A\ ' F COS

Vj^ ma La durée en fonction de x

L'inclinaisson de la trajectoire en fonction de la vitesse (6)....tang^ = tangç-^,(l^).

54. Application au cas où la résistance est exprimée par un terme proportionnel au cube de la vitesse. Dans ce cas

Posant

,^ P n, 2ATzIPg ' n ' on obtient

p — tiV)—-^

Procédant comme on l'a fait au n^ 51, on trouve: L'équation de la partie de la trajectoire que Ton considère

(l)...., = ..tang9-Jf,[lH.i^-^,V(^)'].

L'inclinaison de la tnyeetoire en fondàon de x

(2)..tang^ = tang9-Ç[l-*-4-^-*-A(^r].

L'abscisse x en fonction de la vitesse

(S) '»=.^(lf-')-

La vitesse en fonction de x

La durée en fonction de x (5) e = ^[l-Kj.^].

L'inclinaison de la trajectoire en fonction de la vitesse (6) tangd = teng9~^,(l-^).

55. Application au cas où la résistance est exprimée par un terme proportionnel à la quatrième puissance de la vitesse. Dans ce cas

Posant

~2A,KS?g n ' on obtient

Procédant comme on l'a fait au n"" 51, on trouve L'équation de la partie de la trajectoire que l'on considère

(l)..- y=*tang9-^[l-*-i^].

L'indioaison â« la tnyectoire en fonction de x

(2) tang(? = tang9-^.[l-H^].

L'abscisse x en fonction de la vitesse

La vitesse en fonction de x

La durée en fonction de x

L'inclinaison de la tngeetoire en fonction de la vitesse (6) teng<? = tang9-â^(l-^.). '

'56. Relation entre les fonctions par lesquelles les équations du mouvement dans Vair diffèrent de celles du mouvement dans le vide. Comparant les équations du mouvement trouvées dans les n"^ 51 y 52, 53, 54 et 55 pour différentes expressions de la résistance de Tair avec les équations du mouvement dans le vide^ on voit qu'elles difiërent de celles du mouvement dans le vide par de certaines fonctions qui y entrent comme facteurs.

Toutes les trois fonctions

e',F,ig),F{z),

qui entrent dans les équations du mouvement dans le /sas où la ré* sistance est exprimée per un monôme proportionnel au carré de la vitesse, se réduisent à l'unité pour z=:0y et croissent avec 0. Pour une môme Valeur de x? > 0, on a F{0) < F^(jf) < c*.

Toutes les quatre fonctions

9{z, Fo«), 3(^, n^), V(z,V,\ S (z, V,\

qui entrent dans les équations du mouvement dans le cas où la résistance est exprimée par un binôme dont le premier terme est proportionnel au carré de la vitesse et le second à la quatrième puissance de la vitesse, se réduisent à Tunité pour z=o, et croissent avec z et V^^.

Pour Fo2=o,onaÇ(^, V,')=F{zlS{z,V,')^F,{z),Viz,V,')=e^, S (^, Fo^ = Fi (I). Pour les mêmes valeurs de z et de F^* on a ^(^, Fo«) <S(z, Fo«) et S(^, Fo«) < T?(^, V,'). Toutes les quatre fonctions

qui entrent dans les équations du mouvement dans le cas où la résistance est exprimée par un monôme proportionnel à la sixième puissance de la vitesse, se réduisent à l'unité par ^ = 0, et croissent avec ier.Pour une même valeur de -sf, on a îp (z) < 3 [z) et 9l{z)<,\) {z).

La même relation existe entre les fonctions qui entrent dans les équations du mouvement dans le cas où la résistance est exprimée par un monôme proportionnel au cube de la vitesse et dans celui ^ù la résistance est exprimée par un monôme proportionnel à la quatrième puissance de la vitesse.

