n-1) 1 -| 1.3...(n— 2)'co8eJ

Mettant la yaleur trouvée de ^ au lieu de f{v) dans l'équation /•(t;)-4-siné? = 0,

on obtient

de 1 *«

cos**"*"* e n sin e cos** 6 nF** cos** 9 '

ou, dans le cas de n pair

^ r/l ^-^ Qin2/9\JL__lZlË sin^g iïiïd L \ n- 2 • ^"^ ^; co8«-»e » - 4 • co8«-*e

n6in<

3.5...(n-l) sin^e -] 1 .8... (n-1) , '^"^ 1 4 ""*" 2/ Jk^ 2.4...(n— 2)*cos2eJ 2.4... n ^+«««/î. i;\ «F'^cos^ç

sinjp r 1 n-1 1 8.5,,. (n~l) 1 H

■*" n Lcos^v"**» — 2* coB»-»^"*' • • • "*'2.4...(n-2)' C0B«<pJ>

et dans le cas de n impair

ifc?[(l-^8in«/9)^5j^

n — 3 sin* 6

nsïne \\ n — 2 / cos^— «ô n — 4 ' co8**~-*e

2,4... (n~l) Bîn^e

(n~l) Bîn'e n (n~2)* co8©J

___*!L |!ÎB?r-J |5zi 1 2.4... (n-l) 1 1

nF»»co8*»<p n Lco8*»9 «— a'cos»-*^ *•' 1.3...(n— 2)'cos9j*

Les deux dernières équations ne peuvent être autrement satisfaites que par une valeur négative de ^; et Ton devait s'y attendre, car on sait que le point où la vitesse atteint son minimum est situé dans la branche descendante de Yà trajectoire. En changeant donc ^ en — ^ dans le premier membre de chacune de ces deux équations et

puis en posant ô=o et ^= |on voit que, dans le premier cas, le premier membre de chacune de ces équations se réduit à -hod et dans le second cas à — cxd, de manière que l'angle qui satisfait à ces équations et qui correspond à la vitesse minima est nécessairement plus grand que — |, toutes les fois que l'angle de projection est plus petit que I et est plus grand que — |.

Le temps qui est nécessaire pour que la vitesse devienne un minimum est toujours fini. En effet, l'angle d'inclinaison — ^ qui correspond au minimum de la vitesse étant toigours plus grand que — | , l'équation (5), n^ 36 &it voir que le temps nécessaire, pour que la vitesse devienne un minimum, est toujours fini.

Le temps nécessaire pour que la vitesse atteigne une valeur constante, est infini. En effet, la vitesse atteint une valeur constante, quand ^ = — |, et dans ce cas l'équation (5), n° 36 feit voir que le temps est infini.

38. Longueur de Varc. La longueur de l'arc qui correspond à la vitesse minima v s'obtient (éq. 8, n® 32) de l'expression

où K' est une certaine valear ânie moyenne entre tontes celles que

prend v^ dans les limites de l'intégration, et le log ^ — ^

tang(J---)

ayant une valeur finie, l'arc qui correspond à la vitesse minima

est fini.

L'arc qui correspond à la vitesse limite v" est donné (éq. 8, n*^ 32)

par l'expression

OÙ K'' est une certaine valeur finie moyenne entre toutes celles que

tang(J^I) prend v' dans les limites de l'intégration, et le log jjj— g

étant égal à oo, l'arc qui correspond à la vitesse limite est infini,

39. Asymptote de la branche descendante. On a tu {n° 86) que la tangente extrême de la branche descendante est verticale; démontrons qu'elle est située à une distance finie du point de départ, ou en d'autres termes que la branche descendante de la trajectoire a une asymptote.

La distance au point de départ du point de l'intersection de la tangente extrême avec l'abscisse des x est déterminée (éq. 9, 32) par l'expression

^z:=— ït/'dâz^ iv^dâ.

La valeur de ir^ étant toiyours finie entre les limites de l'intégration, ainsi que celle de l'intégrale ^^ = 9-*- |, la valeur de x

est finie. Donc la branche descendante a une asymptote verticale.

40. Hayon de courbure. On a pour l'expression du rayon de courbure (éq. 2, n^ 32)

qui fait voir que le rayon de courbure va en diminuant jusqu'au sommet de la trajectoire, c'est-à-dire tant que v et ^—^ décroissent.

