CALCUL DE LA RESISTANCE DE L AIR

6. Base du calcul de la résistance de Vair. Les hypothèses faites dans le dernier temps sur le mouvement moléculaire des gaz

*) Sar la déviation des projectiles par 6. Magnus, tradaction de M.Rieffel. 1863.

8ont encore trop peu développées pour pouvoir conduire à une solution assez exacte de la question de la résistance. Nous nous bornerons au procédé ordinaire du calcul de la résistance de Tair, basé sur la considération du choc d'un corps doué d'une vitesse de translation connue contre l'air supposé en repos. Ce calcul a pour lui la simplicité, et donne le moyen de connaître la relation entre la résistance de l'air sur les sur&ces de révolution et les angles que font leurs axes de figure avec la direction du mouvement, ce que l'on ne peut pas déduire des résultats des expériences faites jusqu'à ce jour sur la résistance de l'air.

7. Résistance de Vair sur un plan. Appelons P le poids du plan; S sa surfoce; v la vitesse avec laquelle il frappe l'air supposé en repos; II le poids de Punité de volume d'air, et g l'accélération de là gravité.

Nous supposerons d'abord que le plan est perpendiculaire à la direction du mouvement. Le plan parcourt dans l'élément de temps dt le chemin vdt et déplace un volume d'air Svdt'^ la masse de l'air

mise en mouvement dans l'élément de temps aura pour valeur - Svdt.

Pendant le choc du plan contre l'air il se développe à leurs points de contact des forces intérieures qui tendent à diminuer la vitesse du plan et à communiquer une certaine vitesse à l'air, de sorte qu'après un certain temps, très court, le plan et l'air qu'il met en mouvement doivent avoir une vitesse commune, qu'ils doivent conserver après le choc, si l'on envisage le plan et l'air comme des corps non élastiques. Comme pendant le choc il ne se développe que des forces intérieures, la somme des quantités de mouvement du plan et de l'air, qu'il met en mouvement, doit être la même lorsque le plan et l'air ont acquis une vitesse commune, qu'à l'origine du choc. lia quantité du mouvement du

plan avant le choc est - v; la quantité du mouvement de l'air

avant le choc est nulle, puisque avant ce choc l'air est supposé en repos; si l'on représente par dv la diminution de la vitesse du plan pendant l'élément de temps dt, on aura v — dv pour la vitesse du plan à la fin du temps dtj et comme on suppose qu'après cet élément

de temps le plan et Tair qu'il met en mouvement acquièrent une vitesse commune, on aura pour la somme des quantités de mouvement du mobile et de l'air, quand ils ont acquis une vitesse commune, l'expression (-H — Svdtj (v — dv). En régalant à la quantité de mouvement avant le choc, nous aurons

^-V=:(^^jSvdt)iV-dv),

d'où l'on déduit la force de la résistance de l'air sur le plan S perpendiculaire à la direction du mouvement

g dt — g^^'

Si le plan S n'est pas perpendiculaire à la direction du mouvement, en appelant e l'angle que &it la normale au plan avec la direction du mouvement, on peut décomposer la vitesse v suivant le mouvement en deux autres: l'une v cos e perpendiculaire au plan S, dont dépend la résistance, et l'autre v sin e parallèle au plan 8, avec laquelle l'air glisse sur le plan; on peut admettre que la résistance en est indépendante. En mettant dans l'expression de la résistance sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, au lieu de v, la quantité v cos e, nous aurons pour la résistance normale sur le plan 8 oblique à la direction du mouvement

^8v^ cos^ 6.

Si Ton considérait le plan et l'air comme des corps élastiques, on aurait, d'après la théorie du choc des corps élastiques, pour la résistance sur un plan, les expressions ci-dessus doublées.

Gomme, dans le calcul de la résistance, nous n'avons pas pris en considération plusieurs circonstances qui accompagnent le mouvement d'un plan dans l'air, nous devons, pour obtenir des valeurs réelles de la résistance, multiplier les valeurs obtenues par un coefficient déduit des expériences. En appelant p la résistance normale de l'air

sur le plan 8^ et k le coefScient déduit des expériences, on aura dans le cas d*un plan perpendiculaire à la direction du mouvement

et dans le cas d*un plan oblique à la direction du mouvement

Q=:=k-S.V^GOS^&.

On voit par c^ qui précède qu'on peut, dans le calcul de la résistance de Tair sur un corps quelconque, admettre la résistance élémentaire sur chaque élément de sur&ce, soumis à l'action de la résistance, proportionnelle au produit de cet élément sur le carré de la projection normale de la vitesse.

8. Bésistance de Vair sur une surface de révolution dont Faxe de figure coïncide avec la direction du mouvement. Soit ADB (fig. 1) la courbe génératrice de la surfece de révolution qui se meut dans la direction de son axe de figure AO. Les éléments de la surface pour lesquels l'angle s que fait la normale extérieure à l'élément avec la direction du mouvement est moindre que l'angle droit, sont seuls soumis à l'action de la résistance de l'air, de sorte que la partie antérieure de la surface, soumise à la résistance de l'air, est séparée de la partie postérieure, non soumise à la résistance, par la circonférence DI/ de ccmtact de la surface de révolution avec un cylindre circonscrit dont la génératrice est parallèle à la direction du mouvement. Prenons l'axe de figure OA pour l'axe des x. La surface élémentaire mm'm'\ que nous nommerons rfc, éprouve dans la direction Nm qui lui est perpendiculaire une résistance (n^ 7) égale

à k-d<T.v^cos^ e; décomposons-la en deux: l'une k-da.v^cos^g suivant la direction parallèle à l'axe de figure et l'autre k-dtrv^ cos' s sin s

suivant la direction perpendiculaire à l'axe de figure; la dernière sera détruite par la résistance égale et contraire sur la sur&ce élémentaire nn'n" qui se trouve dans la même section méridienne que la surface élémentaire mm'm" et qui &it le même angle avec la direction du mouvement; par conséquent on n'a qu'à considérer la première

composante de la résistance k-d<TV^ cos^ e. Si Ton étend cette expression sur toute la zone produite par la révolution de Télément de Tare mm\ dont la surfiice est 27cyrfs, on aura pour la résistance de

Tair sur cette zone l'expression 2KÎc-f^ycoH^&d8y ou, remarquant

que cos 6=-^, cette expression deviendra 2%k-t^y^. L'intégrale

de cette expression, étendue sur toute la partie antérieure de la surùxAj exprimera la résistance de l'air sur toute la sur&ce de révolution. 9. Bésistance de, Vair sur une sphère ou sur une demi-sphère gui se meut la partie convexe en avant et dont Vaxe défigure ccincide avec la direction du mouvement. Prenons le centre de la sphère pour origine des coordonnées et appelons 22 le rayon de la sphère. L'équation du cercle générateur est

On en tire

xdx

-*-ydy=o; dy=—^dx',

dy'=$d:^;

rf/=

-.-plA d^=[l -*-^)dd'=^dA

ç=2Kk^v'Ul?dx,

p=0,5Jk°7ci?t;».