57. Table des fonctions e\ F, (z), F{z\ Jp {z), 3 {z\ D {z\ a {z). Ces tables sont insérées dans l'annexe sous les n^ ITE, IV, V, XII, XTTT, XIV. Elles sont à un seul argument z, et donnent les valeurs des fonctions avec quatre décimales pour des valeurs équidistantes de z. Elles s'étendent de 2? = jusqu'à if = 3 pour e', de J8f=0 jusqu'à ;8f = 2,4 pour F, {z) et F{z\ et de i?= jusqu'à 1,8 pour ÎPW» ^{^\ ïî(^) et ^{z). La différence constante entre les valeurs de z est de 0^01. A cêté des valeurs des fonctions, on a inscrit les diffêrences entre leurs deux valeurs consécutives. Les différences secondes de toutes ces fonctions ne surpassant pas huit unités du dernier ordre, on peut calculer les valeurs de ces fonctions avec quatre

décimales pour les valeurs intermédiaires de z qui ne se trouvent pas dans les tables au moyen de parties proportionnelles sur les différences premières sans recourir aux différences secondes *).

Exemple. Calculer F (0,31 65). On trouve dans la table que F(0,31)=l,1119, et que la différence entre F(0,31) et -P(0,32) est 0,0039. Donc

F (0,^16^0) = 1,1119 -^^^'0,00^9 = l MU.

58. Tables des fonctions 9{z, V^^ et 3 (z, V^^. Ces tables sont insérées dans l'annexe sous les n" VI et VIL Elles sont à deux arguments z et Vq^ et par suite à deux entrées et donnent les valeurs des fonctions à quatre décimales pour les valeurs équidistantes de Zy depuis z = jusqu'à z = 1 ,68, et pour les valeurs équidistantes de Fo*, depuis V^^ = jusqu'à 7^^ = 4,2. La différence constante entre les. valeurs de z est de 0,02, et la différence constante entre les valeurs de V^^ est de 0,1. Sous l'indication A^ on a inscrit les différences entre les valeurs voisines de la fonction, relatives à la même valeur de F^* et correspondant à un accroissement de 0,02 dans la valeur de z. La différence A^ entre les valeurs de la fonction, relative à la même valeur de z et correspondant à un accroissement de 0,1 dans la valeur de V^^, — cette différence ^^ est constante et

*) Si Uq, «I, Wy.... Bont les valeurs de la fonction «, correspondantes ans ▼alenrs éqaidistantes a?of ^n ^2>-- ^^ ^^ variable indépendante x, et si la différence constante entre les valeurs de â^o» ^u ^2v-- est h, on a, en tenant compte des différences secondes, la formule d'interpolation suivante

W = Uft-*-

"0^ h Le maximum de la correction

'OAw ^~^o /i g-ay^ X A«i#o

due à la différence seconde a lieu pour — ^^ = - et alors la corf ection se réduit à j de la valeur numérique de â'uq. Donc, toutes les fois que la différence seconde est moindre que huit unités du dernier ordre, on commettra, en la négligeant, une erreur moindre qu'une unité du dernier ordre.

est inscrite au pied de ehaqae colonne. En calculant les valeurs des fonctions à quatre décimales pour les valeurs intermédiaires de z et de V* qui ne se trouvent pas dans les tables, il &ut avoir recours aux différences secondes.

En appelant

/"(«o.»!). fO'ui'ùy

les valeurs de la fonction f{B,v) correspondant aux valeurs

des variables indépendantes e et v, en représentant par A la différence constante entre les valeurs à» e^, z^, z^, . . . . et pair A; la différence constante entre les valeurs de Vg, t;,, v,, . . . . et en désignant

A,A«i, fo) = A«2. »o) — /"(«i. »o).

A, A«o . «i) = /"(^i » ».) — /"(-«o, fi).

\A«o. »o) = /'K. fi) — A«0» fft)»

\A«o. »i) = A«o. fa) — A«o» t'i)»

\f(«n »o) = A^i, »,) — A^i, Vo),

= \ A^„ »,)— A^AiJo, t;^, A'.A'o, f«)= A.A-?,, »«)- A,A«o. «'o),

on a, en tenant compte des différences secondes, la formule d'intwpolation suivante

Exen^ 1. Calculer la valeur it9 (z, V^ à-quatre décimales pour «=0,8257, Fo* = 0,3907.

