ROTATION
L Tir courbe à fortes charges.
63. Calcul de la trajectoire par parties. Pour calculer la trajectoire d'un projectile tiré sous un grand angle de projection, avec une forte vitesse initiale, il faut, comme on l'a vu, décomposer la trajectoire en parties, et connaître l'angle de projection 9 et la vitesse initiale V dont est animé le projectile de diamètre et de poids donnés.
On sait que la résistance de l'air au mouvement des projectiles sphériques est exprimée, n"^ 28, pour des vitesses qui surpassent 37 6""^', par un monôme proportionnel à la seconde puissance de la vitesse, et pour des vitesses au-dessous de 376™'" par un binôme dont le premier terme est proportionnel au carré de la vitesse et le second à la quatrième puissance de la vitesse.
Soit l'angle 9 = 30"" et la vitesse initiale V surpassant 376"-'.
1"^ On choisira le premier arc de la trajectoire (fig. 9) du point de départ 0, où la vitesse initiale est F jusqu'au point m' où la vitesse est 376"-' et on le calculera dans l'hypothèse de la résistance (w^ 52)
où
P IIi
et, le mètre et le kilogramme étant pris pour unités (n° 28),
cA, = 0,061.
On déterminera d'abord la valeur approchée de l'angle d'inclinaison 9' de la trajectoire au point m\ au moyen de la formule (6), n°52
tang9'=tang9 — ^^,(1— ^), en posant a = ^ji-, F^ = Fcos 9,7/ = F' cos 9, et ayant cette valeur approchée de 9', on obtiendra a de la formule (n^ 61)
tang 9 — tang 9'
On aura la valeur de 9' suffisamment précise, en mettant dans l'expression précédente de tang 9' la valeur de a et en posant, dans F,' = F' cos 9, pour 9 sa valeur approchée.
Connaissant la valeur de 9' et celle de a, on trouve: L'abscisse x' du point m' au moyen de la formule (3), n"^ 52
I 2c 1 j ^„ Fcos 9
a Log e o F' cos 9'
L'ordonnée y du point m' au moyen de la formule (1), n"" 52
y' = a;'tang9-2W^^(f)-
La durée t' du trajet du projectile du point au point m' au moyen de la formule (5), n° 52 •
Le rayon de courbure au point et celui au point m' au moyen de la formule (11), n° 32
• Y = ~^ et y= ^''
1 pcos9 * ^008 9^*
2^. On calculera les arcs suivants de la trajectoire dans l'hypothèse de la résistance (w° 51)
où
2<A^TzIPg n
et, le mètre et le kilogramme étant pris pour unités (n° 28), cA,= 0,012;r=186"^
Supposons que 4'on veuille diviser la trajectoire du point m' jusqu'au point de chute en quatre arcs. On choisira le premier mW depuis l'angle d'inclinaison 9' qu'on vient d'obtenir, jusqu'à l'angle ç' = 20^1e secondmV'de l'angle 9''=20° à l'angle 9'" =—20°, le troisième m'W de l'angle 9'"= — 20° à l'angle 9'''= —30° et le dernier m^^M de l'angle 9'^ à l'angle de chute.
Pour calculer l'arc wm'^on déterminera la valeur de a' au moyen de la formule (n° 61) .
^^ 6 (90 -€(20°) tang 9' — tang 20**
On trouvera l'abscisse a;" du point w'^'au moyen de l'équation (2), w° 51. En efiFet, en multipliant les deux membres de cette équation par ^ et observant qu'on a désigné au n° 1 20 la valeur de — par £r, on aura
• ..3(.,P^=(teng9'^tang<p")f^^^-
Après avoir calculé la valeur numérique du second membre do cette équation et celle de V^^ = ^'^^ ^^^^^' ^ q^ trouvera la valeur de z au moyen de la table des ^.3 (2?, Vq% comme on l'a exposé au n° 60. En multipliant z par |>, on aura la valeur de l'abscisse cherchée x*.
On déterminera l'ordonnée y' du point m au moyen de la formule (1), n° 51
y =a;tang9-2^|-ï-^,«(— , ;5-^).
