Intégration des équations différentielles du mouvement
dams le cas où la résistance de Pair est exprimée par la formtUe
f = J\,^xB^''*).
Posant
on a
et réquation différentielle (6), n° 32 se réduit à
de — *♦» ' co8*»-^ie > d'où Ton trouve en séparant les variables
Appelant 9 l'angle de projection, V^ la projection horizontale Fcos 9de la vitesse initiale, et intégrant entre les limites dest;^ àF^ et de ^ à 9, on a
*) On a construit sur les figures 7 et 8 les valeurs de p' correspondantes à diverses vitesses, déduites des résultais des expériences sur la résistance de l'air au mouvement des projectiles, et on a inséré au n^ 27 les expressions de p' qui représentent ces résultats. En remarquant que
on voit qu'il faut prendre dans la formule
p=o(t-5-jciPî;",
pour le coefficient J^ une valeur moyenne entre toutes celles que prend J^ dans les limites des vitesses qu'on a à considérer.
et
L'intégrale qui se trouye au dénominateur s'exprime en termes finis, et par suite la vitesse v s'exprime aussi en termes finis, toutes les fois que n est un nombre entier.
Substituant la valeur trouvée de v^ en fonction de â dans les formules suivantes (n° 32)
3 de
dx =
, de
rfy=-
sine de
dt =
de
lC08«0>
on
obtient les
expressions
de cos'©
X=rz
COB*d
«te |«
BJn e <to
de cos^d
[1 nF^^ f "^ de "1
Entre ces formules on obtient sous forme finie :
1^ celle qui donne s^ quand n = 2. Dans ce cas, en posant
on a
<iS(g)
et
et 2° celle qui donne <, quand n= 1. Dans ce cas
d tang 6
1h-^> tang (p — ^^ tang ^
et
< = ^log [l -4- ^ (tang 9 — tang 0)\.
Les expressions de a; et de y en fonction de ne pouvant être obtenues SOUS' forme finie dans aucun des cas particuliers, de manière qu'il devient indispensable de calculer leurs valeurs approximativement; nous chercherons les expressions exactes de t;, t, ^ et 2/ en fonction de x pour le cas de n = 1 , et pour les cas de n > 1 , où
•' f jî=i[s-'««'*^(î*i)]— »»"•
l'on ne peut obtenir les expressions exactes de ces valeurs, ainsi que pour les expressions de la résistance qui diffèrent des précédentes, nous exposerons une méthode approximative d'intégration des équations différentielles du. mouvement. Quant aux formules de ce numéro, nous en profiterons pour déduire les conditions de la similitude des trajectoires décrites dans l'air par les projectiles sphériques qui n'ont pas de rotation.
47. Conditions de la similitude des trajectoires décrites dans Vair pur les projectiles sphériques qui n'ont pas de mouvement de rotation. Deux projectiles sphériques qui se meuvent sans rotation dans l'air et éprouvent des résistances proportionnelles aux densités de l'air, aux sections des grands cercles des projectiles et aux w°*' puissances de leurs vitesses, décrivent des trajectoires semblables: P si les deux projectiles sont tirés sous le môme angle de projection, et 2^ si les vitesses des projectiles, aux points de départ, sont proportionnelles aux racines n"*' de leurs diamètres, aux racines n"" de leurs densités et inversement proportionnelles aux racines w""" des densités de l'air dans lequel ils se meuvent.
Si ces conditions sont remplies, 1° les vitesses des projectiles aux points homologues des deux trajectoires (c'est-à-dire aux points où les angles d'inclinaison des deux trajectoires sont les mêniBs) et les durées que mettent les projectiles à atteindre ces points sont proportionnelles aux vitesses initiales des projectiles, et 2° les dimensions linéaires des deux trajectoires sont proportionnelles aux carrés des vitesses initiales.
En effet, appelant E et Bf les rayons des projectiles, D et 2/ leurs densités, Il et n' les densités de l'air dans lequel se meuvent les projectiles, VetV les vitesses initiales des projectiles, v et v' les vitesses des projectiles aux points homologues, t et /Mes durées que mettant les projectiles à atteindre ces points, k^ et k'^ les coefficients de la résistance, et posant
R iy ir r *; ?;«^y;
g, n=jj, «?o= Fi'^ = 7> ^ — 7— *— y'
on a
JT JkizB!'' n' sf*n: ir^n' n^ x^
et comme d'après les conditions de la similitude des trajectoires
on trouve
par suite les formules du numéro précédent donnent
ce qu'il &llait démontrer.