Dans ce cas /"(-?,, ©0) = * (0,82; 0,3)= 1,4420; h = 0,02; fc= 0,1 ; « — ;So = 0,0057; t> — »„ = 0,0907; A,f(^o» t;„) = 0,0133; A„A^«, fo) = 0,0340; A,A/(«„»o)=0,0143— 0,0133=0,0350— 0,0340=0,0010; A'.A^o, t;o)=0,0135-0,0133=0,0002; A«„/"«, v,) = 0;

. 0.0067 0.0907 AAAtn , 0.0067 /, 0,00S7 \ a aaao

-^ ■ô;ô2ôô • ô;i«»6 • 'J'""!" — ï • ôiMôô V ^ — ô;^ôj • "'"""'*

Four la &cilité des opérations numériques on disposera les calculs de la manière suivante

j^ i!2L in — ^

L'emploi de la règle à calcul pour calculer les parties proportionnelles abrège beaucoup les opérations.

Il suffit dans les cas ordinaires de se borner aux valeurs des fonctions à trois décimales, et alors il ne faut pas tenir compte des différences secondes.

Comme exemple, calculons la valeur de 9(Zf V^^ à trois décimales pour ;î = 0,8257 et 7^2= 0,3907.

On trouve dans la table pour -? = 0,82 et F<j^= 0,3 la fonction (Ë{z, Fo2)= 1,442 et les différences A, = 13,3 et At, = 34,0. Donc:

Exemple 2. Calculer la valeur de '^{z, V^ à quatre décimales pour «= 0,8257 et Fo«= 0,3907.

Dans ce cas f{z^, t;,) = 3(0,82; 0,3) = 1,7142; fe = 0,02; A; = 0,1 ;«—-?„ = 0,0057; «—t;, = 0,0907; A,/'(^„,t;„)= 0,0230; A«/'(«o, »o) = 0,0549; A,A„/'(z„, t;„) = 0,0248 — 0,0230 = 0,0567 — 0,0549 = 0,00 18; A%A^o.«'o)= 0,0234— 0,0230 = 0,0004; A^/-(^„,t;„) = 0.

î.^n =A7.V4— i. AT.. 143. 4 A

Calculons la valeur de 3(^,Fo^ à trois décimales pour ief= 0,8257 et Fo^ = 0.3907.

On trouve dans la table pour 2?= 0,82 et Fo* = 0,3 la fonction

3(£f, Fo»)= 1,714 et les différences A, = 23,0 et Ae=54,9. Donc:

59. Tables des fonctions V{z, V^^) et B(jf?, F^^). Ces tables sont insérées dans l'annexe sous les n^ VIII et IX. Elles sont à deux arguments z et V^^ et par suite à deux entrées, et donnent les valeurs dos fonctions à trois décimales pour les valeurs équidistantes de £f, depuis ^' = 0, jusqu'à z = 1,68, et pour les valeurs équidistantes de F/, depuis Fo^ = 0, jusqu'à Fo^ = 4,2. La différence constante entre les valeurs de est de 0,02, et la différence constante entre les valeurs de F^^ est de 0,1 . Sous l'indication A, ou a inscrit les différences entre les valeurs voisines de la fonction, relatives à la même valeur de F^^ et correspondant à un accroissement de 0,02 dans la valeur de z; sous l'indication At; on -a inscrit les différences entre les valeurs voisines de la fonction, relatives à la même valeur de et correspondant à un accroissement de 0,1 dans les valeurs de Vq^. En calculant les valeurs des fonctions à trois décimales pour d«8 valeurs intermédiaires de z et de V^^ il ne faut pas tenir compte des différences secondes.

Exemple 1. Calculer la valeur de V{z, F^') pour ;? = 0,8257 et Fo^= 0,3907.

