ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT
32. Équations différentielles du mouvement. Un projectile qui se meut dans l'air est soumis à l'action de deux forces, celle de la pesanteur et celle de la résistance de l'air. En vertu d'un théorème connu que le centre de gravité d'un corps se meut comme si toute la masse y était concentrée, et toutes les forces extérieures appliquées en ce même centre, chacune suivant sa direction, on peut considérer le mouvement de translation d'un projectile comme celui d'un point matériel de masse égale, auquel seraient appliquées les forces de la pesanteur et de la résistance de l'air.
On peut prendre, sans erreur sensible, le poids du projectile dans l'air comme égal à son poids P dans le vide, et l'accélération de la gravité dans l'air comme égale à l'accélération de la gravité g dans le vide.
Quand le projectile est une sphère homogène ou composée de couches concentriques homogènes, et qu'on ne lui a imprimé aucune rotation au sortir de la bouche à feu, la résultante de la résistance de l'air est constamment tangente à la courbe décrite par le centre de gravité et est dirigée dans le sens contraire de la vitesse.
Nous ne considérerons ici que ce cas et, en représentant par 9 la résistance de l'air, l'accélération de la résistance sera égale à p | .
La courbe décrite par le projectile est plane. En effet, &isons passer un plan vertical par un élément quelconque de la courbe; les forces (le poids et la résistance), en yertu desquelles le centre de gravité du projectile décrira l'élément suivant, agissent dans ce plan, et il en résulte que cet élément y sera également compris. Appliquant le même raisonnement à tous les éléments consécutifs de la trajectoire, on trouve qu'elle est tout entière dans le môme plan vertical, et que, par conséquent, il suffit, pour déterminer le mouvement du centre de gravité du projectile, d'avoir les projections des accélérations sur deux directions.
Soit Taxe des x horizontal et Taxe des y vertical dirigé dans le sens contraire à la pesanteur. Projetons les accélérations sur l'axe des X et sur la normale intérieure à la trajectoire, et appelons v la vitesse du projectile en un point quelconque de la trajectoire, t le temps que met le projectile à parcourir le trajet de l'origine à ce point, 7 le rayon de courbure et â l'angle que fait avec Taxe des x la tangente à la trajectoire en ce point.
On aura pour les projections des accélérations sur Taxe des x et sur la normale intérieure les expressions
(1) ^^'-^ = -çJcos^,
(2) Yi/costf.
Comme la force de la résistance ralentit le mouvement du projectile suivant la tangente à la trajectoire et que la force de la pesanteur, agissant de haut en bas, abaisse le projectile, la trajectoire présente sa concavité à l'horizon et l'angle que &it la tangente à la trajectoire avec l'horizon reçoit constamment des accroissements négatifs, de sorte qu'en désignant par ds l'élément de l'arc de la courbe, nous aurons pour le rayon de courbure l'expression
da dt
En la substituant dans l'équation (2), on aura (3) e;~ = — 5C08 6^.
Les équations (1) et (3) définissent complètement le mouvement du centre de gravité du projectile.
En représentant par i;, la projection horizontale de la vitesse» c'est-à-dire en posant
les équations (1) et (3) deviendront
(4) ^ = -PpCOstf,
(5) v,^^ = —gG0s^O.
Eliminant dt entre elles, nous aurons
^"^ de ~ Pcose'
L'équation (6) donne
et comme
ds = vdt = ^dty dx — v^dt, dy=zvsmâdt = v^^^dty on a (8) ds = — \^-^,
(9) rf:r= — iv*-^,
Pour déterminer toutes les circonstances du mouvement d'un projectile d'après une equression donnée de la résistance ^ de l'air
en fonction de la vitesse, il faut premièrement intégrer l'équatiou diffiSrentielle (6) du premier ordre entre les deux variables t^^ et ^, ce qui donnera l'expression de la vitesse horizontale v^ en fonction de l'angle 0. Fuis en mettant l'expression de Vi en fonction de â dans les formules (7), (8), (9) et (10), l'intégration de ces formules différentielles du premier ordre à une seule variable donnera les expressions de t^ Sy X eiy en fonction de â, et en éliminant â entre l'expression de X et celle de y on obtiendra l'équation de la trajectoire.
L'intégration de l'équation différentielle (6) ne peut être effectuée qœ pour certaiiieB expressions de la résistance 9 en fonction de la vitesse v.
33. Déterminer la loi de la résistance d'après la trajectoire que décrit le projectile. Cette question inverse à la précédente est beaucoup plus ample au point de vue analytique, car sa solution se réduit uniquement à la différentiation.
Soit la trajectoire donnée par une équation de 2^ en fonction de x; on demande à déterminer la vitesse v et la résistance p en fonction de x.
Représentons par y', /, y'" la première, la seconde et la troisième dérivée de y par rapport à x.
Pour trouver la vitesse v, rwawirquons que
tang 0=:t/.
Différentiant œtte expressiw, on a de »,
En substituant à (k sa valeur (éq. 9, fi° 32) on trouve
où y — y" est une quantité réelle, car la trajectoire tournant sa concavité vers l'horizon, la dérivée y" est toujours négative.