10. Bésistance de Vair sur un cône gui se meut ayant son sommet en avant et dont Vaxe de figure ccUncide avec la direction du mouvement. Prenons l'origine des coordonnées au centre de la base du cône. Appelons 22 le rayon de la base; h la hauteur du cOne; X l'angle que &it sa génératrice avec son axe de figure. L'équation de la droite génératrice est

y = (A — x) tang X = ^r (A — x).

On en tire

dy=—^dx; dtf'=^dx>;

1 1 . Résistance de Vair sur une surface de révolution dont Vaxc de figure fait un angle donné S avec la direction du mouvement. Prenons (ôg. 2) pour l'axe OX Taxe de figure de la sur&ce de révolution et pour le plan des XT un plan passant par Taxe de figure parallèlement à la direction de la vitesse v. Soit da l'élément mm'm" de la sur&ce; e l'angle NGv que fait la normale extérieure de la surface avec la direction de la vitesse; 8 l'angle que fait l'axe de figure de la surface avec la direction de la vitesse. La résistance d^ de l'air sur l'élément da de la surface sera exprimée par

rfp = A;-t;*cos*6rfa.

Les éléments de la sur&ce pour lesquels on a e < |sont seuls soumis à l'action de la résistance de l'air. Par conséquent, l'équation

OU, ce qui est tout un, l'équation

cose = o,

jointe à celle de la sur&ce, détermine une courbe qui divise cette sur- &ce en deux parties telles que la valeur de cos e sera positive pour

tous les points de l'une et négative pour ceux de l'autre. La première sera la partie antérieure du corps qifi est soumis à la résistance de l'air, la seconde sera la partie postérieure qui n'éprouve pas de résistance. Cette courbe de séparation entre la partie antérieure et la partie postérieure est, en d'autres termes, la ligne de contact de la surface dont il s'agit avec un cylindre circonscrit dont la génératrice est parallèle à la direction de la vitesse.

Nous définirons la position de chaque pbint m de la sur&ce de révolution par sa latitude X, égale à l'angle Nms que fait la normale en ce point avec le plan des TZ, et par sa longitude L, égale à l'angle dièdre vAm que &it le plan des XT avec le plan méridien passant par le point m, angle mesuré par l'angle plan Mos ou T08.

L'élément de sur&ce âtr^^mnCm" est un rectangle, dont le côté mm' == ôm X angle {mofnl) = Ôpx angle (SoS') et dont le côté Sîm^=C^x angle OwO;0. L'angle (S05')=rfL et l'angle (mCm') =:dk. En désignant par y l'ordonnée OP du point M situé sur la courbe de la section méridienne principale et qui a pour abscisse x la ligne MP^ égale à l'abscisse mp du point m, et par 7 le rayon de courbure Cm de la surface au point m, on aura le côté mm' = ydL et le côtemw*=YdX, de manière que

da = y .y .dX.dL

d^=:k-^ Y.y.cos^e.dX.rfL.

Cherchons les expressions des composantes parallèles aux axes OX, 07, OZ de cette résistance normale élémentaire.

L'angle que fait la normale extérieure Nm avec l'axe OX étant

~ — X, la composante d^^ de la résistance d^ parallèle à l'axe OXest

dp^ = rfp . cos (^ — X W k-i^y cos^ s sin X . (ÎX . dL.

Pour avoir les composantes d^^ et d^^ de la résistance d^ parallèles aux axes OT et OZ, projetons d'abord la résistance d^ sur le plantes TZ; cette projection d^^^ aura pour valeur

et les projections de d^^^ sur les axes OFet OZ seront exprimées par dp =ip^^.cos L=É5t;'Yyco8'scosXcoslxiX.dL,

dÇg = d^yg . sin L=ïÉ-t;*ifycos*ÊCOsXsinZ>iX .dL.

A cause de la symétrie de la surfine de révolution par rapport au plan des XTj à chacune des composantes dp^, d^^j d^^ qui agissent sur l'élément da = mnim! de la surfiwe, correspond une autre composante égale qui agit sur l'élément symétrique situé de l'autre côté du plan des XY. Far suite, toutes les composantes dp^ se détruiront deux à deux. La force dp^ qui agit sur l'élément d(j=tMn!m se composera avec la force dp^ qui agit sur l'élément symétrique situé de l'autre cOté du plan des XJ, et donnera la force résultante élémentaire 2 dp^ parallèle à l'axe OX, située dans le plan des XY à une distance de l'axe OX égale à Ôq= ^. cos (YOS) = ÔP. cos (YOS) == y . cos L. Transportant la force élémentaire 2dp^ à l'origine des coordonnées 0, nous aurons, outre la force 2dp^, appliquée à l'origine des coordonnées, le couple de forces (2dp^, — 2dp^) situé dans le plan des XY et ayant pour moment

2dp^.ycosL.

Procédant de même avec les deux forces élémentaires dp^ qui agissent sur les deux éléments symétriques, nous obtiendrons la force élémentaire 2dp appliquée à l'origine des coordonnées, et le couple (2(2py , — 2dpy) situé dans le plan des X7, ayant pour moment

et agissant dans le sens contraire au couple (2dp^, — 2dpJ.

Composant toutes les forces élémentaires 2dp^ en une seule force Pa suivant l'axe OX et agissant dans le sens contraire à cet axe, composant toutes les forces élémentaires 2dp en une seule force Pb suivant l'axe OY et agissant dans le sens contraire à cet axe, et com-

posant tous les couples élémentaires (2cîp^ , — 2rfp J et (2rfp^ , — 2dp ) en un seul couple K situé dans le plan des XY et dont l'axe est conséquemment dirigé suivant l'axe OZ^ nous obtiendrons:

ç^=2k-i^\\yy cos' e sin X . dX . dLj

Pb = 2kjf^^^yy cos" e cos X . cos L.dk. dL,

K=2 llid^^.yeosL — d^^.x)

= 2ft - 1;^ f j Yy (y sin X — x cos X) cos* e . cos L . rfX . dL.

ou, en posant

K^kjv'Q, nous aurons à déterminer:

X= 2 JJ Yy c^s^ e sin X . dX . dL.

r= 2 Jj Yy cos* 6 cos X cos L dX . dL,

Ç= 2 JJ^y (ysinX — a?cosX) cos*e . cosJD.dX.dL.