On trouve dans la table pour ;?= 0,82 et Fj^^= 0,3 la fonction V{z, Fo^) = 1 ,628 et les différences A^ = 18 et A^ = 39. Donc:

Exemple 2. Calculer la valeur de S(^, F^*) pour iar=: 0,8257 et Fo* = 0,3907.

On trouTe dans la table pour i!=-0,82 et Vq'=0,Z la fonction g(5, Fo") = 1,297 et les différences A, =8 et A, = 19. Donc:

60. TaUes des fonctions e.9{js, V^) et z.i{z. V^). Il amye dans la solution des problèmes de tir de chercher la Taleur de Bj lorsqu'on connaît la valeur de V^ et celle du produit z.9{By V^ ou bien celle du produit z.i{z^ V^). On a calculé dans ce but les tables des fonctions z.9{z, V^) et ;er.3(-^, V^) insérées dans l'annexe sous les n^^ X et XI. Elles sont à deux arguments z et V^ et par suite à deux entrées, et donnent les valeurs des fonctions à quatre décimales pour les valeurs équidistantes de «, depuis -2? = 0, jusqu'à z^= 1,68, et pour les valeurs équidistantes de V^j depuis V^ = 0, jusqu'à F^)^ = 4,2. La différence constante entre les valeurs de z est de 0,02, et la différence constante entre les valeurs de V^ est de 0,1. Sous l'indication ^g^ on a inscrit les différences entre les valeurs voisines de la fonction, relatives à la même valeur de V^ et correspondant à un accroissement de 0,02 dans la valeur de z. La dififêrence A,, entre les valeurs de la fonction, relative à la môme valeur de z et correspondant à un accroissement de 0,1 dans la valeur de Fq^j — cette différence A„ est constante et est inscrite au pied de chaque colonne.

Connaissant V^^ on cherchera dans la ligne horizontale qui s'y rapporte la valeur connue de la fonction z.9{z^ F/), ou bien celle de la fonction zi{Zy F^*), et on trouvera en tête la valeur cherchée de^f. Ainsi pour Fo* = 0,3 et z9{z,V^) = 1,1824 on trouvera que 1,1824 étant 'dans la colonne 2^ = 0,82, la valeur cherchée est ^ = 0,82.

On trouvera la valeur de ^r à quatre décimales pour des valeurs connues, intermédiaires de F^^et de z.9(z,V^y ou bien de zi{ZyV^

qui ne se troaTent pas dans les tables, en interpolant et tenant compte des différences secondes.

La formule de l'interpolation insérée au n° 58 donne

Calculant d'abord la yaleur de ^^•A«/'(^o,t;o) en négligeant les termes à différences secondes, c'est-à-dire en se bornant aux trois premiers termes du second membre de l'équation, on trouvera la valeur approchée de ^^^ et en la substituant dans le quatrième et le cinquième termes du second membre de l'équation, on trouvera la valeur de '-^Y^'à^fi'of^oi ^^^ 1& précision désirée et on en tirera la valeur cherchée de si.

Exempte 1. Trouver la valeur de « à quatre décimales pour Fo» = 03907 et «;«(ir, Fo«)= 1,2195.

Dans ce cas /"(», v) = e.9 (z, V*)= 1,2195; t;o = 0,3; A^o» t;^= 1,1824 = 0,82.^(0,82; 0,3); «0 = 0,82; A =0,02; * = 0,1 ;t;-t;o= 0,0907; A. /'(«„,t;J = 0,0401; K f K, fo) = 0,0279; A, \ f (z,, v^ = 0,0416 - 0,0401 = 0,0294-0,0279=0,0015; A/ fie,, t;,)=0,0407— 0,0401 = 0,0006; A„Y(«o, t;o) = 0, et l'on a

ifS{B,V*)^ 1,2196 — 0,82.«(0,82 ; 0,3) = — 1,1824

la yaleur approchée de ^^^^ A^ ({b^^^ v^) = h- 0,01 18 ;

la valeur approchée de ^^^ = ^^ ;

— ge-

la valeur approchée de —J^^^fi^^, »„)= -i- 0,0118

n suffit dans les cas ordinaires de se borner aux valeurs de i^ à trois décimales, et alors il ne faut pas tenir compte des différences secondes.