Comme t? = -^ =v, Vl -h tang* (9 = v. Vl-*-^^ on tire de la dernière équation
Pour trouver la résistance p, prenons Téquation (6), n^ 32
de p ' C089
et substituons dans cette équation la valeur de dv^ que Ton obtient
en différentiant l'expression v^ = \/zz7'î 1* différentielle de cette
expression est
et elle devient après la substitution k dxà<à son expression (9) n'^32y
1 vî^ ^"
en mettant cette expression ainsi que celle de v^ = l/z^ ^* ^^^ de cos tf = -7== dans l'équation (6), n° 100, on aura
P=2- Sr^^
DISCUSSION DE LA TRAJECTOIRE DANS l'aIR d'uN PROJECTILE SPHÉRIQUE QUI n'a PAS DE ROTATION.
34. Propriétés de la résistance de Vair prises pour hases dans la discussion de la trajectoire. La nature de la trajectoire dépend de la loi de la résistance du milieu. On peut cependant discuter la trajectoire dans l'air d'un projectile sphérique qui n'a pas de rotation, sans adopter d'hypothèse spéciale sur la résistance de l'air, en admettant seulement qu'elle croît avec la vitesse, qu'elle devient infinie pour t; = co et qu'elle est moindre que le poids du projectile pour une vitesse infiniment petite. D'après ces propriétés de la résistance de l'air, en posant
i = fiv),
on a
f (») > 0, /• (oo) = oo et /•(<)) < 1 .
35. Variation de la vitesse. La âérivée de la yitesse par rapport au temps ^ est %ale à la somme des projections sur la tangente des accélérations de la pesanteur et de la résistance de l'air, c'est-à-dire
(1) S = -i7[At^)H-sin6/].
Dans la branche ascendante de la trajection où l'angle ^ et sin ^ sont constamment positif, la dérivée^ est négative, de manière que
dans cette branche v et t varient en sens opposé, c'est-à-dire qu'avec l'accroissement du temps t la vitesse v décroit. Fartant donc d'un point quelconque situé sur la branche ascendante la vitesse décroît jusqu'au sommet de la trajectoire, à mesure que le temps augmente. Dans la branche descendante, dans laquelle l'angle â et sin â sont toujours négatifs, la dérivée ■£ conserve son signe négatif à partir du sommet de la trajectoire jusqu'au point où la vitesse v prend la valeur v qui satisfait à l'équation
(2) /•(«;') -4- sintf = o.
Par suite, dans la branche descendante, la vitesse continue de décroître depuis le sommet de la trajectoire jusqu'au point mentionné. En ce point l'expression (1), à cause de l'équation (2), se réduit à
(3) •Tt = o.
L'équation (1) donne
et en mettant au lieu de^sa valeur de l'équation (3), n^ 32, on a
Au point où la yitesse v' satis&it à réquâtion (2) et par suite à la condition (3): ^ = o, on aura
et comme la vitesse v\ ainsi que nous allons le démontrer, ne peut être ni nulle, ni négative, la dernière expression est tom'ours positive.
Par conséquent au point mentionné la vitesse atteint sa valeur minima v'.
Pour démontrer que la vitesse v' ne peut être ni nulle, ni négative, prenons l'équation (6), n° 32
et mettons-la sous la forme
à (r cos e) /. r X àB
« C08 ' ^^ cos B •
En intégrant cette expression de t;=t;o jusqu'à v et de tf = ^^^ jusqu'à d, on obtient
^ Vq cos ©0 J ' C08 Q
de On sait par le calcul intégral que si dans l'intégrale définie
les fonctions cp (x) et f (x) sont continues entre les limites de x^ et X et que la fonction f (x) ne change pas de signe entre ces limites, on a
\9ix)'fix)dx = K\fix)dx,
où K est une certaine valeur de la fonction 9 (x) moyenne entre toutes celles qu'elle prend entre les limites de l'intégration, et £ a une grandeur finie, différente de zéro, toutes les fois que la fonction 9 {x) ne devient pas infinie et ne passe pas par zéro dans les limites de l'intégration.
En désignant par J^one certaine valeur moyenne de la fonction f{v) entre les limites Ô^îX 6^ nous aurons
log
vcosd Vq cos ©0
==Mï5r5»
OU
vco%e
d'où l'on tire
*^ ^^& T^ ST = l^S i^ TT '
cose
OQ
j, r cos<?o.tang(|-*-|) 1^ co8<9o.taiig(|-f-|)J'
et comme
'«"s(f-|) = T^,= ta«(7-?) = î
•aittôo'
on a
En prenant pour la limite 0^ une valeur telle que la vitesse v^ qui lui correspond soit très voisine de zéro, la valeur de K sera positive et moindre que Tunité.
Si la vitesse v pouvait devenir nulle, l'angle devrait atteindre une valeur réelle capable d'annuler le second membre de l'équation précédente; mais K étant plus petit que l'imité, il n'existe pas de telle valeur de 0^ et par suite la vitesse v ne peut pas devenir nulle. Elle ne peut pas non plus être négative, car, pour le devenir, elle devrait passer par zéro.