Si nous appelons x^ la distance du plan YZ au point où se rencontre la direction de la résultante de la résistance avec l'axe de figure, point que nous nommerons centre de résistance de l'air, nous aurons

Les intégrales précédentes ne doivent s'étendre qu'à la partie antérieure de la surface, où l'on a

et dont le contour est déterminé sur cette surftce par l'équation

cos 6=0.

On déduit cos e du triangle sphérique Avm, dans lequel le cdté mv = tj le côté -iifi = | — X, le côté -4t;=8, l'angle vAm=:L; et Ton a.

cos e =cos d sin X H- sin i cos X cos L.

L'équation

cos 8 sin X H- sin 5 cos X cos L =

donne la relation entre la latitude et la longitude des points de la courbe qui sépare la partie antérieure de la sur&ce de sa partie postérieure.

Four déterminer la latitude du point où la courbe ci-dessus coupe le plan des XYj il fi^ut faire dans la dernière équation

par suite cette équation devient

cos i sin X — sin 8 cos X = 0,

d'où

comme on devait s'y attendre, car le point dont il s'agit est le point B du méridien principal, où la tangente à la surface est parallèle à la direction de la vitesse, tandis que la latitude X =: N'By de ce point est égale à 8 = xBvy puisque la normale N'B est perpendiculaire à la tangente Bv^ et By est perpendiculaire à Bx.

Four tous les points du méridien dont la latitude X est moindre que ij il &udra prendre les intégrales depuis L = jusqu'à la valeur de L en fonction de X donnée par l'équation

cos 8 sin X -H sin 8 cos X cos i = 0,

c'est-à-dire jusqu'à

en désignant par 9 l'angle dont le cosinus

Four tous les points du méridien dont la latitude X est égale ou supérieure à i, il &udra prendre les intégrales depuis L=0 jusqu'à L=ic; car, pour toutes les valeurs de X^S, les parallèles de la surfiice de révolution sont compris en totalité dans la partie antérieure qui éprouve la résistance.

D'après cela, en désignant par X^ et X^ les latitudes des extrémités de l'arc de la courbe dont la révolution engendre la surfoce qu'on considère, nous aurons:

1) Dans le cas où i^\ < X^:

X = 2 f Yy sinXdX jcos^ e dL,

r= 2 f Yy cos XdX f cos* e cos LdL^

Q=, 2JYy (j^sinX— iccosX) dXfcos'ecosJWZi;

2) Dans le cas où 8 > X, > X^:

i = 2 f Yy sin XdX f cos^ e dL^

ÀQ

r= 2 f Yy COS XdX J cos^ e cos LdLj

Q= 2 Jy^ (ysinX — a;cosX)(iXfcos*ecos2kîL;

3) Enfin, dans le cas où X^ < 8 <Xi:

X=2\yysm \dk f cos^ e dL-4-2 j yj/ sin XrfX J cos* e dL,

r= 2 jYî^cosXeïxJcos^6C08 2xi2i-H2 fyy cos XcîxJcos^ecosZkîL,

do Xq

Ç==: 2^'^y{t/sin\—xc>os'k)dX^cos^teosLdL

-*-2 f^y (ysinX — aîcosX) rfXfcos^ecosZkîL,

où 9 désigne l'angle dont le cosinus

tang X

12. Résistance de Vair sur la surface latérale cPun tronc de cône circulaire droit à bases parallèles j qui se meut ayant sa petite hase en avant et dont Vaxe de figure fait un angle d avec la direction du mouvement. La latitude X de tous les points du cône étant constante et égale à l'angle que &it la génératrice avec l'axe du cône, on peut prendre le trapèze ABGD (fig. 3), formé par deux génératrices consécutives, pour l'élément de la surfece du tronc de cône.

Beprésentant par 12 le rayon de la grande base du tronc de cône, par r le rayon de sa petite base, par h sa hauteur et remarquant que l'angle AOB =±i CoD = rfL, on aura

sinX=^=^^=, co8X = --=4==^, tangX = ^,

da=i (R-^r)Vh^^{R—r)\ dL.

La résistance normale sur l'élément da de la surface étant proportionnelle à

do . cos^ 6

et ayant d'après le n"^ 11

cos e = cos 8 sin X -H sin 8 ces X Gos £

(B^r) cos e -H Jl BJn ^ coa L

on obtient

-h2A(B — r)8in8cos8co8L-H**sm'8co8*It1 dX.

La projection de la résistance élémentaire sur Taxe OX est proportionnelle à

da . cos* « . sin X = |. j^t^n^^^^ Ufi — r)"cos*8 -•- -+-2A(B — r)sin8cos8cosiH-A*sin*8cos*L"] dL,

et la projection de la résistance élémentaire sur Taxe OY est proportionnelle à

do . co8*«.cosX, cos £ = I . jj^^^^yt \{fi — r)^cos* 8 cosL-h .-«- 2A (B — r) sin 8 cos 8 cos" £ -•- V m? 8 cos' il dL.

Par suite il résulte:

1) Dans {« cas où 8 < X,

-«-2A(jB — r)sin8cos8jcos2kîZf-HA*sin^8J'cos^ZrfL L

-♦-2A(B — r)sin8cos8jco8^JWL-t-A^sin^8jcos'JWL .

•— 18 — En effectuant l'intégration, on obtient:

2) Data le cas oài^ï.,

-t-2A(JS— OsinScosSjcoslkiL-HA^sin^SJcos^lkilf ,

■^2h{R—r)sinimijto^LdL~¥-li?sm'i\m'LdL ,

En effectuant l'intégration, on obtient:

-+■ SA (B — r) sin 8 cos 8 sin 9"],

y= ip^^^[3A (S-r) (Tc-9) 8in8 cos8 -t-(2A«8in»8 -»-(JB — rfeos^i) sinç ],

où(n°ll)

et par conséquent

,- . ^ tangX S—r

•P = "<5«''8CrâF»)-

Pour trouver le centre de résistance de Pair, remarquons que la résultante de la résistance sur chaque trapèze élémentaire, formé par deux génératrices consécutives du cône, doit être perpendiculaire à la génératrice et passer par le centre de gravité de ce trapèze. D'après cela, la distance x^, du centre de résistance à la grande base du tronc du cône est

A>(fl-H2r)--2(B«^r»)

Si 8 = 0, les formules déduites pour le cas de 8 < X donnent

Si 8 = |, les formules déduites pour le cas de 8 > X donnent

Pour le cas d'un côn^ complet, il n'y a qu'à poser dans les formules précédentes r=:zo.

