TIR DIRECT A VITESSES INITIALES DÉPASSANT

76. T^osé. La résistance de l'air au mouvement des projectiles sphériques est exprimée (n^ 28), pour des vitesses dépassant 376"^% par un monôme proportionnel au carré de la vitesse, et pour des vitesses inférieures à 376"^' par un binôme dont le premier terme est proportionnel au carré de la vitesse et le second à la quatrième puissance de la vitesse. Far conséquent, il est nécessaire de diviser la trajectoire en parties toutes les fois que, la vitesse initiale dépassant 376°-', la vitesse de chute est inférieure à 376"''. Mais le tir direct ayant lieu sous des angles de projection qui ne dépassent pas 1 5^, on simplifie beaucoup les calculs, en ne déterminant la trajectoire par parties que sous un seul angle de projection, soit celui de 5°, et en rapportant les points obtenus de la trajectoire aux coordonnées obliques, Tune Z suivant la tangente au point de départ, et Tautre Y suivant la direction de la pesanteur. On aura les angles de projection, les angles et les vitesses de chute et les durées des trsgets correspondants à diverses portées d'après les points calculés de la trajectoire sous l'angle de 5^, en admettant que pour les angles de projection ne dépassant pas 1 5°, les distances verticales des points d'une trajectoire à sa tangente au point de départ sont indépendantes des angles de projection. Discutons d'abord cette supposition.

77. LesdiOances verticales des points de la tragedoire à sa tangente au point de départ sont indépendantes des angles de projection^ lorsqtœ le mouvement a lieu non-seulement dans le vide^ mata encore dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la première puissance de la vitesse. En effet, en mettant dans les équations du mouvement (1), (3), (4) et (6), n° 48, obtenues pour un milieu dont la résistance est proportionnelle à la première puissance de la vitesse les expressions

a; = Zcos9, y = Xsin<p — T

qui servent à la transformation des coordonnées rectangles x^ y en coordonnées obliques X, F, on trouve

(1) »=(''-?) ÎSI.

OU, en développant log (l — |p,) en série,

(*) ' = >^VZ1Ê'

Les distances verticales des points de la trajectoire à la tangente au point de départ T, et les durées des trajets t , comme on le voit des équations (3) et (4), sont indépendantes de Tangle de projection 9.

Les expressions de Tet de tang^ font voir que les distances verticales des points de la trajectoire à la tangente au point de départ croissent, et les valeurs absolues des angles d'inclinaison diminuent dans la branche ascendante et croissent dans la branche descendante avec Taccroissement de ^ = ^^ et par conséquent avec Taccroissement de

la résistance, quelle qae soit la loi de la résistance, pourvu que le degré de f {v) soit supérieur au premier.

Les équations (3) et (4), qui prouvent que les valeurs de Y et de t ne dépendent pas de l'angle de projection 9 dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle à la première puissance de la vitesse, ne font pas voir que cette indépendance a lieu pour d'autres expressions de la résistance. En effet, pour appliquer les expressions (3) et (4) de r et de ^ à une autre loi de la résistance, la vitesse v dépendant (éq. 1) des angles 9 et tf, il faut, pour une même valeur de Z, égaler le coefficient \ à une valeur moyenne ^^ qui change avec l'angle 9.

78. Limites entre lesquelles sont comprises^ pour les mêmes valeurs de Z, les ordonnées Tde deux trajectoires correspondantes à deux angles différents de projection^ dans Vhypothèse d*une loi quelconque de la résistance. Quelle que soit la loi de la résistance, la vitesse, la durée du trajet, l'inclinaison et l'équation de la trajectoire sont exprimées, en coordonnées rectangulaires, par les équations (4), (9), (6) et (7) du n° 50.

Si Ton met dans ces équations

a; = Zcos9, y = Zsin9 — T, on obtient

(1) vcosâ = -g5(aXcos9, aFcos9),

aX cos 9

(2) < = J \/^ (aX cos 9, a Fcos 9) . d (aZcos 9),

aXcos9 (3) .... tang 6 = tang 9 — ^7» J ^ («^ cos <p , olV cos ç) . d (aXcos 9),

olX cos 9 aX cos 9

r = (/ J d (aXcos 9) J ^1^ (aXcos 9 , aFcos 9) . d (aX cos 9) ,

ou en posant pour abréger

aX cos 9 aX cos 9

g 1 d(aXcos9) r^(aXcos9, aFcos 9).^ (aXco8 9) = -B(aXcos 9, aFcoS9),

on a

(4) r= E(aXcos9, aFcoscp),

où a, comme on sait, est une certaine valeur moyemie de ^^ entre les limites de tf = 9 à ^.

