X-i-Ai, X + Aj, X-f-As
A«, A2, A3, ... désignant des quantités positives ou néga^ tives telles que A, + A2 4- A3 + . . . = o. Les valeurs numériques de ces quantités sont les diverses déviations longitudinales.
Si les déviations latérales étaient uniquement dues aux écarts, elles seraient respectivement égales à
(X-l-A.) ^-ry (X-+-A,) 2— > (X-hAj) > •••>
^ ^ ^' cosai ^ ^ cosaj ^ cosa.
Googk
et leur valeur moyenne, désignée par y', serait donnée pai l'équation
__ / tan g El ^ tangsg ^ tangea ^ \ ^ ^ \ cosaj cosaj cosa, ''') n
( tansTSi tansre* \ i
-h Al ^^ + A, - ^ ' ' ^ -
cosaj cosaj ]n
La bouche à feu conservant la même inclinaison pei^dant toute la durée du tir, il est bien clair que les cosinus des angles ai, aj, as, . . . ne peuvent différer que très peu les uns des autres et, par conséquent, de cosa. Par suite, à cette équation, on peut substituer la suivante :
, tanget-t- tang£a4- tangss-h. . . X ^ n cosa
^ Attang£i-|-A,tang£8 4-...
n cosa
Le premier terme du second membre est égal à X — ^•
Quant au second, il est négligeable; en effet, les facteurs A|, A2, A3, . . ., les uns positifs, les autres négatifs, ont une somme nulle; et les facteurs positifs lang Si, lange2, . . . sont tous très petits. Le numérateur A^ tangSi + A2 tangso. . . n'a donc qu'une faible valeur que la division par n fait à peu près disparaître.
Ainsi, quand le nombre des épreuves est considérable, on a sensiblement
tange '■ cosa
Dans le tir surbaissé où cosa diffère peu de l'unité, la déviation latérale moyenne serait, d'après cela, proportionnelle à la distance. Il est, d'ailleurs, bien reconnu qu'elle croît beaucoup plus rapidement, et cette seule remarque suffit pour mettre en évidence l'existence des forces déviatrices.
La déviation latérale moyenne du tir est ainsi le résultat du
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concours de deux causes; et en admettant que le théorème démontré dans la Note II placée à la fin du Volume, pour les carrés moyens des écarts, s'applique également aux carrés des écarts moyens, le carré de 'cette déviation latérale moyenne doit être égal à la somme des carrés des deux déviations latérales moyennes que produiraient ces deux causes si elles agissaient isolément.
Si donc ^ désigne la déviation latérale moyenne qui serait uniquement due aux écarts angulaires et y'' celle qui serait le résultat de la seule action des forces déviatrices, on a
A une petite distance de la bouche à feu, les effets des forces déviatrices sont encore peu sensibles ; le terme qf^"^ est alors négligeable ; de sorte que Ton a à très peu près q = q\
Cette circonstance se présente surtout dans le tir à mitraille, où les écarts angulaires sont, d'ailleurs, très considérables; et la dispersion moyenne des balles reste proportionnelle à la distance, tant que celle-ci ne dépasse pas 3oo™ ou 4oo"* (ChstpitreXII),
Mais les effets des forces déviatrices croissent rapidement à mesure que la distance augmente; ils ne tardent pas à surpasser de beaucoup ceux des écarts angulaires, de sorte que, le terme q'^ devenant négligeable à son tour, on a à peu près q =q^^.
Si le projectile subissait à chaque instant et toujours du même côté l'action de la force déviatrice latérale moyenne, sa trajectoire aurait pour projection horizontale la courbe que l'on forme en prenant pour abscisses les di3tances et pour ordonnées les déviations latérales moyennes, et qu'on peut appeler courbe des déviations latérales.
La force déviatrice latérale moyenne serait à chaque instant perpendiculaire au plan vertical passant par l'élément de cette trajectoire.
De là il résulte que, pour former l'équation de la courbe
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des déviations latérales, on peut considérer la force dévîatrice latérale moyenne comme étant dirigée à chaque instant suivant la normale à cette courbe.
Il est clair que la courbe des déviations latérales tourne constamment sa convexité vers l'axe des abscisses et qu'au point de départ elle est tangente à ce dernier, puisque les choses se passent comme si l'écart initial était nul.
L'hypothèse la plus simple que Ton puisse admettre, touchant la nature de la force déviatrice latérale moyenne, consiste à regarder cette force comme étant proportionnelle à la vitesse de translation et au grand cercle du projectile.
Soient donc
a le diamètre du projectile, p son poids en kilogrammes,
y sa vitesse de translation après un temps t compté depuis l'origine du mouvement.
La force déviatrice serait représentée par
h désignant une constante qui dépendrait de l'état moyen du projectile et de l'atmosphère.
Il est alors facile d'obtenir l'expression de la courbe des déviations latérales.
En effet, si l'on représente par
X la distance du projectile à la bouche à feu après le temps /, y la déviation moyenne à cette distance, p le rayon de courbure de la courbe des déviations latérales au point dont les coordonnées sont x et^*.
on a l'équation
P'^-haU-,
g n'étant introduit que par suite de l'expression de la masse, on peut prendre ^ = 9,81.
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Faisant H = gh^ on tire de l'équation précédente
Or on sait que
rzzz
II «'
dxy
mais, la courbure étant ordinairement très petite, on peut
dx négliger le carré de -i-j de sorte qu'on a simplement
et, par suite,
dx"-
d^y dx^
On peut considérer approximativement la résistance de l'air comme étant proportionnelle au carré de la vitesse, ce qui donne, le tir étant surbaissé,
mais il faut convenir de prendre pour h une moyenne entre les valeurs que peut affecter ce coefficient pendant la, durée du mouvement. On obtient ainsi l'équation
Intégrant deux fois et observant que x et y s'annulent
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avec X,
TJ
7 = — (e*^— hx — i).
Développant e*', on obtient, en s'arrêtant au terme x', / bx b^x^ \