13. JRésistance de Vair sur la surface latérale dun tronc de cône circulaire droit à bases parallèles ^ qui 'se meut ayant sa grande hase en avant et dont Vaxe de figure fait un angle 8 avec la direction du mouvement. Dans le cas de 8<X la base plane antérieure du tronc de cône est seule soumise à la résistance de l'air;

par conséquent on a:

Dans le cas de 8 > X, en agissant comme dans le n° précédent, on trouve:

— 3A {B — r) sin 8 cos 8 sin 9 J ,

— 3% (B — r)(7: — 9) sinSeos îl, où

9 = arecos(-îj^).

La distance Xq da eentre de la résistance à la petite base dn tronc de cône est

14. Résistance de Vair sur la surface latérale éPun cylindre circulaire^ dont Vaxe de figure fait un angle 8 avec la direction du

mouvement. Pour le cylindre X = 0, cos 9 = ^^ = 0, par conséquent 9 = |.

Posant JR=r et 9 = |dans les formules du n° 12, qui se

rapportent au cas de S > X, nous aurons comme expression de la résistance sur la surface latérale du cylindre:

X = o, r=i»B.sin»«,

15. Résistance de F air sur le plan tzî^ perpendiculaire à F axe de figure gui fait un angle i avec la direction du mouvement. Admettant, comme précédemment, que la résistance de Tair sur im plan est proportionnelle au produit de la sur&ce de ce plan par le carré de la projection normale de la vitesse, on a:

X = T:r*.cos* 8,

16. Résignée de Vair sur la surface d'une demi-sphèrcj dont Vaoce de figure fait un angle 8 avec la direction du mouvement. Soit BÂCO (fig. 4) la demi-sphère que Ton considère; soit i l'angle {vOX) que fait la direction de la yitesse v avec Taxe de figure.

Imaginant nn cylindre dont la génératrice soit parallèle à la direction de la vitesse et qui enveloppe la sphère, et traçant le grand cercle BFEG perpendiculairement à la direction de la vitesse v, on voit que la partie DvGOF de la demi -sphère est la seule soumise à l'action de la résistance de l'air.

Au lieu de chercher directement les valeurs de la résistance suivant les axes OX et OTj il est plus &cile de déterminer d'abord les résistances suivant l'axe OX^ parallèle à la direction de la vitesse, et suivant l'axe 07, perpendiculaire à la direction de la vitesse et situé dans le plan qui passe par l'axe de figure OX et par la direction de la vitesse Ov.

En déterminant les résistances, il ne îàxxt considérer que la partie DvCGF de la sur&ce, car c'est la seule soumise à l'action de la résistance de l'air, ou bien, pour plus de fiicilité, il &ut calculer séparément les résistances suivant les axes OX, et OZj sur la surfs^ce de la demi-sphère DvEO et sur la surface GEOF^ prendre la différence de ces résistances suivant chacun des axes et ensuite passer aux résistances suivant les axes OX et OT.

Représentons la résistance sur la demi-sphère BACO^ ou, ce qui est tout un, sur la partie DvGQy suivant les axes OX et OT par

k^v'Xetk^f^T,

et suivant les axes OX, et OT^ par

k^v'X, et h'^v'T,;

représentons les résistances sur la demi-sphère.. 2)t;£'â^ suivant les axes OX, et 07, par

k'^v'X'.etk^v'r,;

représentons les résistances sur la partie QEOF suivant les axes OX, et 07, par

Jfe9t;»X^, et&5t;2r,,

et désignons par r le rayon de la sphère.

L'élément de la surfiice mni!m'=idQ est ég;al à

ow X angle {mond) x Ôm x angle {mOm"). Mais Ôw = r,

om = Ôm" X sin (mOv) =^m x cos (A^ms) =s r cos X,

l'angle (mom!) :=dL et l'angle (wOm')=-dX.

Par suite

(îa = r'dL.cosXdX.

La résistance normale sur l'élément de de la sor&ce est proportionnelle à

da^cos^e,

et comme e = (NOv) = ^ — X ,

on a

da . cos^e = r^dL . sin^X . cosX . dk.

La projection de la résistance élémentaire sur Taxe OX^ est proportionnelle à

dd . cos'e . sinX =:r^dL. sin^X . cos X . dX,

et la projection de la résistance élémentaire sur l'axe OT^ est proportionnelle à

(îa.cos^6.cosX.cosX = ^'^cosLrfL.sin^X.cos^X.rfX:

Pour obtenir les valeurs de X\ et de Fj, il fiiut, après avoir multiplié par 2 les deux expressions précédentes, les intégrer depuis L = jusqu'à X = TC et depuis X = jusqu'à X = |. Pour avoir les valeurs de Z^ et de Jj', il faut, après avoir multiplié par 2 les mêmes expressions, les intégrer depuis L = jusqu'à X = ^et depuis X= jusqu'à X = jE?iS = Xi. L'arc HS = \ se déduit du triangle sphérique rectangle GHS par la formule

tang HS = sin GS. tang (HGS) ou

tang \ = cosL . tang 8.

Par suite

rî

cosLdL I sitf X.cos*XrfX = 0,

X; = 2r«pLfsin«

XcosX(fX,

I^ = 2r2 cos ZkiL Uin* X cos^ XrfX,

où \ est déterminé par la condition

tang Xj = cos L . tang 8 , et par conséquent

. ^ tangd.cosX ^^„ ^ 1

8m>.— ^ , 1. 1 cos A| = . ^ ^ u I ,

* yi-t-tang»d.coa»i' ^ yTTunpTTcoiVL'

^^ tang d . sin X ly

"^ — ~ l-*-taiig»*.coa*£ ' "^•

On sait que

|sinX.COSXrfX=— j— =i .(l^tang*a.co3«i)*'

fsin^Xcosn(îX = || sV2XrfX — I (1— cos4X)rfX

= |Xi — ^^^sin 4Xj = ^ Xi — 3^^ sin2Xi . cos 2X, =3 1 Xj — ^ sin Xj cos \ (cos ^ X^ — sin^ Xi)

I ^ I (1— tang* a.cos^ Z).tang ^.coa Z

— ¥^1 î' (l-^tang2d.co8*X)2

Substituant les valeurs de ces deux intégrales dans les expressions de i[ et T^, nous aurons

:=ir^ng*8jj

ço^LàL

-Htang*d,co8*i)*»

jVosZdi-jîlii!^

^ coB*X) tang à C08* L -tang*dco8*X)*

Xss TC Xs

sin £<{X,

(Xi sin L) — sin

I (tang^ 9 ces* X *- 1) tang d coa* L jj j J (l-»-tang«^co8«i)*

tang».giii*£ ^j^.