Au-delà du sommet v décroît encore, mais -^ croit: on ne

peut donc à la simple inspection décider, si y continue de décroître. Pour le reconnaître prenons la première dérivée de y W rapport à â et examinons son signe. On a

dy 2v 1 ^ .^. Çi^ sin 6 de 'g^' cose' de g C03* e

L'équation (6), n"" 32 donne

en substituant cette valeur dans l'expression de ^|, il vient

Cette expression fait voir qu'au-delà du sommet la dérivée j^est positive et que par suite 7 continue de décroître, mais seulement jusqu'au point où â satisfait à l'équation

2/(î;)-4-3sin6^ = 0.

En œ point ta seconde dérivée

S=ïsk[l«'Af)r(f)-^8«>8«d]

est positive, et par suite le rayon de courbure atteint en ce point sa valeur minima et va ensuite en croissant jusqu'à l'infini.

La valeur de ^ au point où le rayon de courbure est un minimum, par suite de la condition 2f (v) -f- 3 sin ^ = 0, se réduit à

L'angle â étant négatif dans la branche descendante, cette valeur de ^ est positive; donc au point où la courbure est maxima,

V décroît avec â, c'est-à-dire que la vitesse n'atteint pas encore son minimum.

Par conséquent le point correspondant à la courbure màxima est plus voisin du sommet que le point où la vitesse est minima.

4:1. La vitesse et le rayon de courbure, pour des inclinaisons de la trajectoire égales^ mais de signes contraires, sont ^lus grands dans la branche ascendante que dans la branche descendante. En effet, l'équation (6), n° 32

dl vcosO) /./ V

&it voir que la vitesse horizontale v cos diminue avec l'angle ^, c'est-à-dire qu'elle va en diminuant du point de départ jusqu'au point de chute; donc pour la même valeur de cos â, la vitesse v est plus grande dans la branche ascendante que dans la branche descendante.

On arrive à la même conclusion pour le rayon de courbure, en examinant l'expression

* ^ ' cos ô •

42. I! angle de chute 0^ sur un, terrain situé au même niveau que la bouche à feu est plus grand que Vangle de projection 9. Prenons la valeur de y donnée par l'équation (1 0), n° 32

gy = — f v* tang â dO.

L'ordonnée y étant égale à zéro au point de départ et an point de chute, on a

d'où

ou, en remarquant que l'angle est négatif dans la branche descendante et mettant — ^ au lieu de dans l'intégrale J t;* tang 6d0

on aura

f v^im^OdO = f tr^ tang dû.

La vitesse, pour des inclinaisons égales, mais de signes contraires, étant (n^ 41) plus petite dans la branche descendante que dans la branche ascendante, la fonction sous le signe de la seconde intégrale est plus petite que celle sous le signe de la première intégrale; pour que ces deux intégrales soient égales il faut que â^ soit plus grand que op. Donc Tangle de chute est plus grand que l'angle de projection.

43.2^ vitesse au point de chute^ celui-ci étant situé au même niveau que la bouche à feu, est plus petite que la vitesse au point de départ. Si dans l'équation (1), n° 35

g = -5[/^(t')-*-sin^]

on met— à la place de dt, et si l'on remarque que sin .ds^^dy, on obtient

vdv = — gf{v) ds — gdy.

Intégrant à partir de' e; = F, s = o, y = o, on a

v^=V'—2g\f{v)ds — 2gy.

En nommant V la vitesse de chute, s' la longueur de Tare de la trajectoire entre le point de départ et le point de chute, et remarquant qu'au point de chute y -= o, on aura

r^ = J^-2glf{v)ds,

d'où Ton voit que F' < V.

Donc la vitesse au point de chute, celui-ci étant situé au môme niveau que la bouche à feu, est plus petite que la vitesse au point de départ.

44. L^amjplUiide de la branche ascendante est plus grande que cette de la branche descendante. On a

^^— tango-

Désignant par x la projection horizontale ou l'amplitude de la branche ascendante, par x" celle de la branche descendante et par T la hauteur totale du jet, on obtient

J tange

[ ày f dy

J tang e J tang e '

tang e J tang i

OU, en remarquant que l'angle â est négatif dans la branche descendante et mettant — ^ à la place de â dans l'expression de x'i on a

tang 6'

Les angles aux points qui se trouvent dans les mêmes plans horizontaux étant (n° 43) plus grands dans la branche descendante que dans la branche ascendante, la quantité qui se trouve sous le signe intégral dans l'expression de x^ est plus petite que celle de l'expression o^; or les limites des deux intégrales étant les mêmes et la limite supérieure étant plus grande que l'inférieure, on voit que x est plus petit que oi.

Donc l'amplitude de la branche ascendante est plus grande que celle de la branche descendante.