48. Équations du mouvement dans Vhypothèse de la résistance proportionnelle à la première puissance de la vitesse. Soit
Posant
p = <Aïu-7ci?t;.
Aici? n ~ '
on a
et en mettant cette valeur dans l'équation (6)| n° 32 on trouve
Substituwit cette expression dans l'équation (9), n° 32, et. intégrant entre les limites de o à « et de F, à »„ on a
d'où l'on tire
(1) t;, = F,-fx
et
Mettant cette expression dans l'équation (9), n°32, et intégrant entre les limites de 9 à <9 et de o à x, on trouve
(2) tang<9 = tang9-*-4- ,
(3) tang<? = tang© £î.
Mettant^ à la place de tang â dans l'équation (2) et intégrant de à y et de à iK, on a
(4) y==<^ (tang9-*- ^)-^f log(l -j^J,
ou, en développant log ( 1 — ^j en série, on trouve
La durée s'obtient en mettant dans l'expression
àt = T
la valeur de t;, de l'équation (1) et en intégrant entre les limites de à < et de à rr; on trouve
(6) < = Alog ZL
Vi — jX
Les équations (5) et (3) font voir que, pour les mêmes valeurs
de a?, plus le coeflBicient | est grand, plus les valeurs de y et de tang â
sont petites. Les angles â étant négatife dans la branche descendante, on voit que dans cette branche, pour une même valeur de a;, la valeur
absolue de â croît avec la valeur de ^.
49. Relation etUre la résistance y les ordonnées et les angles d'inclinaison^ pour une même valeur de rr, queUe que soit la loi de la résistance. Pour appliquer les équations du mouvement déduites dans rhypothèse de la résistance proportionnelle à la première puissance de la vitesse au cas d'une loi quelconque de la résistance, il
faut égaler le coefficient constant \ à une certaine valeur moyenne
(différente pour chacune des équations) entre toutes celles que prend
l'expression -^ dans les limites de t; = Fàt;. La fonction f{v) croit
avec la résistance, ainsi que le rapport ^^ (toutes les fois que le degré de f{v) surpasse le premier), et par suite croît aussi le coefficient j^.
Donc, quelle que soit la loi de la résistance de l'air, à une plus grande résistance correspond, pour une même valeur de l'abscisse x, une plus petite ordonnée y et dans la brancheascendante un plus petit angle ^, tandis que dans la branche descendante à une plus grande résistance correspond un plus grand angle (abstraction &ite du signe).
50. Méthode d'approximation pour intégrer les équations différentielles du mouvement. Si dans l'équation différentielle (6), n° 32
de ' Wcos©' où
on peut substituer à la fonction f{v) (5ette autre fonction
/(gycose) /(at?i)
a cos ô a cos ô '
a étant une constante choisie convenablement, les variables peuvent être immédiatement séparées, quelle que soit la forme de la fonction f(v).
On peut &ire cette substitution sans grande erreur toutes les fois que l'angle 0^ dans toute Tétendue de la courbe que Ton considère, Tarie dans des limites assez restreintes, pourvu qu'on prenne pour a une valeur constante telle que le produit a cos diffère le moins possible de l'unité pour toutes les valeurs qu'il acquiert entre ^=9 etd.
Opérant cette substitution, on obtient l'équation
^ ' cos^d ari/(at'i] '
OÙ les variables sont séparées.
En l'intégrant on a
(2) t^°&^ = tang?-«}i^55g;j,
l'inclinaison de la trajectoire en fonction de la vitesse. Substituant dans la formule (9), n^ 32
la valeur de^^de l'équation (1), il vient (3) ^. 00; = ]^^^^-
av,
En effectuant l'intégration on aura l'expression de ow; en fonction de a.v^ et de aF,, et on en pourra tirer l'expression de avj et celle de T—^ en fonction do (lx et de aF,. Soit
(4) at'i = ^{(xjx, aFi)
et
(5) ^, = if{m.fiV,).
Pour trouver Téquation de la trajectoire, prenons Téquation (9), n° 32, qui donne
et en substituant la valeur de r^ de l'équation (4), on a
En intégrant et remarquant qu'au point de départ ^ = 9 et â;= o, on trouve
(6) tangtf=tang9 — ag \^{<ix^ aV^)d{ax)i
l'inclinaison de la trajectoire en fonction de x.