Il-*- tang* * cos* L

rî 1

I (1 "»- tang' ^ cos* X — 2) tang d . cos* L jt I

j (l-«-tang>d.C08>X)s

frî ri

1^ I tang a sin» X ^y , | tangdcos'X ^^

— i^\ I l^tang*aco8*X ^^•♦"J l-*-tangMco8*X^-^""

rt j tang d. cos* X ,j- ~^J(l-4-tang*d.co8*X)*^^

.Posant

tang* à . cos^ L

' J (1 -*- tang» a . coB* Jt)«

nous aurons

tang L = ay On sait que

':=i,»tag»|^îyL,-2Jly^^1.

f8-??TT:?=|.C08 8,

J (sec* d -»-#*)*" 55^ J (8ec«d-»-j«)*

Bec* a J sec* à H- g* Bec* d J 2 ' (sec* *-♦-«*)»

= |co8"8 — cos*8. ^.|cos8 = |co8'8;

(Bec* d^ji*)* <1 -H «*) ~ (sec* *-*- II*)* ^" sec* a -H #* ^^ 1 -♦. «*

cot* à cot* d cot* a

~ lBec*a^ir*)* Bec*a-f-«*"*"rTP»

= |cot* «( 2 — 3 cosa -+- cos^s).

Substituant ces intégrales dans les expressions de X^ et T^ nous aurons :

Xl=^'!zr^ (2 — 3cos8-HCOS^«),

r;' = ^7ur«.8in»«.

Les valeurs de X^ et T^ seront :

X, = X/ — X';; = |i:f^ (2 -H 3cos8 — cos»8) , r, = r/— r;=-|7ur\sin«8.

Passant des valeurs de X^ et T^ aux valeurs X et F, à l'aide des formules :

X= Xj . cos8 — r^ . sin8 , r= Xj . sin 8 -*- T^ .cos 8,

nous aurons pour la demi-sphère :

X=|iîr'(l-+-cos8)S r= ^ Tcf^ (1 -«- cos 8) sîn 8.

La direction de la résistance normale sur chaque élément de la surface de la demi-sphère passant par son centre , le centre de résistance de l'air sur la surface d'une demi-sphère coïncide avec le centre de la demi-sphère.

17. Résistance de Vair sur un prajp-dUe oblong dont Taxe de figure fait un angle donné 8 avec la direction du mouvement. Décomposons la surface d'un projectile oblong donné en surfaces pour lesquelles nous avons trouvé les expressions de X et de Z et calculons les valeurs de X et de T sous différents angles 8, pour chacune de ces surfaces. Les sommes de ces valeurs, prises séparément pour

chaqae angle 9, donneront les yaleurs de X et de F pour toute la sor&ee da projectile sous différents angles i, et nous aurons

9A = ft°X.t;»

PB=fc°r.t;^.

Si nous représentons par E le rayon de la partie cylindrique du projectile oblong, par X^ la valeur de X pour i^o, et si nous ap-

pelons X le coefficient constant ^ - ^ qui peut être déduit des résultats des expériences, nous aurons pour un projectile oblong la résistance suivant l'axe de figure et agissant dans le sens contraire à l'axe

et la résistance perpendiculaire à Taxe de figure, dans le plan passant par cet axe parallèlement à la direction du mouvement

Pb =X^7cjBV,

pB=fpA-

On a tracé sur la figure 5 les courbes des valeurs de ^ et de ^

pour les projectiles semblables à notre obus oblong de 4\ à chemise épaisse en plomb, en prenant pour abscisses les angles 8 et pour or-

données les valeurs de ^ et celles de :^ . La courbe de -^ fait voir que les valeurs de y- sont sensiblement égales à l'unité depuis 8=o

jusqu'à8=40°, et même sous rang]e8=80°, la valeur de ^=0,7 5.

On peut en conclure qu'il est permis de prendre les valeurs de la résistance de l'air que l'on obtiendrait sur les projectiles oblongs, avec diverses vitesses, dans le cas de 8 = o, pour les valeurs de la résistance suivant l'axe de figure sous tous les angles 8, qui dans la

plupart des cas de thr sont bien au-dessous de 40^ et sont moindres que 80° môme pour un tir courbe sous 45"^ avec les plus petites charges.

La résultante de la résistance de Tair sur un projectile oblong est

On tirera les angles {^^A') que fait la résultante de la résistance avec la direction contraire à Taxe de figure, de l'expression

tangM') = |.

Ces angles peuvent être plus grands ou plus petits que les angles B formés par l'axe de figure avec la direction du mouvement. Ainsi pour un cylindre dont la hauteur est 2% fois son diamètre, les angles {^jA') sont plus petits que les angles B pour toutes les valeurs de 3 de à 25°%; pour les projectiles formés d'un cylindre surmonté d'une demi-sphère dont la hauteur est 2% fois leur diamètre, les angles {^^A') sont plus grands que les angles 3 pour toutes les valeurs de 8 de à 8b^% Four les projectiles semblables à notre obus oblong de 4\ à chemise épaisse de plomb, la courbe des angles (p,^') est construite sur la figure 5 en prenant pour abscisses les angles i et pour ordonnées les angles (p,^0; Pour ces projectiles les angles {^^A^ sont plus grands que les angles 3 pour toutes les valeurs de 3 de à 83°.