Gomme exemple, calculons la valeur de ;? à trois décimales pour Fo' = 0,3907 et -? « (z, V^= 1,220.

On voit dans la table que dans la ligne horizontale V^ = 0,3 la valeur la plus voisine de z9{z, Fo*)= 1,220, mais plus petite, est 1,182 et qu'elle est dans la colonne ^ = 0,82. Les différences qui correspondent à la valeur de 1,182. sont A^ = 40,l et A^ = 27,9. On aura

Exemple 2. Trouver la valeur àe e k quatre décimales pour F„« = 0,3907 et -er 3 (z, Fo«)= l,462é.

Dans ce cas /"(-?, v) = zS (z, Fo*) = 1,4624; v^= 0,3; f{z^, t;o)= 1,4056 = 0,82.3 (0,82; 0,3); ;?o=0,82; A=0,02; A; = 0,1 ; e; — «0 = 0,0907 ; A,fiz„ f;„) = 0,0537; àjiz^, v,) = 0,0450; Wfiz^, !;„) = 0,0562 — 0,0537 = 0,0025;

A»,A*o,t;o)=0,0648 -0,0537 = 0,0011 ;A%^(iro,i;„)=0, et l'on a

^3(5, Fo«)= 1,4624 — 0,82 .3(0,82 ; 0,3) = — 1,4056

la valeur approchée de ^^x^^« ^^^o' ^^^ = -f- 0,01 60 ; la valeur approchée de^^^ = ^^' ;

la valeur approchée de ^^-^^^gfi^oy ^o)= "*~ 0,0160

Calculons la valeur de -gr à trois décimales pour F^* = 0,3907 et £r3(^,Fo^= 1,462.

On voit dans la table que dans la ligne horizontale Fo* = 0,3 la valeur la plus voisine de ;? 3 (jer, Fo')= 1,462, mais plus petite, est 1,406 et qu'elle est dans la colonne j?=0,82. Les différences qui correspondent à la valeur de 1,406 sont ^^ = 5,37 et A^ = 45,0. On aura

z3iz,V,^= 1,462

61. Détermination de la valeur de la constante a. Pour intégreiy par approximation, les équations différentielles du mouTement, quelle que soit l'expression de la résistance, on substitue (n^ 118) à la fonction f{v)^ qui exprime le rapport de la résistance au poids du projectile, cette autre fonction

/{a y C08 e) aeoBB '

OÙ la constante a doit être choisie de manière que le produit a cos tf s'éloigne le moins possible de l'unité pour toutes les valeurs qu'il acquiert entre ^ = 9 et tf. Far conséquent a doit être égale à une certaine valeur moyenne entre toutes celles que prend J5ï^=^dans les mômes limites.

Le général Bidion, qui se sert de la constante a pour intégrer, par approximation, les équations diffêrentielles du mouvement, prend pour la valeur de a le rapport de l'arc de la parabole compris entre les limites 9 et ^ à sa projection horizontale. On a pour la parabole (éq. 1, n° 37) 1;^ = V^ et par suite les équations (8) et (9), n° 32 deviennent

« = ZL*f * et « = ^'f-4-, g J cos»e '"''•*' g } co8«©>

de manière que

*) On peut faire voir facOement que la valeur de a ainsi déterminée est une certaine Taleor moyenne des différentes valeurs de ^ entre les limites d = çetd. On sait en effet que la fraction

ou, posant

et remarquant que

^3P5. = tang9-tang^,

on a

^^ e(y)-6(e) • tang9— tange*

L'expression g (O) h\i voir que g (0) = 0, g {—0)= — 1{0) et comme on a tang = et tang ( — ^) = — tang d, on trouve: entre les limites 9 et tf

tang 9— tang e'

entre les limites 9 et 0, ainsi qu'entre les limites 9 et — 9

6(9) tang 9'

est moindM que la plus grande des fractions ^9 g7 9 p y ... et est plus grande

que la plus petite de ces fractions , de sorte que 5 .^ 5^ ,^ ^// .. CBt une cer-

le valeur moyenne Donc la quantité

a a' a" taine valeur moyenne entre les valeurs de ^ 9 p j p?

