sin V = |8* -*- 8,. (sin v< — | 8<j

Le tir direct ayant lieu avec des vitesses initiales assez considérables, la valeur de |(éq. l)est toigours bien plus grande que l'unité. Déterminant 8 de la dernière équation, on trouve

8 = i [sin V ± Vsih^ v — qi, (2 sin v, — 38,)]

(2) 8= ^ [sin v± V\ — qhi (2 sin v< — q^ — eos* v]

dl = i fcosvdv ± "'"'•^''"'''' 1

2 L y 1 — gd| (2 sin v^ — gd|) — C09« v J

En mettant cette expression dans l'équation

on obtient

C08 V a (t7)in '

y 1— g*<(2 sin v,— gd<)— C08*v » Wm

OU, en substituant à g sa valeur (éq. 1),

^^ <» C08 y fetjff WW\m ^i ^

"*" y 1 — gd|- (2 sin v,— gd,) — cos* v Wm

Dans l'hypothèse de la résistance de l'air proportionnelle à la w puissance de la vitesse on a r(v)= 5 .= ^ — n=ï,

où c" ^ = ^ Q y^ • En supposant la trajectoire située dans le plan

vertical du tir, la projection de l'accélération suivant Taxe horizontal des a? est -^ = — gf{v) cos tf , et en substituant à f{v) la fonction Ç^^

on obtient ^= — f Aa«^i) = — ^S^^i**, d'où l'on tire

[..-(•ipj-

et Ton peut substituer aux valeurs moyennes (t;)^ = (at;i)^, [Av)]m=[Aa«^i)]m» [«^/'(«^)]m = f««^i/'(««^i)]m> 9"® prennent les

quantités v, f{v), vf{v) dans les limites des durées de t=t^ à /, les Taleurs que Ton obtient des expressions de at;^, f{(w^ etaVi.fCavJ en remplaçant t par ^■. Dans ce cas on a ^-^^^^ = |/(v)]^, et par suite

<^ov d» 2«ilF !-'(*) Jm

^**^ *— 7" lÂT^ '

Vl — Çfii (2 siû v^ — qài) — cos* v

où le signe H- se rapporte au cas du signe positif devant le radical de l'expression 5 et le signe — au cas du signe négatif devant le radical de l'expression *.

Intégrant l'avant-demière équation entre les limitas de ^=f^à< et de V = v^ à v, on obtient:

dans le cas du signe positif devant le radical de l'expression ^

/à\ COS V C08 V^

(4). .V — v^ -H arc cos , — arccos^ ^

Vl^qdi (2 sin Vj— gd,) Vl— qà^ (2 sin v^gd^)

et dans le cas du signe négatif devant le radical de l'expression 5

(4,). .V— V. -H arc sin -7======= — arc sin ,

Les formules (2), (3), (4) et (4,) ne peuvent être employées; comme on Ta remarqué, que dans des limites entre lesquelles cos v nechange pas de signe.

Au point de départ on a v^ = v^ = Oy 8^ = 8^ = o, t^ = o.

Considérùns TivUervcile depuis v=o jusqu^à v = ^ * Appelant g, ®t U{^)\m ^^^ TOleïirs moyennes q et [((v)]^ dans cet intervalle, on a

(éq. 2) '

8 = ^(sinv-f- VI— cos'vW^-sinv,

où l'on a pris le signe positif devant le radical, parée que la dérivée ^ = j^ ces V est positive, lorsque cos v est positif, et par conséquent l'angle 8 augmente avec le temps tant que cos v reste positif. La dérivée (éq. 3)

étant positive, l'angle v croit de zéro à |-

Désignant par h/^ \ et t^ l'angle i et le temps t qui correspon-

dent à l'angle v = ~, on trouve (éq. 2)

la formule (4) donne

|0-h|-0=^[A.)]„,J., d'où l'on tire

Considérons Vintervalle dqmis v = ^ jusqu^à Vangle limite V = Vg > |- Appelant q^ et [f{v)\^ les valeurs moyennes q et [fip)]^ dans tout l'intervalle de temps, à partir de t^^ durant lequel cos v reste négatif, on a (éq. 2)

8 = i[8inv-^y^(|«-i;-co8«v].

La valeur de cos v étant négative, la dérivée g^ = |- cos v fait voir que l'angle 8, à partir de 8 = 8/^^ \ , décroît, lorsque t augmente.

La dérivée (éq. 3)

dt , sin V

v'iï-)*-