On aura les angles (p^T*) que fait la résultante de la résistance avec la direction contraire à celle du mouvement, en retranchant les angles 3 des angles (p,-4'). La courbe des angles {^,T) pour les projectiles semblables à notre obus oblong de 4^ à chemise en plomb, est construite sur la figure 5, en prenant pour abscisses les angles 3 et pour ordonnées les angles i^yT). Four ces projectiles la direction contraire à celle du mouvement est comprise entre la direction contraire à l'axe de figure et la direction de la résultante de la résistance de l'air, pour tous les angles 3 de à 83°. La résultante de la ré-

sistanee s'éloigne de la direction contraire à celle da mouvement avec l'accroissement de l'angle S de jusqu'à environ 30^ et elle s'en rapproche avec les accroissements ultérieurs de l'angle S jusqu'à 3= 83^

18. Couple K de la résistance de Vair sur ur^ projectile oblong dont Taxe de figure fait un angle B avec la direction du mouvement. — Centre de résistance. Si l'on représente par d la distance du centre de résistance de l'air au centre de gravité du projectile — distance exprimée en rayons B du projectile — on aura, pour le couple de la résistance, l'expression

K=d.B.^^ = \^.d.T:IP.v' = k.j.d.B.Tv'.

Décomposons la surfiice du projectile donné en surfaces pour lesquelles on a déterminé y dans les n""' précédents , les expressions des distances des centres de résistance à leurs bases; calculons les distances des centres de résistance de ces sur&ces au centre de gravité du projectile; multiplions-les par les valeurs de T correspondantes à ces surfaces pour un angle donné S; &isons la somme algébrique de ces produits et divisons-la par la valeur de T correspondante au projectile entier pour l'angle donné i. Le quotient exprimera la distance d.Bàu centre de la résistance de l'air sur le projectile à son centre de gravité pour l'angle donné 8. On a construit sur la figure 5 la courbe de d pour les projectiles semblables à notre obus oblong de 4\ à chemise en plomb, en prenant pour abscisses les angles B et pour ordonnées les valeurs de d.

Pour des angles S très petits, le centre de résistance du projectile entier est fort près du centre de résistance de la partie antérieure conique ou ogivale du projectile. En effet la résistance perpendiculaire à l'axe de figure sur la partie cylindrique est proportionnelle (n° 14) à

sin' 8,

tandis que celle sur la partie conique, pour des angles i très petits, est proportionnelle (n° 12) à

sin 8 cos h.

Le rapport de ces deux résistances est proportionnel à

sin dcos d

sin'd

c'est-à-dire à une quantité fort grande toutes les fois que 8 est très petit. Il résulte de là que le centre de résistance du projectile entier est pour les très petites valeurs de 8, fort près du centre de résistance de la partie antérieure conique ou ogivale du projectile. Par suite, au commencement de la trajectoire, quand Tangle que fait l'axe de figure du projectile avec la direction de la vitesse ou, ce qui est tout un, avec la tangente à la trajectoire, est encore très petit, le centre de résistance se trouve en avant du centre de gravité. A mesure qu'augmente l'inclinaison de l'axe de figure sur la trajectoire, le centre de résistance s'approche du centre de gravité, et peut môme l'atteindre et passer de l'autre côté pour certaines formes de projectiles. Dans les projectiles semblableâ à notre obus oblong de 4\ à chemise en plomb, le centre de résistance, comme on le voit sur la figure 5, est, pour l'angle 8= 90°, situé encore un peu m avant du centre de gravité.

Le centre de résistance de l'air étant situé, dans tous les cas du tir, en avant du centre de gravité, et la résistance de l'air étant opposée au mouvement, le couple de la résistance de l'air tend à éloigner l'axe *de figure du projectile de la tangente à la trajectoire.

§ If.

EXPÉEIENCES SUE LA BÉSISTANCE DE l'aIE AU MOUVEMENT DES

PEOJECTILES.

19. Moyen de déterminer les valeurs de la résistance de Voir correspondantes à différentes vitesses des projectiles. Pour déterminer la valeur de la résistance correspondante à une certaine vitesse d'un projectile d'artillerie, on mesure la vitesse en deux points de sa trajectoire qui ne soient pas bien éloignés l'un de l'autre. Soit P le poids du projectile; 2R son diamètre; l la distance entre les deux

points; F la vitesse du projectile an premier point, c'est-àrdire à l'origine de la distance l] V la vitesse da projectile au second point, c'est-à-dire à la fin de la distance l; g l'accélération de la gravité. Noas aurons pour l'accroissement de la force vive du projectile

Les forces qui agissent sur le projectile sont la pesanteur et la résistance de l'air.

Les deux points où l'on mesure les deux vitesses du projectile étant choisis approximativement au même niveau, on peut négliger le travail de la pesanteur sur le chemin l.

Les vitesses F et F', à l'origine et à la fin du chemin assez court ly ne différant pas beaucoup l'une de l'autre, la résistance varie peu sur ce trajet, de manière qu'en nommant p la résistance moyenne de l'air agissant en sens contraire du mouvement, le travail de cette résistance sera sensiblement égal à

et nous aurons

d'où

La résistance de l'air étant proportionnelle à sa densité, qui varie suivant l'état de l'atmosphère, il &ut ramener les résistances observées à différentes époques à une mdme densité d'air IIj *). Si l'on appelle II la densité de l'air au moment de l'expérience, on aura pour la résistance de l'air à la densité IIi ,

*) Noas prendrons IIi r= l*, 206 qoi est le poids d'un mètre cabe d'air à la pression barométrique de 0",75, à la température 15^ du thermomètre centigrade) quand l'air est à moite saturé de rapeur.

et cette résistance peut Ôtre considérée comme se rapportant à la vitesse moyenne

En mesurant les vitesses d'un projectile en deux points de sa trajectoire et en tirant avec des charges différentes, nous obtiendrons les valeurs de la résistance de Tair correspondantes à diverses vitesses.

Pour pouvoir comparer les résultats obtenus avec des projectiles de différents calibres, nous rapporterons les valeurs de la résistance à l'unité de la sur&ce de la plus grande section transversale du projectile; et pour augmenter, dans la recherche des expressions de la résistance, l'importance des résultats qui se rapportent aux moyennes et aux faibles vitesses avec lesquelles les projectiles se meuvent sur la plus grande partie de leur trajet, si celui-ci n'est pas trop court, nous prendrons les rapports des valeurs de la résistance aux carrés des vitesses correspondantes. En posant

nous aurons

Les valeurs de 9' ainsi obtenues pour diverses vitesses serviront à déterminer les expressions de la résistance de l'air. Si, au lieu de supposer la résistance constante sur le trajet 2, on recalculait les valeurs de ^' d'après les vitesses observées au moyen des expressions trouvées de la résistance, on obtiendrait des valeurs qui ne différeraient des premières, dans le cas le plus dé&vorable, que d'un millième de leur grandeur, et on aurait une preuve qu'on peut calculer, sans erreur sensible, les coefficients 9', en admettant une résistance constante sur le trajet assez court du projectile entre les deux points où l'on a mesuré les deux vitesses.