Mettant^ à la place de tang â dans la dernière équation et intégrant en remarquant que pour rv = 0, y = 0, on obtient
2X ax
(7) y=a;tang9— flf jd(aaî) f <l^(aa;, aV^)d{ax),
l'équation de la trajectoire.
Le temps se détermine en mettant dans la formule (7), n"" 32 au
lieu de JJP5 sa valeur de l'équation (1). On aura ainsi
(8) Hfj^'
aV|
la durée en fonction de la vitesse.
Four avoir le temps en fonction de a;, il faut substituer dans l'expression trouvée de <, à la place de t\ sa valeur de l'équation (4),
ou bien, après avoir mis dans l'ejjpression de dt = ^=:^^èk la
place de — sa valeur de l'équation (5), déterminer le temps d'après
la formule
ax
(9) t= jVf^{ax,ar,)d{ax).
61. Application au cas où la résistance est eocpriméepar un binôme dont le premier terme est proportionnel au carré de la vitesse et le second à la quatrième puissance de la vitesse. Dans ce cas
Posant
on a
et
L'équation (2), n° 50 devient
et remarquant que
1 __1 1 1 2 OLVi
on obtient
F2ri^iî5i)!l tang(? = tang9-^g(l-^.)-^^^log ^^;^^^(^j ,
l'inclinaison de la trajection en fonction de la vitesse. L'équation (3), n° 50 devient
et remarquant que
on obtient
»=-log
l'abscisse a; to fonction de la vitesse, et cette équation donne
, = Il ,
la vitesse en fonction de l'abscisse a?.
Par suite l'équation (5), n^ 50 devient
et en mettant cette expression dans les équations (6) et (7), n^ 50, on obtient
et
OU
l'inclinaison de la trajectoire en fonction de a;,
et
y = a;tang9
2Fi*| (^
am
ax
l'équation de l'arc de la trjgectoire que l'on considère. L'équation (8)> n° 50 devient
iHV
ar,
et remarquant que
on a
. ^-l-^(arctang--fi arctang^^)
et en se rappelant que
ax 2e
]/(l-^(î^)eV*-(^'
on obtient
le temps en fonction de x.
Posant
e(^ Fi*)=
'»(^,F„«)=y(l-i-Fo«)e'-Fo', t?(«,Fo«) — l-F„^arctangF„— arctang:^^^j
on réduit les formules obtenues aux suivantes:
L'équation de la partie de la trajectoire que Ton considère
(1) .y=a;tang9-^Ç(^, F„*).
L'inclinaison de la trajectoire en fonction de x (2) .tang<9 = tang9-^,3(^, V,^
L'abscisse x en fonction de la vitesse
La vitesse en fonction de z
^^ *' t9(^,Fo')'co8<?'
La durée en fonction de x (5) ^ t = ^^^iz,V,').
L'inclinaison de la trajectoire en fonction de la vitesse
(6).tang^=tang9-l-g(l-y.)-i-f.E^,.Lo g^ L^^^J
62. Apfiicatiùn au cas ùà la résistance est eocprimée par un terme prùpartiannel au carré de la vitesse. Dans ce cas
Posant
2AiciîV n ' on a
Froeédant comme on l'a &it au n° 51 «t posant
on trouYo:
L'équation de la partie de la trsgectoire que Ton considère
(1) y = a;tang9-^,F(^).
L'inclinaison de la trajectoire en fonction de x (2) tangd = tang9— ^,Fi(ier)..
L'abscisse x en fonction de la vitesse
La vitesse en fonction de x
<*) «' — "ÏS^-
La durée en fonction de x (5) «=^'^'U)-
L'melinaison de la tnyectoire en fonction de la vitesse
tang<? = tang9-ig(l-^,).
On peut obtenir les formules de ce numéro directement de celles du n° 51 en y posant r = oo,
53. Application au cas où la résistance est exprimée par un terme proportionnd à la sixième puissance de la vitesse. Dans ce cas
En posant
on obtient et
p = <A,.itiP^t;«.
fi«-v,) =
{aPi)«
Procédant comme on l'a fait au n° 51 et posant
îP(,) = (î-tf)'=il^
on trouve:
L^équation de la partie de la trajectoire que Ton considère
0) y = :«?tang(p — ^îjl(4
L'inclinaison de la trtgectoire en fonction de x
(2) tange = teng(p — ^;3(^).
L'abacisse x en fonction de Ja vitesse
La vitesse en fonction de x