On obtiendra la vitesse Y* au point m" au moyen de la formule (4),n^51
aV' a'î F'«C08«9'\ C08q>"
t'iî?,
On aura la durée i" du trajet du projectile du point m' au point iti au moyen de la formule (5), n^ 51
^' — F'cosq)' ^ (
aV a'2r«co8*9'^
On aura le rayon de courbure au point m" par la formule (11), »° 32
' flr cos 9"
t /OAO\
Pour déterminer l'arc mm\ on prendra i^ 61) a" = j^Fôo^^ et pour déterminer l'arc m"'m^^ on prendra a'" = tania^Q^tenggoo ^ et on calculera les deux arcs de la même manière que Tare w!m\ On obtiendra ainsi pour le point m'" les valeurs oi'\ y"\ F", f\ y'" et pour le point w^'' les valeurs x^^, — y'^^ F"', <'^ y^^-
Pour calculer le dernier arc m'^M^ depuis le point m'^ jusqu'au point M situé à la hauteur h au-dessus du point de départ, observons que l'ordonnée — y^ du point M^ rapportée au point m''' comme origine, est connue et qu'elle est
En substituant dans l'équation (1) n° 51 à la place de y la valeur connue — y^ de l'ordonnée du point itf, à la place de Fia valeur
connue F"" de la vitesse au point m'^, à la place de 9 la valeur connue — 9^^" de l'inclinaison de la trajectoire au môme point, et en tirant la valeur de l'abscisse a; = «'' du point M, on aura
et l'angle de chute — 9^ au point M sera déterminé par (éq. 2,n°51)
-tang9^=-tang9''-— ^^ ^^
En posant d'abord 9{z, V^^)= 1 et 3(£r, Fo')= 1, l'avantdernière équation donnera une valeur approchée derr^'qui, substituée dans la dernière équation, servira à trouver une valeur approchée de — 9^". D'après cette valeur de — 9^^, on déterminera a^' de la formule (w° 61)
tang 9^'— tang 9 ^' '
on calculera £f = —j— et on trouvera au moyen des tables de ^(2, V^ et de 3(£?, V^) les valeurs de ces fonctions, qui, substituées dans les expressions trouvées de x^ et de — tang 9'', donneront des valeurs suffisamment précises de x^ et de — 9^
On aura la vitesse de chute au moyen de l'éq. (4), w^ 51, la durée t^^ du trajet du projectile du point w^^'au point ilf au moyen de l'éq. (5), w° 51, et le rayon de courbure au point de chute au moyen de l'équation (11), w° 32.
On aura la portée totale
x = x'^x"^(x!"^x''^x'\ et la durée totale
Un projectile tiré avec une forte charge, sous un grand angle de projeetion, s'élevant à une hauteur très considérable, il est utile,
dans le calcul de sa trajectoire, de tenir approximativement compte de la diminution de la densité de Tair avec l'accroissement de la hauteur au-dessus du sol. Eu appelant II' la densité de l'air à la sur&ce de la terre et négligeant la variation de la pesanteur due à la variation de la hauteur, la densité II de Tair à la hauteur y au-dessus de la surfoce de la terre sera exprimée par
où fc = 8000", et le fitcteur ^^ , qui entre dans les expressions coefficients c de la résistance, deviendra
Pour tenir approximativement compte, dans le calcul de la trajectoire, de la diminution de la densité de Pair due à la hauteur y, il faut calculer les coefficients c pour chaque arc de la trajectoire en y
y introduisant le facteur ^,e et en prenant pour y une valeur approchée de la hauteur moyenne du projectile au-dessus de la terre dans toute rétendue de Tare que Ton considère.
64. Application au calcul de la trajectoire d!un, boulet ^Mrique tiré du canon de 2é ^ avec un vitesse initiale de 522^''\, sous V angle de projection de 3CP. Les circonstances du tir sont les suivantes: le poids du projectile P= 12^21 ; son rayon R=0^074:9, sa vitesse initiale F= 522"*'', l'angle de projection 9 = SO"", l'accélération de la gravité ^= 9^8192, la densité de l'air n' = n,. La trajectoire est divisée en douze arcs. Les résultats du calcul sont compris dans le tableau ci-contre:
Trajectoire d'im boulet sphérique tiré du canon de 34^ avec une vitesse initiale de 522°"% sous Tangle de projection de 30^.
Jl
Projection de l'arc
Coordouuées
du projectile rapportées au point de départ romme origine.