On peut mesurer, au moyen des appareils électro-balistiques, les vitesses d'un môme projectile en deux points de sa trajectoire. Au moyen du pendule balistique on ne peut déterminer la vitesse d'un

même projectile qu'à une seule distance de la bouche à feu; par suite, lorsqu'on emploie le pendule balistique pour les expériences sur la résistance de l'air, on est obligé de tirer contre le pendule de deux distances différentes avec des projectiles et des charges de poids et ie diamètres égaux, et de prendre les vitesses moyennes déduites à chacune de ces distances pour les vitesses d'un même projectile en deux points de sa trajectoire.

20. Edcpériences de Robins. Les expériences exécutées par Robins en Angleterre, et décrites dans ses principes d'artillerie de 1742, consistaient dans la mesure de la vitesse des balles sphériques tirées d'un fusil contre un pendule, à différentes distances, avec des charges différentes. Les résultats de ces expériences ont fait voir que la résistance de l'air croît plus rapidement que le carré de la vitesse, et ont conduit Euler à exprimer la résistance de l'air par un binôme, dont le premier terme est proportionnel à la seconde puissance de la vitesse et le second à la quatrième puissance de cette vitesse *).

21. Expériences de Hutton, Les expériences de Hutton ont été exécutées à Wolwich de 1787 à 1791. Hutton a tiré des canons de l\ 3* et 6^ contre un pendule balistique à des distances qui ont varié de 10" à 130", et il a observé des vitesses qui ont varié depuis 100°-' jusqu'au-delà de 600™='. Il résulte des valeurs de la résistance qu'il a obtenues, que la résistance, étant approximativement proportionnelle aux carrés des diamètres des projectiles, croit plus rapidement que le carré de la vitesse, depuis les faibles vitesses jusqu'à celle d'environ 440"-", et qu'elle croît approximativement comme le carré de la vitesse depuis celle de 440™=" jusqu'à celle de 600"='. Le général Didion remarque que l'accroissement moins rapide de la résistance à de très grandes vitesses pouvait avoir été obtenu à l'occasion d'un nombre de coups trop restreint et du rejet des résultats qui paraissaient douteux à Hutton.

22. Expériences de Metz de 1839 et 1840. Ces expériences ont été faites par une commission composée de Mm. Piobert, Morin et

*) Nouveaax principes d'arUllerie de Robins, commentés par Euler, traduits par Lombard. 1783. Page 865.

Didîon àyec des boulets sphériques d6 24, de 12, de 8 et des obus sphériques de 22% au moyen d'un pendule balistique sur lequel on tirait, dans une même séance, de deux des distances suivantes: 15, 40, 65, 90 et 115 mètres., de manière que l'on déterminait la vitesse des projectiles en des points distants l'un de l'autre de 25, 50, 75 et 100 mètres. Les vitesses variaient dans les limites de 200 à 650 mètres. On tirait à chaque distance, avec la même charge, de 3 à 6 coups et on prenait la vitesse moyenne déduite de ces coups. On a réuni les expériences des canons de 12 et de 24, comme les plus nombreuses, et on les a partagées en trois groupes, d'après les valeurs croissantes des vitesses t;. On a obtenu ainsi les valeurs moyennes suivantes de v et de ^' pour chaque groupe:

Vitesses v 337"^'22, 428°=^81 , 535^45

Coefficients p' 0,0479 , 0,0535 , 0,0616 .

Si l'on construit ces résultats en prenant les vitesses pour abscisses et les valeurs de p' pour ordonnées, on obtient trois points situés sensiblement sur une même droite; le dernier point est un peu audessds de la droite tracée par les deux autres.

Le général Didion a exprimé ces résultats par l'équation d'une droite

p' ^0,027(1 H- jI,)

et le comte de Saint-Robert, de l'artillerie sarde, par l'équation d'une courbe parabolique *)

OÙ le mètre et le kilogramme sont pris pour unités.

Ainsi, d'après les résultats des expériences de Metz, faites en 1839 et 1840, la résistance de l'air sur les projectiles sphériques, à la densité de l'air II , peut être exprimée:

*) Comte de Saint-Robert. Da mouyement des projectUes dans les milieux résistants. 1869.

d*après M. Didion par la formule

où ofVî = 0,027 et r = 435, le mètre et le kilogramme étant pris pour unités;

et d'après le comte de Saint-Robert par la formule

^ = ^Kl!^^/{l^^),

où <A) = 0,0387 et r = 696, le mètre et le kilogramme étant pris pour unités.

Les expériences sur la résistance de l'air au moyen du pendule balistique ne permettant de mesurer la vitesse d'un même projectile qu'en un seul point de sa trajectoire, il fallait, comme nous l'avons remarqué (n^ 20), prendre comme appartenant au même projectile en deux points de son trajet les vitesses moyennes déduites du tir avec des projectiles difl^rents. Cette circonstance ne pouvait pas être sans influence sur les résultats des expériences, et les expressions de la résistance qu'on en a déduites, lorsqu'on les applique à la résolution des questions de la balistique, donnent des résultats conformes à ceux que l'on obtient dans le tir immédiat, lorsque les distances du tir ne sont pas grandes; les portées avec de fortes charges et sous de grands angles de projection^ calculées d'après ces expressions de la résistance, sont de beaucoup au-dessous de la réalité.

23. Expériences de Metz de 1856, 1857 et 1858. Les doutes . soulevés par les résultats des expériences au moyen du pendule balistique ont engagé le comité d'artillerie de France à proposer de faire de nouvelles expériences au moyen de deux pendules électro-balistiques de M. Navez qui permettent de mesurer les vitesses d'un même projectile en deux points de sa trajectoire. Le tir a eu lieu avec des projectiles sphériques de canons de 8^ et de 24^ et d'obusier de 22*-, et les vitesses ont varié de 190"-' à 560"-'. Avec chaque charge, il n'a pas été tiré moins de 20 coups; on a calculé pour chacune des vitesses moyennes obtenues à chaque coup la valeur du coefficient ^',

et on a déduit la valeur moyenne de p' correspondante à la vitesse moyenne de tous les coups tirés avec les charges de même poids. L'intervalle entre les deux points de la trajectoire auxquels correspondaient les vitesses mesurées était compris dans les limitas de 50 à 100 mètres; la différence des vitesses pour un même trajet l croissant avec la vitesse du projectile, on a choisi les plus petits intervalles pour le tir avec de fortes charges, et les plus grands pour le tir avec de faibles charges.