cos'e

Jci de

cos*© e

est une certaine moyenne des différentes valeurs que

cos'e 1

1 cos«

cos*©

acquiert entre les limites 9 et 9.

entre les limites 9 et —

tang 9 -#- tang e '

entre les limites — 9 et —

^^ 6(e)-6(9) tang e — tâng <p *

On a inséré dans la table I de l'annexe les valeurs numériques â«5(<p),delM.etdea.

62. Choiœ des points de division d^une trajectoire en plusieurs parties. Si Ton examine la table des valeurs de a,«on voit que quand les angles sont petits, a dépasse l'unité de très -peu. Ainsi, pour un arc de 5° à la quantité a dépasse l'unité de 7^ environ; pour un arc de 10° à la quantité a dépasse l'unité de ^ environ; pour un arc de 1 5° à la quantité a dépasse l'unité de ^ environ. Par conséquent lorsque le projectile est lancé avec une vitesse initiale telle que la résistance de l'air entre les limites de cette vitesse et de la vitesse de chute peut être exprimée par une seule formule, on peut ne pas décomposer la trajectoire en parties, tant que les angles de projection sont compris entre et 15°, et on peut prendre pour a l'unité, quand l'angle de projection ne dépasse pas 8°, et la valeur de ^j*^ quand l'angle de projection est compris entre 8° et 1 5°.

La quantité a entre dans l'expression

/(ai; coBe) a cose

qui est substituée à la fonction f(v). En égalant a à sa plus petite valeur, l'unité, la fonction '^^^00^^^ ^®^* moindre que la fonction /"(t;) (toutes les fois que le degré de la fonction f{v) est plus grand que l'unité), ou, ce qui est tout un, on prendra une valeur trop faible pour la résistance de l'air; par suite on aura (n° 49) des valeurs trop fortes pour les ordonnées y, et la trajectoire calculée passera au-dessus de la trajectoire réelle. En égalant «àjjj— > on prendra une valeur trop forte pour la résistance de l'air sur toute l'étendue de la trajectoire depuis tf = 9 jusqu'à â = — 9, et la trajectoire calculée passera au-

dessous de la trajectoire réelle. On voit par là que pour avoir (dans le cas où l'on ne divise pas la trajectoire en parties) les limites entre lesquelles est comprise la portée réelle sur un terrain qui se trouve à la même hauteur que la bouche à feu, il faut poser a = 1 pour obtenir la limite supérieure et a = ^— pour obtenir la limite inférieure. Si Ton divise la trajectoire en parties, il faut prendre, comme on

sait, a =

JM-iJo)

Pour avoir une idée des erreurs que Ton

tang 9 — tang e

commet en ce. cas, comparons les valeurs de a aux valeurs extrêmes de -^ pour des arcs de différentes grandeurs et de différentes inclinaisons. Cette comparaison est établie dans le tableau suivant.

Tableau comparatif des valeurs de a et des valeurs extrêmes de -^pour des arcs de différentes grandeurs et

de différentes inclinaisons.

Arc<

C0Jï6

K;i|i[i-.['i .1 a tte?

tlilTën^r^es entre a et les valeurs

e II renie s lie - — cos6

en moms

lia plu^

tiilTt^reïir!*it f?nlr(* QL el les Tsleurs

HSiréniSfi di* — ■ GO 8 9

m\ ujiimst ep pîu^

de^.