L'exameii des résultats insérés dans ce tableau fait voir que la portée horizontale, c'est-à-dire la portée sur un terrain situé au môme niveau que la bouche à feu, est de 3893™; la hauteur totale du jet, correspondant à é'rriO, est de 860""; la durée totale du trajet est de 2 5? 7. La vitesse du projectile atteint son minimum; le point où la vitesse atteint sa valeur minima est situé sur l'arc dont les angles d'inclinaison sont compris entre — 20° et — 30^ En déterminant les valeurs de la vitesse en difterents points de cet arc, on trouve que le point où la vitesse est minima correspond à l'inclinaison ^= — 21"", , que les coordonnées de ce point sont a;= 2944" et y = 670^6, et que la valeur de la vitesse minima est de 1 287*8. Le rayon de courbure minimum correspond à un point situé sur l'arc dont les angles d'inclinaison sont compris entre — 1 0^ et — 20°. En déterminant les valeurs du rayon de courbure en diflérents points de cet arc, on trouve que le point où le rayon de courbure est minimum correspond à l'inclinaison © = — 1 5°, que les coordonnées ^e ce point sont
x,= 2766" et y = 786",6, et que la valeur du rayon minimum est de 1785".
Le tir direct du canon de 24\ dans des conditions se rapprochant autant que possible de celles qui ont été adoptées pourle calcul de la trajectoire, a donné une portée moyenne de 3979" et une durée moyenne de 26* 1 , cette portée et cette durée étant déduites de 20 coups.
n. Tir courbe à faibles charges.
65. Solution des problèmes sur le jet des projectiles à de faibles charges. Dans le tir courbe à faibles charges, comme en général dans le tir avec des charges qui communiquent une vitesse initiale moindre que 376"-', i} faut calculer la trajectoire dans Thypothèse de la résistance (n^ 51)
où, si Ton pose II = n, ,
"■ 2J^TzR'g
et, le mètre et le kilogramme étant pris pour unités {n^ 28) Jt = 0,012; r=186"^
L'influence de la résistance de l'air au mouvement des projectiles de gros calibre et de forte densité tirés avec de petites vitesses initiales, étant assez faible pour qu'on puisse, même sous de grands angles de projection, calculer la trajectoire sans la diviser en parties, la solution de divers problèmes du jet devient facile.
Quoique, dans le tir courbe, Tangle de chute sur un terrain situé au même niveau que la bouche à feu soit sensiblement plus grand que l'angle de projection, on peut, néanmoins, déduire a au moyen de
la table des valeurs de « = ^5;!^ (Table I, annexe). Pour feciliter
le calcul des valeurs de c, on a inséré dans la table II de l'annexe les
valeurs de ^^^^ pour les projectiles employés dans notre artillerie.
66. Déterminer la portée ^ connaissant V angle de projection et la vitesse initiale.
Soit le point de chute à la hauteur de la bouche à feu. On cherchera les valeurs de c, a, F^ = Fcosç, V\= \~T^) • En faisant y = o dans Téq. (1), n^ 51, on aura
ou, en remarquant que ^ = y?
Après avoir calculé la valeur du second membre de l'équation, on trouvera la valeur de z au moyen de la table des z.9{z, Vq% comme on l'a exposé au h° 60. En multipliant z par -^ on aura la valeur de
la portée cherchée.
Soit un obus de 80^ projeté sous l'angle de 45° avec une vitesse initiale de 115"^^ Dans ce cas 2î= 0M207; P=36M7; 5;^=40,24;c=3353»;r=186"^=';a=l,1478;Fo2=0,2518;
^ysin29 = 0,4611; ^=0,3906 et
la portée cherchée a; = 1141".
La portée ainsi calculée^ comme on l'a exposé au n"" 62, 6S< un peu plus grande que la portée réelle.
67. Limite inférieure de la portée. Pour faire voir que la portée calculée par la méthode ci-dessus diflffere peu de la portée réelle, déterminons la portée inférieure à la portée réelle et comparons-la à la portée obtenue.