Les résultats obtenus et ramenés à la densité de l'air IIi sont résumés dans la tableau suivant:

Bouches à feu.

Vitesses

Valeurs de

Bouches à feu.

Vitesses

Valeurs de P'

Ob. de 22^

Ob. de 22'

in:s

Can.de S]

Can. de 24*

Can.de 24^

Can.de 8*

Can. de 24*

Can.de 24*

Ob. de22''

Can. de 24*

Can.de 24*

Ob. de 22''

Can.de 24*

Ces résultats sont construits sur la figure 6, en prenant les vitesses pour abscisses et les valeurs de ?' pour ordonnées. Ils font voir que la résistance qui correspond à la vitesse de 320"'' est sensiblement égale à la résistance obtenue par les expériences antérieures de Metz; mais avec la diminution des vitesses les résistances décroissent, et avec l'accroissement des vitesses jusqu'à celle de 400"*' les résistances croissent plus rapidement que cela ne résulte des expressions de la résistance obtenues des expériences antérieures de Metz. A partir de la vitesse de 400"*'" jusqu'aux plus grandes; les résistances croissent moins rapidement que cela n'a lieu depuis les faibles vitesses jusqu'à celle de 400°*'".

La commission qui a &it ces expériences, sous la présidence du colonel Virlet, a exprimé la relation entre les valeurs obtenues de p' et les vitesses correspondantes par une droite (fig. 6) dont l'équation est

Ainsi, d'après les résultats des expériences de Metz de 1856, 1857 et 1858, la résistance de l'air sur les projectiles sphériques, à la densité de l'air II, pent être exprimée par la formule

oùofl)=0,000l42, le mètre et le kilo^amme étant pris pour unités.

24. Expériences de S^-Pétersbourg de 1868 et 1869. Quelques irrégularités observées dans la marche des premiers appareils électrobalistiques de M. Navez employés dans les expériences de Metz ont motivé la répétition en 1868, dans notre artillerie, des expériences sur la résistance de l'air au mouvement des projectiles sphériques, et en 1 869 on a exécuté, d'après la décision de l'adjoint du Grand-Maître de l'artillerie, des expériences sur la résistance de l'air au mouvement des projectiles oblongs. Les résistances ont été déterminées d'après les vitesses du projectile en deux points de sa trajectoire, et ces vitesses ont été appréciées au moyen de deux chronographes de M. Le-Boulengé. Les durées mesurées par les cbronographes pour obtenir les vitesses étaient dans les limites de O'IO à 0'15.

Les expériences sur la résistance de l'air au mouvement des projectiles sphériques ont été faites avec des canons de 6^ et de 24^ et un canon à bombes de 120\ dans les limites des vitesses de 527"*" à 227''''. Les résistances obtenues à de plus faibles vitesses étaient trop variées pour qu'on pût en profiter. Avec chaque charge, il n'a pas été tiré moins de 8 coups; on a calculé pour chacune des vitesses moyennes obtenues à chaque coup la valeur de p', et on a déduit la valeur moyenne de 9' correspondante à la vitesse moyenne de tous les coups tirés avec la charge de même poids. L'intervalle entre les deux points de la trajectoire auxquels correspondaient les vitesses mesurées était compris entre les limites de 50 à 150 mètres; les plus petits intervalles étaient choisis pour le tir avec de fortes charges et correspondaient aux plus grandes pertes de vitesse, qui atteignaient la valeur de 40"''; les plus grands intervalles étaient choisis pour le tir avec de faibles charges et correspondaient aux plus petites pertes de vitesse, qui atteignaient la valeur de lO"*".

Les expériences sur la résistance de Tair au mouvement des projectiles oblongs ont été faites avec des canons rayés de 4^ *)» 1 2\ 24^ et celui de 203°"""'. Les projectiles étaient en fonte, modèles en usage, à chemise épaisse de plomb. Les vitesses ont*!rarié de 409"-* à 172"='. Avec chaque charge on n'a pas tiré moins de 8 coups. L'intervalle entre les deux points de la trajectoire auxquels correspondaient les vitesses mesurées était compris entre les limites de 1 50 à 234 mètres; sur un trajet pareil Taxe de figure des projectiles s'éloigne peu de l'inclinaison de la trajectoire, de manière que l'on peut considérer les résistances déduites des expériences comme se rapportant au cas où Taxe de figure des projectiles oblongs coïncide avec la direction du mouvement. En tirant avec de fortes charges la perte de vitesse atteignait 30"°''; la plus petite perte de vitesse obtenue avec la plus faible charge du canon de plus fort calibre de 203™* était de 27*5 pour l'intervalle de 234 mètres entre les points auxquels correspondaient les vitesses mesurées. Le tir des canons de 229"^* et de 279""a été défendu, parce que le second projectile tiré dans ces expériences avec le canon de 229""'- est allé se loger, après plusieurs ricochets, au cimetière qui se trouve aux environs de la plaine d'épreuves. Aussi pour compléter les données se rapportant aux projectiles de forts calibres nous avons profité des tableaux des vitesses décroissantes **) déduites par M. Bashforth de ses expériences faites en 1868 au moyen de son chronogràphe; ces tableaux comprennent les vitesses de 518"' à 283" ' qui correspondent aux trajets de 305 en 305 mètres des projectiles oblongs de 178""*, 203""* et 229""*, et qui sont obtenues pour le cas où le mouvement des projectiles peut être considéré comme rectiligne. Nous avons calculé d'après les résultats insérés dans ces tableaux les valeurs de la résistance correspondantes à différentes vitesses.

Le résultats obtenus et réduits pour nos expériences à la densité de l'air II|= 1^', 206 sont résumés dans les deux tableaux suivants.

*) On a tiré avec deux canons de 4*: Tun en. usage actuellement dansTartillerîe de campagne et l'autre lourd, qui permet le tir à fortes charges. **) Proceedings of the Royal Artillery Institution, Wolwich. 1868.

Projectiles sphériques.

Bouches à feu.

Vitesses

Valeurs de P'

Bouches é feu.

Vitesses

Veleurs de ■ P'

Can. de 6^

Can. de 24^

880in:>

Can. de 24^

Can. de 6^