CHAPITRE X
INFLUENCE DES AGITATIONS DE l'aIR SUR LE MOUVEMENT DES PROJECTILES SPHÉRIQUES.
§ 1. — Considérations générales.
Dans le cours de ce Chapitre, ^
V représentera la vitesse initiale du projectile, a Tangle de départ,
X la portée dans Tair calme, *
T la durée du trajet dans Tair calme.
Les valeurs de X et de T étant toujours déterminées par celles de V et de a, on peut, par suite, poser
X=:F(a,V), T^cp(a,V)=/(a,V,X),
attendu que la portée X est elle-même une fonction de a et deV.
Lorsque l'atmosphère est agitée, on peut supposer qu'une vitesse égale et opposée à celle du vent est, au moment où le boulet sort du canon, imprimée à toutes les parties du système; les positions relatives de ces dernières ne sont pas changées, mais l'air est ramené au calme.
Qu'on imagine, au point de départ du projectile, trois axes de coordonnées rectangulaires, Ox, Oy, Oz, dont l'un soit vertical.
La vitesse initiale du mobile peut être remplacée par ses composantes V<, Vo, V3, suivant les trois axes. Lorsque l'air
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34o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE X.
est calme, la connaissance de ces composantes suffit pour déterminer complètement la trajectoire.
Si donc ^,JK5 ^ désignent les coordonnées de la position du projectile au bout du temps t^ on peut poser
y ^^/îC^» ^ \i ^2) '3))
^ "^^/zK^i ^1> '^2) ^3)*
Quand l'atmosphère est agitée, on y rétablit le calme en imprimant, au moment où le projectile sort du canon, à toutes les parties du système, une vitesse égale et opposée à celle du vent. Rien ne s'oppose, d'ailleurs, à ce que les axes de coordonnées conservent leur fixité.
Généralement la direction du vent est oblique relativement à l'horizon, et sa vitesse est très faible, comparée à celle que l'explosion communique au projectile. Soient W,, W2, W3 ses composantes suivant les trois axes. Par suite du mouvement général imprimé au système, le projectile possède, au moment où il sort du canon, une vitesse dont les composantes suivant les axes sont
Les coordonnées de la position où il se trouve au bout du temps t sont, par conséquent, données par les équations
ou, en développant et négligeant les termes où la somme des exposants de W|, Wj, Wj est supérieure à l'unité,
0)jj=/,(f,V.,V,,V,) + ^^W. + ^^W,+ ^^W3,
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INFLUENCE DES AGITATIONS DE l'aIR. 34 1
Mais, au moment de la sortie du projectile, le canon reçoit une vitesse dont les composantes suivant les axes sont Wi, W2, W3. Il en résulte que, si a;,, jko ^t désignent les coordonnées de la position où il se trouve au bout du temps t,
IXi — tWi,
Les systèmes d'équations (i) et ( 2) déterminent les portions relatives du boulet et du canon au bout d'un temps quelconque t.
Il est visible que- l'on serait parvenu aux mêmes expressions si l'on avait considéré l'influence de chacune des vitesses W| , W2, W3 prise isolément et sans s'inquiéter des deux autres, et faisant ensuite ia somme des résultats.
Cette remarque est importante.
La vitesse du vent peut toujours être décomposée en trois autres dont deux horizontales, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire au plan de tir, la troisième verticale et généralement dirigée de haut en bas. Il suffît donc d'étudier séparément les effets de ces trois composantes.
En d'autres termes, la question générale est ramenée à rechercher : ,
1° L'influence d'un vent horizontal parallèle au plan de tir;
2^ Celle d'un vent horizontal perpendiculaire au plan de tir;
3^ Celle d'un vent vertical agissant généralement de haut en bas.
Mais il ne faut pas oublier que ces conséquences supposent que la vitesse du vent est .très petite relativement à la vitesse initiale du projectile.
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§ 2. — Influence d'un Ydnt horizontal parallèle an plan de tir.
Pour fixer les idées, on peut supposer que le vent viejit de l'arrière. Soit W sa vitesse. On ramène le calme dans l'atmosphère en imprimant à toutes les parties du système une •vitesse égale à W| et dirigée de l'avant vers l'arrière.
La composante verticale de la vitesse initiale du projectile
est égale à Vsina; mais la composante horizontale devient
Vcosa — W|. L'angle de départ est donc changé; et, en le
désignant par a^ on a
Vsina
taner a. =z — . .
& * Vcosa— W,
De plus, si V< représente la vitesse initiale,
VJ = V« sin^ a 4- ( V cos a — Wi )% Vî =: Y» — 2 VWi cosa + w?.
La vitesse du vent étant toujours fort petite relativement à celle du boulet, on peut, sans inconvénient, supprimer le dernier terme ou le multiplier par cos^a. Dans ce dernier cas,, on a
V,z:r:V — WiCOSa. *
A cette vitesse Vi et à l'angle de départ ai correspond dans l'air devenu calme une portée X' qu'on peut calculer par l'équation
X' = F(a.,VO; et, si T| désigne la durée du trajet,
Mais, pendant ce temps T|, le canon parcourt, de l'avant vers l'arrière, un espace égal à Wi T< , de sorte qu'au moment de la chute la distance qui le sépare du boulet est égale
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INFLUENCE DES AGITATIONS DE l'aIR. 343
à X' H- W| T| . Si donc X| désigne la portée, on a
Lorsque le vent vient de l'avant, des raisonnements analogues conduisent à des équations qui ne diffèrent des pré- ' cédentes qu'en ce que — W< y remplace Wi , ce qui revient à considérer comme positive la vitesse d'un vent venant de l'arrière, et comme négative celle d'un vent venant de l'avant.
§ 3. — Suite. — Application numérique.
Pour faire des applications de ces formules, il faudrait avoir l'expression générale de T. Les expériences faites sur les boulets sphériques ne fournissent aucune donnée à cet égard.
Lorsqu'on substitue à la trajectoire réelle la courbe du troisième degré, on obtient, en supposant la résistance de l!air dirigée suivant la tangente, l'équation
ces a 3V 3
Vsirvif^' + ^^^^'^^^-'J
(Chapitre VU, § 17), qui, comme on le verra plus tard, s'accorde d'une manière satisfaisante avec les résultats obtenus avec les projectiles ogivaux. Il semble assez naturel d'en faire l'application aux boulets sphériques. Dans le cas actuel, les quantités a, V et X doivent être remplacées par ol^, V< etX'.
Données du calcuL
! Diamètre a = o", lôgô
Poids p = iS''», I
Vitesse initiale.. V= 400"
Angle de départ a = 10"
Vitesse du vent dirigée de Tarrière vers
Tavant W.= 10"
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