Pour déterminer la limite inférieure de la portée, on aurait pu
poser a = ^— dans Téquation
^(^, Fo^=fy sin29,
OÙ.=H,Fo»=(îny;
mais de cette manière on aurait obtenu une limite inférieure de la portée qui serait assez éloignée de la limite supérieure. Far suite nous exposerons une autre méthode pour calculer la limite inférieure de la portée.
Supposons la résistance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, c'est-à-dire
et posons
En prenant cette valeur pour k^, la résistance de Tair ne sera égale à la résistance réelle qu'au point de départ et sera trop forte sur toute l'étendue de la trajectoire, de manière que la portée calculée sera moindre que la portée réelle. .
Nous déterminerons la portée dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse au moyen de tables pour le tir courbe calculées par le général Otto*) d'après la méthode d'Euler que nous allons d'abord sommairement exposer.
68. Méthode cTEuler pour déterminer la portée du tir courbe. Dans le cas de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, l'arc s, dans les limites de ^ == 9 à tf , est exprimé par la formule (n° 46)
s = gl.g[l*25--(|(,)-5W)].
Far conséquent la partie As de l'arc, aux extrémités duquel les inclinaisons sont â et ^, aura pour expression
As = ^ log ^^^ 1
*) Tables balistiques pour le tir élevé par Otto, traduit de rallemand par Rieffel. 1844.
Googk
où il faut obôeryer que dans la branche descendante les fonctions S(^) et S (â) doivent être prises avec des signes contraires.
Si â' difière peu de â, on obtiendra la partie correspondante àx de l'abscisse et c^Ue Ay de l'ordonnée des expressions
OÙ pour la branche descendante les fonctions Ç {&") et Ç (tf) doivent être prises avec des signes contraires.
Le général Otto a calculé dans la branche ascendante et dans la branche descendante, pour chacune des diverses valeurs de 27^"*-5(?) = 5(+), très proches Tune de l'autre, ou plutôt pour chacune des diverses valeurs de ^, les valeurs de Ax et de Av) correspondant aux arcs d'une étendue de ^ — = V, pour des valeurs consécutives de tf à partir de tf = 0, et a pris les sommes consécutives 2Ax et 2Air] séparément dans la branche ascendante et dans la branche descendante.
Pour trouver la portée d'après les valeurs connues de 9, F et i, il fout déterminer ^^ m- g(9)=|(f|)), et chercher dans la table des Ç (â) (que M. Otto a calculé de minute en minute pour les valeurs de ^ de à 87"^) la valeur de ^ qui correspond à la valeur calculée ^^ S (^) y W^9 ^u moyen de la table des 2Ax et 2Av) correspondant à la valeur trouvée de ^, chercher dans la partie relative à la branche ascendante la valeur de 2Ax et celle de 2Av) qui correspondent à l'angle de projection 9, et prendre dans la partie relative à la branche descendante la valeur de 2Ax qui correspond à la valeur précédemment trouvée de 2Av). En faisant la somme de ces deux valeurs de 2Ax et en la représentant par x, on aura la portée cherchée
Si la yaleur trouvée de ^ ne se trouve pas intégralement dans les tables, on doit déterminer la yaleur de x pour deux valeurs consécutives de ^ contenues dans les tables, l'une immédiatement inférienre et l'autre immédiatement supérieure à la valeur trouvée de ^ et puis déterminer la valeur cherchée de x &u moyen de parties proportionnelles.
Pour faciliter les recherches, M. Otto a dressé, au moyen de tables des 2Ax et 2Ai), une autre table dans laquelle il a inséré, pour différents angles de projection de 5° en 5°, depuis 9 = 30° jusqu'à 9=90°, les valeurs de x qui correspondent à diverses valeurs de ^, de 1 minutes en 1 minutes, depuis tj^ = 9 -♦- 1° jusqu'à ^ = 87°.
69. Xa limite inférieure et la limite supérieure de la portée diffèrent peu Vune de Vautre. On a pour l'obus de 80\ projeté sous l'angle de 45° avec une vitesse initiale de 115°**,
Jfc« c 3358
1 ^* 1 /iis\
g(tJ.) = -^,-*.g(9) = 3,6019 H- 1,1478 = 4,7497.
On trouve, dans la table des g {6), la valeur + = 69° 41',1 correspondante à g(+) = 4,7497, et la table des valeurs de x donne pour 9 = 45° et tl> = 69° 41', 1 la valeur de x = 0,1995. On obtiendra la portée
Cette limite inférieure de la portée ne diffère pas beaucoup de la limite supérieure égale (n° 66) à 1141™.