Par conséquent la valeur de la vitesse v' qui réduit la dérivée ^ à zéro est nécessairement plus grande que zéro.
A partir du point où la vitesse est v, la dérivée ^ devient positive, et la vitesse croît avec le temps, jusqu'à ce qu'elle atteigne une nouvelle valeur t;* qui satisfait à l'équation
(4) f{v')-A-^mâ' = o.
La valeur v" n'est pas un maximum proprement dit, puisque, s'il en était ainsi, la vitesse devrait recommencer à décroître à partir de v"j ce qui exigerait que ^devînt négative; mais ^ conserve constamment une valeur positive, et quand elle s'annule {^ pour â= — |V toutes les autres dérivées de v par rapport à t s'annulent aussi.
Par conséquent t;^est une limite vers laquelle converge la vitesse, dans la branche descendante, à mesure que le temps croît.
Donc: dans la branche descendante de la trajectoire la vitesse a une valeur minima au point où
/*(«;') -I- sin 0' = o,
et à partir de ce point la vitesse croit constamment dans le sens du mouvement, en s'approchant de la limite définie par l'équation
/•(!;")-+- sin 6"= 0.
36. Limite de V inclinaison de la trajectoire dans la branche descendante. Limite de la vitesse. L'une des deux forces qui agissent sur le projectile: la résistance, ralentissant le mouvement suivant la tangente, et l'autre: la pesanteur, abaissant constamment cette tangente, l'angle 6 diminue, à mesure que le temps croît. Cherchons la limite de l'angle â dans la branche descendante de la trajectoire. La dérivée de l'angle â par rapport à t est exprimée par l'équation (3), n° 32, d'où l'on tire
dt=-^.-^.
g'coBO
En intégrant cette expression à partir d'un point quelconque pris pour origine, où d = 9 et < = o, on a
^ J cose
La vitesse v entre les limites de < = 0, jusqu'à t = oo, comme nous l'avons démontré, est finie et ne peut pas devenir nulle; par suite
tang(^-4-|) tang(^-*-^)
OÙ K' est une certaine valeur moyenne entre toutes celles que prend la vitesse v dans les limites de l'intégration.
Cette équation fait voir que pour < = cx> , on doit avoir
En mettant cette valeur dans l'équation (4), n^ 104, on voit que la limite vers laquelle tend la vitesse dans la branche descendante est définie par l'équation
et Ton devait s'y attendre, car cette équation mise sous la forme p — 1 = 0, ou p = P fait voir que la vitesse, après avoir atteint sa valeur minima, tend dans la suite du mouvement vers la valeur où la résistance de l'air est égale au poids du projectile.
La vitesse des projectiles dans la branche descendante à partir de sa valeur minima jusqu'à sa valeur limite est toigours plus petite que 376°"''. Par conséquent pour déterminer la vitesse limite du projectile il faut prendre (n° 28) l'expression suivante de la résistance de l'air
p = A7ci?°t;«(lH-S),
ow<A! = 0,012,r=186"=\
Posant
2Ar.IPg
et prenant II =
= tlj , on a
La vitesse limite s'obtiendra de réquation
2pcL*
et l'on aura
On a inséré dans le tableau suivant les limites des vitesses que peuvent acquérir nos projeetiles sphériques par leur chute dans rair.
Projectiles sphériques.
Pu
Vitesse limite II
de chute dans 1
l'air f?" Il
Projectiles sphériques
os
Vitesse limite
de chute dans
rair t"
2ir'
sa
37. Dmée. L« temps que met I« projectile à parcourir le trajet do point où ^= 9 et t;= F, jusqu'au point où l'angle d'inclinaison «st 6 et la vitesse v est déterminé par l'équation (5), n° 36
gt=K'h^
où K' est une certaine valeur finie, moyenne entre toutes celles que prend la vitesse v dans les limites de l'intégration.
Pour trouver le temps que met le projectile à parcourir le trajet du point de départ jusqu'au point où la vitesse atteint sa valeur minima, il &ut déterminer la valeur de l'angle 0' qui correspond à la vitesse minima v.
L'intégration de l'équation différentielle (6), n° 32
âe cosd
donnant v en fonction de ^, on pourra à l'aide de l'équation
trouver la valeur de 6 qui correspond à la vitesse minima v.
On peut intégrer l'équation différentielle (6) n° 100, quand la résistance de l'air est exprimée par un terme proportionnel à une puissance quelconque de la vitesse. Admettons
et supposons n un nombre entier.
Posant
nous aurons
oft)ici?'
P — f («^) — Ifeti — jfefico9«e •
Mettant cette expression dans l'équation (6), n^ 32, et intégrant de F jusqu'à t; et de 9 jusqu'à 6 y on a
^ [nF^^côsn^ -^Jc-^^ej ^^s"^'
e où
dans le cas de n pair
f de Bine r 1 n— 1 1