La dernière équation fait voir que l'ordonnée Y dépend en général de l'angle de projection et de l'étendue de l'arc de la* trajectoire.

En égalant a à la plus petite valeur que prend ^^ sur toute l'étendue de l'arc que l'on considère, la fonction -^^"^^^^l^^ que l'on sub-

stitue à la fonction f(v)fom intégrer par approximation les équations différentielles du mouvement, sera moindre que f (v) (toutes les^fois que le degré de la fonction f (v) est plus grand que l'unité), ou, ce qui est tout un, on prendra une valeur trop faible pour la résistance de l'air; par suite on aura (n° 77) des valeurs trop faibles pour les ordonnées Y et des valeurs, trop fortes pour tangtf, de manière que la trajectoire passera au-dessus de la trajectoire réelle. Réciproquement "Sn prendra une valeur trop forte pour la résistance de l'air en égalant a à la plus grande valeur que prend ^^ sur toute l'étendue de l'arc que l'on considère, et la trajectoire passera dans ce cas au-dessous de la trajectoire réelle.

La plus petite valeur que peut prendre ^^ est l'unité. Donc on prendra une valeur trop faible pour la résistance de Tair sur toute l'étendue de la trajectoire, en posant

a=l et l'expression (5) £(Xcos9, FC0S9)

donnera pour les ordonnées Y des valeurs trop faibles, sous tous les angles de projection 9.

La plus grande valeur que peut prendre ^^ sur toute l'étendue

de la trajectoire comprise entre tf = 9 et ^ = ~ 9, est ^ . Donc,

en posant

l'expression

donnera des valeurs txop fortes pour les ordonnées Y de la trajectoire comprise entre tf = 9 et tf = — 9.

Cette seconde limite, comme on voit, est indépendante de l'angle de projection.

Sous de petits angles de projection, les deux limites entre lesquelles est comprise chaque ordonnée T de la courbe diffèrent peu l'une de l'autre, et l'on peut prendre l'une d'elles pour l'expression des ordonnées T.

En représentant, pour la trajectoire qui correspond à l'angle de projection 9, par ^^ le plus petit des angles formés avec l'horizon par les tangentes sur toute l'étendue de l'arc que l'on considère, et par â^ le plus grand de ces angles, on voit que les ordonnées Y sur toute l'étendue de cet arc seront comprises entre les limites

• -p / Xco89 Fcosç X , -p / Xcosy Fcosy X

De même on aura pour les limites se rapportant à la trajectoire qui correspond à l'angle de projection 9'

■p /Xcos£' YS^^\ aI p/ "3^0089^ Fco8<p' \ \co80\ ' co8e'i/ Vcose', * cose'a/'

En appelant l la limite inférieure et L la limite supérieure de la différence entre l'ordonnée de la trajectoire sous l'angle de projection 9 et celle de la trajectoire sous l'angle de projection 9', on aura

; X1/ XCO89 Fcosy X p/ Xcos9^ Fcosy^ X

j p / Xcosy Fcosy X p/ Xcoat^^ Fcoay^

Si 9' = et si l'on ne considère dans la trajectoire sous l'angle

de projection 9 que l'arc compris entre ^ = 9 et ^ = — 9, on a 6^^ = 0, tf, = 0, tf, = 9et

i = i;(Xcos9, ^cos9)-S(^,^), L = 0.

La limite supérieure de la différence entre l'ordonnée de la trajectoire sous l'angle de projection 9 et celle de la trajectoire sous l'angle de projection étant égale à zéro, on voit que les ordonnées 7 de la dernière trajectoire sont plus grandes que celles de la trajectoire sous l'angle de projection 9 sur toute l'étendue de l'arc de 9 a — 9.

79. Cas de petits angles de projection. Tant que les angles de projection ne sont pas grands, les limites (5) et (6), n^ 78, entre lesquelles sont comprises les ordonnées T de la trajectoire sur l'étendue de^ = 9à^ = — 9 diffôrent peu Tune de l'autre, et l'on peut admettre l'indépendance des angles de projection et des distances verticales des points des trajectoires aux tangentes aux points de départ, de manière que l'on peut poser

tang^ = tang9 — g^ ^{X^V)dX.

Donc, si l'on connaît, pour une trajectoire sous l'angle de projection 9', l'inclinaison ^, la vitesse v' et la durée ^ qui correspondent à l'abscisse Z, on peut prendre piur la trajectoire sous l'angle de projection 9 les expressions suivantes de tf , t; et * qui correspondent à la môme valeur de 2^

tang â = tang^ — tang9' -♦- tang9, t/'coso'