ÏO

2jULK}0i 1,7454 i,5557, 1,4142 1,3054 1,2208 1,1547 1,1034 1,0641 K035S 1,0154

i.ooae 1,0000

i,nooi»

2,0000 1,4142 1,1547 1,0353 1,0CKK>

1,6485 1,4637 1,35&1I 1,262H 1,1870 1,1283 l.0t>31 1,0491 1,0247 l,Ui)f)0

1, 77301 1,4270; 1,2209 l,icmfi!

ii:

2rï in

L3802I 1,2758 1,2010 1,1478 IjîOT.H 1 ,0700 l,0rî31 1,0351 1,0217 1,0118 L0fJ52 ],0ul3; 1,0000

— lOCf —

Daprès rinspectioii des nombres contenus dans le tableau, on reconnaît que, pour des arcs d'un même nombre de degrés, 4a valeur de a diffère d'autant moins des valeurs extrêmes que l'inclinaison audessus de l'horizontale est plus petite. Far conséquent, pour que les

différences entre les valeurs de a et les valeurs extrêmes de -— ^

soient les mêmes pour les différentes parties de la trajectoire, les arcs doivent avoir d'autant moins d'étendue que leurs inclinaisons sont plus

grandes; ainsi le rapport de la différence entre a et^^^à a est de,*^

pour les arcs de 0° à 20°, de 20° à 30°, ou de 40° à 45°; ce rapport est de y\ environ pour les arcs de 0° à 25°, de 15° à 30°, de 30° à 40° ou de 50° à 55°; il est de ^^ au plus pour les arcs de 0° à 30°, de 30° à 45° ou de 55° à 60°; il est de J environ pour l'arc de 0° à 45°. Ces quantités sont les différences les plus grandes et elles se rapportent aux extrémités des arcs; mais comme vers l^ilieu de chaque arc cette différence est nulle, il s'ensuit que

le rapport de la différence entre a et — - à a n'est moyennement que

la moitié des fractions que nous avons indiquées. Si l'on remarque, de plus, que dans la branche ascendante la valeur de a est à l'origine des arcs que l'on considère moindre et à la fin de ces arcs plus grande

que jj^ , on voit que dans la branche ascendante de la trajectoire on prend à l'origine des arcs la résistance de l'air trop faible, et qu'à la fin des arcs on la prend trop forte; dans la branche descendante la valeur de a est au contraire à l'origine des arcs plus grande et à la fin des arcs moindre que^^, de sorte que dans la branche descendante on prend à l'origine des arcs une résistance trop forte et à la fin des arcs une résistance trop feible; vers le milieu des arcs la valeur de a est égale à ^^ ; il s'ensuit que sur toute l'étendue de l'arc que l'on considère, si elle est convenablement choisie, les erreurs partielles se compensent à peu de chose près.

Pour avoir les limites entre lesquelles est comprise la portée réelle, il faut, pour obtenir la limite supérieure, prendre, à la place

de a, les valeurs de ^—^ qui correspondent à la fin des arcs dans la

branche ascendante et les valeurs de ^^ qui correspondent au commencement des arcs dans la branche descendante; pour obtenir la limite inférieure, il faut prendre, à la place de a, les valeurs de ^^ qui correspondent au commencement des arcs dans la branche ascendante et les valeurs de ^^ qui correspondent à la fin des arcs dans la branche descendante.

Lorsque les vitesses initiales ne sont pas considérables et que les projectiles sont de fort calibre et de grande densité, comme il arrive ordinairement dans le tir courbe des mortiers, l'influence de la résistance de l'air est assez faible pour qu'on puisse, sous les angles de projection 9 qui ne dépassent pas 45^, calculer la trajectoire sans la diviser en parties, en prenant pour a la valeur ^^ • Dans le cas de 9 = 45°, a sera moindre que ^^ de -^j de sa valeur au commencement et à là fin du trajet, et vers le sommet a sera plus grand que ^^ = 1 d'environ ^ de sa valeur; moyennement cette

différence sera d'environ ^ de la valeur de a. La simplification ayant pour effet de rendre la résistance de l'air trop forte seulement vers le sommet et trop faible au point de départ et vers le point de chute, il en résultera une portée un peu plus grande que la portée réelle.