V COS
X9(^, Fo*) ma
Dans l'exemple précédent, on a, à î'aide de la table des valeurs de V (z, r,%
et
La durée du tr^et est donnée par la formule (n° 51, éq. 5).
Dans l'exemple précédent on a, à l'aide de la table des valeurs de6(^, Fo«),
6(«,Fo«)= 1,129 et
Four avoir la hauteur totale du jet, on prendra l'équation (2), n° 51 et, en posant tang ^ = 0, on la mettra sous la forme
Cette équation servira à trouver la valeur de ^^ à Taide de la table des valeurs de Js3{Zf V^^ comme on l'a &it voir au n^60.
En multipliant la valeur trouvée de ^ par ^, on aura l'abscisse â?' qui correspond à la hauteur totale du jet.
En mettant la valeur a/ à la place de x dans l'équation (n^ 51, éq. 1) de la trajectoire, on aura
la hauteur cherchée du jet.
Dans l'exemple précédent on trouve
z:S(z, Fo«) = 0,2306
et connaissant Fo^ = 0,2518, on obtient, à l'aide de la table des valeurs de je? 3 (je? , V^^
Ayant ^ = ^' = 0,2030 et V^^= 0,2518, on trouve, à l'aide de la table des valeurs de 9(e^ F^*),
9(z, Fo«)= 1,0891
«t Téquation de la trajectoire donne la hauteur totale du jet
• 74. L'angle de plus grande portée. Pour déterminer l'angle qui correspond à la plus grande portée, il faut avoir l'équation de la trajectoire du projectile dans l'air. L'expression exacte de y en fonction de X n'étant trouvée que dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle à la première puissance de la vitesse, prenons cette expression (n^ 48, éq. 4) pour discuter l'angle de plus grande portée. On aura la portée sur un plan horizontal passant par la bouche à feu en faisant y = o dans l'équation (4), «° 48, et l'on trouvera
Pour déterminer la plus grande portée égalons à zéro la dérivée j- de cette équation, c'est-à-dire faisons
dx ' a;[i7a;sin9— f(Fcos9 — Ç)] • ^ Fsinçcoscp (Fcosç — j^ — gxco^ff
La seconde dérivée g-^, quand g- = 0, est
éPx gx C08 ç -H F* sîn 9
dç* «cos'9
L'angle de projection 9, pour un point de chute à hauteur de la bouche à feu, est toujours 4)08itif et la dérivée ^ est négative.
Par suite la valear de
F* cos 9
tirée de la condition ^ = , est la%aleiir de la plus grande portée, et mise dans l'équation (1) donne
l'expression qui détermine la relation de l'angle de plus grande
portée et de la valeur de j^.
En posant, pour abréger,
sin9 = ^,^ = w,
la dernière équation devient
(2) .....(l-Hgiog(l^^)-^=«^
Pour faire voir plus &cilement la relation de l'angle de plus
as >[log(l-^;-)-2u.] ^
grande portée 9 ou de sin 9 = ^ et de la valeur j^ = w, prenons la dérivée J^ de l'équation (2) et égalons-la à zéro, c'est-à-dire faisons
Poar que cette expression soit égale à zéro, il iaut que ou l°....l0g(l-1-jW2MjJ, ou2°...;? = 0, ou3°...u = oo. Si l'on a r. log(l-»-J)=2«^,
l'équation (2) donne
en mettant cette yaleor dans l'expression log f 1 -f- ^j = 2«jr, on obtient
log(l-Hi^) = 2(l-2^
OU
C6 qui nécessite que
OU que
et par suite, comme le fait voir l'expression u = ^—^^ il &ut que
Si l'on a
2° js = 0,
Téquation (2) mise sous la forme
l«g(l-")-^-,[log(l-*-^) -!] = ««
donne
Si l'on a
u = oo
les deux termes du premier membre de l'équation (2) mise sous la forme
se réduisent à ~ ; mais en prenant les dérivées par rapport à u du
numérateur, ainsi que du dénominateur de chacun de ces deux termes, on obtient
ce qui, pour w = oo, donne
et fait Yoir que les conditions 2^ et 3"" sont identiques. La valeur de ^ = u peut varier dans les limites
deu = àtt = oo
et l'on voit par ce qui précède que la dérivée ^ne se réduit à zéro que pour ces limites, pour lesquelles sin 9 = ^8^ prend les valeurs de
Far conséquent l'angle de plus grande portée atteint sa limite supérieure, égale à 45^, quand ^ = 0, et sa limite inférieure, égale
à zéro, quand ^ = 00, et s'écarte en général d'autant plus de 45^
que^ est plus grand.
Four appliquer les équations du mouvement déduites dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle à la première puissance de la vitesse au cas d'une loi quelconque de la résistance, il &ut égaler le
coefficient constant \ à une certaine valeur moyenne (différente pour chacune des équations) entre toutes celles que prend l'expression -^ dans les limites de î;= Fà t;. La fonction f{v) croît avec la résistance, ainsi que le rapport "^ (toutes les fois que le degré de/*(t;) surpasse le premier), ef par suite croît aussi le coefficient y Donc,
quelle que soit la loi de la résistance, l'angle de plus grande portée est d'autant plus inférieur à 45"^ que la résistance et la vitesse initiale sont plus grandes.
75. Calcul de V angle de plus grande portée. Pour calculer l'angle de plus grande portée et la plus grande portée d'un projectile donné, tiré avec une vitesse initiale donnée, il faut calculer plusieurs portées correspondantes à autant d'angles de projection choisis les uns au-dessus, les autres au-dessous de l'angle de plus grande portée, et trouver par interpolation la valeur de la plus grande portée et de l'angle de projection correspondant. Mais de pareils calculs, sous de grands angles de projection, étant très longs, parce qu'ils exigent la division de la trajectoire en parties, nous exposerons une méthode approximative pour trouver l'angle de plus grande portée, lorsqu'on connaît la portée sous un angle quelconque voisin de celui de plus grande portée.
Soit à trouver l'angle de plus grande portée d'un boulet sphérique de 24\ tiré avec une vitesse initiale de 522°'". On a calculé au n° 66 la portée dans ce cas sous l'angle de projection de 30^ et on l'a trouvée de 3893". On cherchera, dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, à l'aide des tables de M. Otto, comme on Ta exposé aux n""" 68 et 69, en essayant plusieurs valeurs
