire serait

y = J7 tanff a -r- — ,

•^ "" 2V*cos^a

en admettant que le projectile ne s'élève pas assez haut pour qu'il soit nécessaire d'avoir égard à la variation de la pesanteur.

L'équation de la trajectoire dans Tair doit donc être susceptible d'être ramenée à la forme

y = j7 tanga — — rr "H ? ( «3? ) •

•^ ^ 2cos^aLV^ ^^ ^J

La fonction ^{x) doit s'annuler en même temps que la densité de l'air; elle doit ainsi devenir nulle quand la vitesse initiale devient infinie, car, dans ce cas, le terme t^ï s'annule et

avec lui l'action de la pesanteur; le mouvement devient donc rectiligne et l'équation doit se réduire ky =^ x tanga, ce qui ne peut avoir lieu que par l'annulation de cp (^).

On n'a besoin d'attribuer -à x que des valeurs positives : dès lors la fonction cp (^x) est également positive, la courbe étant moins élevée dans l'air que dans le vide.

Lorsque l'ordonnée y devient nulle, l'équation doit donner pour X deux valeurs égales, l'une à zéro, l'autre à la portée X ; donc

sin2a I .^.

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Une série de coups, tirés soiis la même inclinaison et avec la même charge, fait connaître la portée moyenne qui correspond à la fois à la vitesse que donne la charge et à Tangle de départ qui résulte de l'inclinaison. L'équation précédente permet alors de calculer la valeur de f (X).

Renouvelant l'expérience sous plusieurs inclinaisons, en employant toujours la même charge-, on obtient une suite de valeurs de ç(X) correspondant à des angles de départ différents, la vitesse initiale restant la même.

Or, il arrive fréquemment, du moins lorsque l'inclinaison ne dépasse pas certaines limites, que l'on a

K désignant une constante indépendante de l'angle a. Dans ce cas, la relation entre l'angle de départ, la vitesse initiale et la portée devient

-jr - v^ + ^^'

Dès lors, quand ^ = X, la fonction ^{x) doit avoir une valeur égaie à KX.

Le moyen le plus simple de remplir cette condition consiste à supposer ç(x) = Kj?, ce qui revient à substituer à la trajectoire la courbe du troisième degré ayant pour équation

-^ ^ 2Cos*a\V* /

Mais cette hypothèse, qui ne peut avoir aucune influence sur la formule des portées, demande à être vérifiée par l'expérience ( * ).

( ' ) La plupart des auteurs des Traités de Balistique sont parvenus à une équation du même genre en négligeant, dans les expressions de / données dans le Chapitre précédent, les termes où se trouvent des puissances de x

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SUBSTITUTION D*UNE COURBE DU TROISlÈBfE DEGRÉ. 203

A l'époque où ont été exécutées les expériences dont on va rendre compte, Fusage était d'introduire dans les formules la densité du projectile en prenant comme unité celle de l'eau distillée et à la température de o^. En désignant par d la densité du projectile ainsi définie, par S celle de l'air, par a le diamètre du boulet, le coefficient de l'accélération correspondante à la résistance de l'air se trouvant alors propor-

tionnel à — -,5 il est naturel de chercher s'il n'en serait pas ad ^

de même de la valeur de K.

La question serait alors ramenée à chercher entre quelles limites le produit arfK peut être considéré comme constant, quand la densité de l'air n'éprouve que de légères variations.

Si l'on connaissait l'expression générale de K en fonction de a, on pourrait trouver l'angle de plus grande portée. En effet, la formule des portées peut s'écrire

V2sin2a=:^X-4-^V2KX2.

En la différentiant par rapport à a et représentant, suivant