70. Portée dans le cas où le point de chute n'est pas à hauteur de la bouche à feu. Soit 6 l'élévation du point de chute au-dessus de la bouche. La portée sera déterminée par réquation(n°51, éq. 1)
On résoudra cette équation au moyen de la table des valeurs de 9(0, Vq% en la mettant sous la forme
i-tang9.^-2^,-«(^, V,^.^ = b
et essayant successivement plusieurs valeurs de z, prises dans la table, jusqu'à ce qu'on ait trouvé deux valeurs du premier membre de l'équation, assez rapprochées, entre lesquelles soit comprise la valeur de 6; on aura alors la valeur cherchée de z m moyen de parties proportionnelles, et on obtiendra la portée en multipliant ^ par ^ •
71. Déterminer la vitesse initiale cPun projectile , tiré sous un angle de projection donné 9, qui doit toucher un point donné {a,b). Prenons l'équation (1), n° 51
6 = atang<p-2^,^(^, F/), où. = f,F,^=(»^y.
En divisant les deux membres de l'équation par a, et posant 5 = tange, où e est l'angle d'élévation du point à battre, on aura
2f « tang 9 -- tang e p o (
ga n^-^(^»n^.
Faisant, pour abréger,
2r^ tang 9 — tange
et observant que (n° 51)
on trouve
F =l/IIZgLZ.
Après avoir calculé la valeur de F^, au moyen de la table de 2?(z),
oh z = ^f on obtient la vitesse initiale cherchée F, en multiplian
Si le point à battre est à hauteur de la bouche à feu j on b. 6 = et e = 0.
72. Déterminer V angle de projection q> sous lequel un projectile^ tiré avec une vitesse initiale donnée F, doit toucher un point donné (a, 6). Prenons l'équation (1), n° 51
6=atang<p-,-^^(-(--Z££i?y).
Eemplaçant ^ dans le facteur ^^^ par I-4- tang«(p, on a
d'où Ton tire pour tang 9 deux valeurs
tang9=
dont l'une correspond à un angle plus grand et l'autre à un angle plus petit que celui de plus grande portée.
On cherchera d'abord les deux valeurs de 9 en posant 9 y^f ^l^^ ^ ) = 1 ; ces deux valeurs de 9 serviront à calculer les
deux valeurs de a= ,-^^^ et les deux valeurs de ^ ( — , - — ^^^) -
En mettant ensuite la plus grande valeur de 9 dans l'expression de tang 9 prise avec le signe plus devant le radical, on obtiendra la valeur de 9 supérieure à l'angle de plus grande portée, et en mettant la plus petite valeur de 9 daûs l'expression de tang 9 prise avec le signe moins devant le radical, on obtiendra la valeur de 9 inférieure à l'angle de plus grande portée.
Si le point de chute est à hauteur de la bouche à feu, il &ut poser y '= dans l'éqaation (1), n° 51, et I'od aura
d'où et
2teng<p.cos«9=^«(?,^^^)
Cette expression donne deux yaleurs de l'angle 9. On les cherchera d'abord en posant 9=1] elles serviront à calculer les deux valeurs de. a = -iM. et les deux valeurs de^. Mettant ensuite dans
tang 9
l'expression de sin 2 9 la plus petite valeur de 9 on en tirera la valeur de 9 inférieure à l'angle de plus grande portée, et en mettant la plus grande valeur de 9 on en tirera la valeur de 9 supérieure à l'angle de plus grande portée.
73. Déterminer Vangle et la vitesse de chute ^ la durée du trajet et la hauteur totale du jet.
L'angle de chute est donné par la formule (éq. 2, n° 51)
tang ^ = tang9 - ^, 3 {z, V,^.
Dans l'exemple cité au n° 66, on a a; = 1141°, 9 = 45^ V= 115-', ^ = ^ =0,3906, Fo'= ^'=0,2518; on trouve, à l'aide de la table des valeurs de 3 (£?, Fq*),
3(^, Fo«)= 1,2796 et
tang d = — 1,1681, d'où
La vitesse de chute est donnée par la formule (n° 51, éq. 4)
